linear_algebra_2

Матрицы

Определение 1.1

Матрицей с размерами m n называется прямоугольная таблица чи-

сел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например, A, B, C, ..., а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией : aij , где i номер строки, j номер столбца.

Пример

Матрица

23

имеет m строк и n столбцов.

Определение 1.2

Матрица

ai1 ai2 ::: ain

называется i-й строкой матрицы A, а матрица

2a1j 3

6a2j 7

67

4 ::: 5

amj

j-м столбцом матрицы A. Две матрицы A и B одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно. Равенство матриц записывается как A = B.

Виды матриц

Определение 1.3

Матрица произвольного размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается O.

Матрица, состоящая из одной строки

A = a11 a12 ::: a1n ;

называется матрицей-строкой или вектором. Матрица, состоящая из одного столбца

2a11 3

A = 6a21 7;

6 7

4 ::: 5

am1

называется матрицей-столбцом или также вектором.

Определение 1.4

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы aii , у которых номер строки совпадает с номером столбца, называются диагональными. Эти элементы образуют главную диагональ матрицы.

Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример

Матрица

23

1 0 0

A = 40 3 05

0 0 2 является диагональной матрицей третьего порядка.

Определение 1.5

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозна- чается E.

Пример

Матрица

2 3

1 0 0

E = 40 1 05

0 0 1 является единичной матрицей третьего порядка.

Определение 1.6

Матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Определение 1.7

Произвольная матрица вида C = [Aj B], составленная из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расширенной.

Пример

является расширенной.

Матрица

23

2a1 3

6a2 7 A = 6 7;

4::: 5

am

ãäå a1; a2; ; am матрицы-строки исходной матрицы A.

Определение 1.8

Квадратная матрица A n-го порядка называется симметричной, если ее элементы удовлетворяют равенству a ij = aji ; ãäå i; j = 1; 2; ; n.

Пример

Матрица

является симметричной, а матрица

антисимметричной.

Заметим, что у всех антисимметричных матриц на главной диагонали стоят нули.

Операции над матрицами

Над матрицами возможно проведение некоторых арифметических операций.

1.Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A = (aij ) на число называется такая

матрица B = (bij ), элементы которой вычисляются по формуле bij = aij . Операцию умножения записывают в виде равенства

B = A. Таким образом, чтобы умножить матрицу на число, нужно

умножить каждый элемент данной матрицы на это число. Верно и обратное : общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2.Сложение матриц одинакового размера

Суммой матриц A = (aij ) è B = (bij ) называется матрица

C = (cij ), элементы которой вычисляются по формуле cij = aij + bij ; ãäå i = 1; 2; :::; m; j = 1; 2; :::; n. Операцию сложения записывают в виде равенства C = A + B. Таким образом, при сложении матриц соответствующие элементы складываются.

3. Вычитание матриц одинакового размера

Разностью матриц A = (aij ) è B = (bij ) называется матрица

C = (cij ), элементы которой вычисляются по формуле cij = aij bij ; ãäå i = 1; 2; :::; m; j = 1; 2; :::; n. Операцию вычитания записывают в виде равенства C = A B. Таким образом, при вычитании матриц соответствующие элементы вычитаются.