§10. Теория функций многих переменных и основные зависимости, используемые в экономике 1. Производственная функция

Функция, выражающая зависимость объёма производства от величины затраченных ресурсов, называется производственной функцией (ПФ).

Если , то ПФ называетсяодноресурсной. В ряде случаев ПФ может быть сведена к зависимости производительности труда у (то есть выпуска продукта в расчёте на одного работника) от капиталовооруженности труда х (то есть величины капитала в расчёте на одного работника), где капиталовооруженность – (здесь К – величина капитала,─ численность занятых).

Возникновение теории производственных функций относится к 1928 году. Тогда появилась статья американских учёных Д. Кобба и П. Дугласа, в которой впервые была введена функция, выражающая зависимость между объёмом основных фондов К, затратами труда и объёмом выпускаемой продукции, где. График ПФКД в трёхмерном пространстве есть коническая поверхность (рис.1).Рис.1

Для производственной функции двух переменных линией уровня, соответствующей, является множество точек плоскости с неотрицательными координатами, удовлетворяющих условию. Для функции Кобба-Дугласалинии уровня, соответствующие, задаются уравнениемили. Линии уровня функциидля различных значенийизображены на рис. 2. Точки, лежащие на одной линии уровня, соответствуют различным наборам затрат, обеспечивающим один и тот же выпуск продукции. Линии уровня ПФ называютсяизоквантами. Отметим, что изокванта, соответствующая , расположена «северо-восточнее» изокванты, соответствующей.

Пример

Найдём изокванты производственной функции Кобба-Дугласа . Изокванта этой функции, соответствующая значению, задана уравнениемили².◄

Далее выясним, какую экономическую интерпретацию можно дать частным производным ПФ. Отношение

показывает, какой дополнительный выпуск приходится на 1 единицу изменения основных фондов при постоянных затратах труда. Если существует конечный предел указанного выше отношения при, то это есть частная производная функциипо переменной

.

Частная производная называетсяпредельной фондоотдачей. Частная производная называетсяпредельной производительностью труда и определяется аналогично

.

Найдем в явном виде частные производные ПФ

Эластичностью функции в точкепо переменной называется предел, по переменной – предел . ЗначитЭластичность приближённо показывает на сколько процентов изменится выпуск, если затраты какого-либо одного ресурса увеличатся на 1 % при неизменных объёмах другого ресурса.

Экономический смысл параметра . Эластичность выпуска по основным фондам равна. Значит, относительное изменение основных фондовна 1 % вызывает относительное изменение выпуска на% (приблизительно), если считать изменениена 1% достаточно малым.

Пример

Функции спроса на товары иимеют вид:;

где ,и,– спрос на товарыии их цены соответственно, – часть дохода потребителя, которую он расходует на приобретение названных товаров. Определить коэффициенты эластичности функций при .

►

Величины и показывают, что с ростом цены товарана 1%, спрос на товарснижается на 1,8%, а спрос на товарповышается на 0,043%.

Аналогично величины и Е_р2(у) показывают, что с увеличением цены товарана 1%, спрос на товарповышается на 0,11%, а спрос на товарснижается 0,27%.◄

Пусть выпуск является постоянным, (то есть все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда полный дифференциал ПФтождественно равен нулю

, здесь и─ дифференциалы переменныхи., значит,.

Отношение является предельной нормой замены основного капитала трудом.

2. Функция полезности. Задача потребительского выбора (ЗПР) В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, стремиться максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть на рынке потребителю предлагается n различных наборов благ где- количествоi-го блага в натуральных единицах. Блага приобретаются по рыночным ценам соответственно. Стоимость набора благ -В распоряжении потребителя имеется ограниченное число денегR (доход). Ясно, что существует бюджетное ограничение Полезность блага – это способность удовлетворять ту или иную потребность. Потребитель выбирает наиболее предпочтительный набор среди всех доступных. В XIX веке была введена функция полезности для предпочтения одного набора другому. Основное ее свойство в том, что потребитель предпочитает набор X, а не Y, если u(X)>u(Y), то есть она упорядочивает наборы по предпочтению. Рис.3. Рассмотрим пространство двух благ (товаров). Функция полезности – это субъективная числовая оценка полезностиu набора товаров (x,y). Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия. Так как если то потребителю безразлично, каким набором обладать, так как они имеют одинаковую полезность.

Чем «северо-восточнее» расположена кривая безразличия, тем большему уровню она соответствует (рис.3). Кривые безразличия являются убывающими. В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Математически этот факт описывается частными производными функции полезности: Предельные полезности положительны, так как с увеличением потребления блага его полезность возрастает. Вектор, координаты которого есть предельные полезности, называетсявектором предельных полезностей. Таким образом . Закон убывающей полезности гласит, что с увеличением потребления блага его предельная полезность убывает, то естьРассмотрим вопрос о взаимозаменяемости благ. Пусть объемы потребляемых благ изменились на малые величиныи. Тогда полным приращением полезности является величина, гдеЕсли двигаться вдоль линии уровня, тои, следовательно, можно считать равной нулю и главную линейную часть полного приращения, то есть. Тогдаилиэто есть предельная норма замены первого блага вторым. Она показывает, сколько надо единиц второго товара, чтобы заменить выбывшую малую единицу первого. Если потребитель обладает доходомR, то множество всех наборов товаров стоимостью не более R называется бюджетным множеством. Граница бюджетного множества - это множество наборов, которые стоят ровно R. ЗПВ (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого набора, который максимизирует функцию полезности при заданном бюджетном ограничении, то есть Таким образом, на бюджетном множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Графически поиск означает последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности до тех пор, пока линии еще имеют общие точки с бюджетным множеством. Следовательно, искомая точка лежит на границе бюджетного множества. В ней кривая безразличия касается линии бюджетного ограничения. Следовательно, ЗПВ можно заменить задачей на условный экстремум:Так как функция полезности является выпуклой, то на бюджетном множестве существует единственная точка максимума функции полезности.рис.4. Значит, у потребителя даже нет выбора в том, как с наибольшей пользой потратить свои деньги, так как существует единственный набор , максимизирующий полезность. Эта точка называетсяточкой спроса (рис.4). Для решения задачи на условный экстремум построим функцию Лагранжа . Согласно необходимому условию локального экстремума имеемВывод: точка спроса лежит на границе бюджетного множества. В ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен. Координаты и точки спроса есть функции параметров p₁, p₂ и R: .

Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй продукты соответственно. Важным свойством является их однородность нулевой степени относительно цен и дохода, то есть пропорциональное изменение цен и дохода не влечет изменение спроса на продукт (первый или второй – безразлично).

Пример

Линии уровня функции издержек производства называются изокостами. Пусть функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением , гдеи - объемы выпуска товаров первого и второго видов соответственно. Найти изокосту (линию постоянных издержек) для и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме 32.

►Изокоста задается уравнением или, то есть является дугой окружности радиуса 5 с центром в начале координат. Множество производственных возможностей определяется неравенствами:, то есть является четвертью круга, лежащей в первом квадранте.◄

Пример

Для некоторого товара определена производственная функция:

, где и факторы производства. Найти предельную производительность каждого фактора при .

►Находим частные производные от данной функции по и: и . Искомые производительности равны: и .◄

Пример

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Функция полных издержек определена соотношением. Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и найти эту прибыль.

►Функция прибыли имеет вид

.

Найдем максимум этой функции. Вычислим первые частные производные: ; и приравняем их нулю. Решив систему, получим . Проверим достаточные условия. Имеем: . Следовательно, при объемах выпуска достигается максимальная прибыль, равная.◄

Пример

Завод производит товар двух видов в количестве и. Известна функция полных издержекC = 10 + 5+ 7и функция цениспроса на каждый из этих товарови= 19 - 2. При каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли; найти этот максимум.

►Функция прибыли I имеет вид

I=+=+-++

или .Найдем максимум этой функции. Частные производные исуществуют при любых значенияхи. Чтобы найти точки, в которых они обращаются в ноль, решим систему

.

Отсюда, с учетом неотрицательности и, имеем две стационарные точки и , в которых возможны экстремумы функции прибыли. Для применения достаточного признака экстремума вычислим частные производные второго порядка

, ,.

В точке A=,B=,C=,

. Следовательно, в точке M функция не имеет экстремума.

В точке A=,B=,C=,

. Следовательно, в точке N при ифункция прибыли имеет максимум.◄

Пример

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Функция полных издержек определена соотношением. Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме. Найти эту прибыль.

►

Функция прибыли имеет вид:

.

Надо найти максимум этой функции для неотрицательныхи, удовлетворяющих условию, т.е. в области, заданной неравенствами: . (На рис. эта область заштрихована).

1)Находим координаты стационарной точки из системы:

имеющей для данной задачи вид: Решив систему, найдем стационарную точку. Полные издержки при таких объемах выпуска больше чем , поэтому точка не принадлежит множеству производственных возможностей.

2)Максимум прибыли достигается, следовательно, на границе области. Легко проверить, что на отрезках и критических точек нет. Найдем критическую точку на дуге . Уравнение этой дуги . Составим функцию Лагранжа:

.

Система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

.

Исключив , получим систему . Для данной задачи первое уравнение системы принимает вид:, или ,а второе: . Решая систему, найдем экстремальную точку . В этой точке линия уровня функции прибыли (эллипс с центром в точке касается изокосты.

3) Значения функции прибыли в угловых точках O(0; 0); A(4; 0) и B(0; 5) меньше чем в точке D(2, 3), следовательно, при объемах выпуска достигается максимальная прибыль .◄