- •Глава 1. Дифференциальное исчисление
- •§1. Понятие функции нескольких переменных
- •2. Предел функции
- •3. Непрерывность функции
- •4. Непрерывность по отдельным переменным
- •§2. Частные производные
- •1. Частные производные первого порядка
- •2. Частные производные высших порядков
- •§3. Полный дифференциал и его применение
- •§4. Дифференцирование сложных функций
- •1. Случай одной независимой переменной
- •2. Случай нескольких независимых переменных
- •§5. Неявные функции и их дифференцирование
- •§6.Экстремум функции многих переменных
- •§7.Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в замкнутой области
- •2.Условный экстремум функции двух переменных
- •§8. Градиент и производная по направлению
- •§9. Метод наименьших квадратов.
- •Результаты вспомогательных вычислений для получения коэффициентов системы нормальных уравнений (4) располагаем в таблице:
- •§10. Теория функций многих переменных и основные зависимости, используемые в экономике 1. Производственная функция
- •II. Вопросы промежуточного контроля
Глава 1. Дифференциальное исчисление
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§1. Понятие функции нескольких переменных
1. Произвольный упорядоченный набор из действительных чиселобозначаетсяи называется точкой-мерного арифметического пространства сами числа называются координатами точки
Пусть - произвольное множество точек-мерного арифметического пространства. Если каждой точкепоставлено в соответствие некоторое действительное числото говорят, что на множествезадана числовая функция отпеременныхМножествоназывается областью определения функции
Рассмотрим частный случай, когда .Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точкесоответствует некоторое число. В этом случае говорят, чтозадана функция с областью определенияи областью значений. При этоминазываютнезависимыми переменными (аргументами), а –зависимой переменной (функцией).
Функциючасто записывают в виде «». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рисунке.
Пример
На множестве определим функцию; тогда ее областью значений является отрезок. Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости; в этом случае имееми.
Частное значение функции приобычно записывают в виде
или.
Типовой пример
Найти область определения функции . Найти .
►Областью определения функции является решение неравенства или . Последнее неравенство определяет круг радиуса 2 с центром в точке 0(0; 0). .◄
Графиком этой функции называется множество точек пространства
представляющее собой некоторую поверхность в
При построении графика функции часто пользуются методом сечений.
Пример
Построить график функции и найти.
►Воспользуемся методом сечений.
–в плоскости – парабола.
–в плоскости –парабола.
–в плоскости – окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения.◄
В некоторых случаях наглядное представление о функции двух или трёх переменных может дать картина её линий уровня.
Линией уровня функции называется множество точек МплоскостиОху, удовлетворяющих равенству, гдес – константа.
Другими словами, линия уровня есть кривая, во всех точках которой функция принимает одно и то же постоянное значениес. Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy линии пересечения графика функции и горизонтальной плоскости .
Рис. 2
Пример
Линиями уровня функции являются окружности, то есть линии пересечения поверхностис плоскостями(рис. 2).
Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления – изобары.
По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями , можно получить представление о графике функции (то есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значенияс к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.
Расстоянием между двумя произвольными точками и(евклидова) пространстваназывается число
.
Множество точекназываетсяоткрытым кругом радиуса с центром в точке,–окружностью радиуса с центром в точке.
Открытый круг радиуса с центром в точкеназывается -окрестностью точки .
Определение. Точканазываетсявнутренней точкой множества , если существует-окрестностьточки, целиком принадлежащая множеству(т.е.)
Точка называетсяграничной точкой множества , если в любой ее-окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.
Множество называетсяоткрытым, если все его точки – внутренние.
Множество называетсязамкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется егограницей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множествоявляется замкнутым и называетсязамыканием множества .
Пример
Если , то. При этом.
Точка называетсяпредельной точкой множества , если в любой-окрестности точкисодержатся точки множества, отличные от.
Образно говоря, точка называется предельной точкой множества , если «к точкеможно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множестваи не наступая на саму точку». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.
Пример
Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множествоимеет единственную предельную точку.