3 Розділ
Математична статистика
Озн.1 Математична статистика – це розділ математики,який розглядає математичні методи систематизації обробки та використання статичних данних для наукових та практичних висновків.
Озн.2 Статичними данними називаються данні про кількість об’єктів в деякій сукупності ,які мають спільні ознаки.
Озн.3 предметом математичної статистики являється формальна математична сторона статичних методів дослідження,якій байдуже до специфічної суттєвості розглядаємих об’єктів.
М.с. розв’язує такі задачі:
1) Характеристика явищ, наприклад ,є деякий статичний матеріал .Як його привести до порядку? Якими формами графіків треба скористатись?
2) Аналіз та прогноз на основі статичних даних ,оцінка хоча б наближено характеристик, які нас цікавили. Чим обмежити м.с. диспер, або середнє квадратичне відхилення.
3) Обрання оптимального рішення ,наприклад, яку кількість випробувань n,достатньо для того, щоб відхилення Р* та Р не було більше ніж яке задане за умовою (перевірка правоподібності гіпотез)
ξ1.Вибірковий метод.
Вивчення множини однакових об’єктів може супроводжуватись як за якісними так і за кількісними ознаками. Наприклад, якщо досліджується партія виробів, то якісна ознака її може бути стандартність вироба, а кількісна-розмірність.
Перевірку можна проводити двома способами:
-
контроль всіх елементів вибірки
-
деякої частини виробів.
Перший не завжди можливий.
Озн.1 Множина випадкової величини відібраних об’єктів називається вибірковою сукупністю або вибіркою.
Озн.2 Вся множина об’єктів , які підлягають контролю і дослідженню називаються генеральною сукупністю.
Озн.3 Кількість об’єктів вибіркової сукупності називається об’ємом вибірки.
Зауваження: Генеральна сукупність має кінцеву множину об’єктів,
але дуже велику і тому вважається нескінченною
Вибірка може бути :
-
Повторна (об’єкт з поверненням)
-
Безповторна (без повернення )
Вибірка обов’язково повинна бути репрецентативною,
(представітельною.)Якщо в.в. дискретна,то статичним аналогом ряда розподілу являється статичний ряд, де замість Рі знаходяться частоти, які відповідають події Рі*.
Перше ,що ми отримаєм після випробування це статичний матеріал, який називається першою статичною сукупністю. Якщо дані різнорідні, то розглядання таблиць проблематично.
Першим кроком до аналізу таких даних є їх впорядкування, наприклад в порядку зростання або спадання ,таку матрицю називають впорядкованою статичною сукупністю.
Відповідно цій матриці можна побудувати статичну ф-ю розподілу.
F*(X)=P*(X-x),для кожного Х знаходимо 1/nі будуємо графік F*(x)=n(x)/n-частота ( Гливенко довів1933)коли n→∞ за теоремою Бернуллі F(x)-теор.ф. розподілу прямує до F*(x)-емпірична.
Приклад. Є вибірка –3;+2;-1;-3;+5; -3;+2;,побудувати графік емпір. Ф.розподілу.
n=7
0,1 x<=-3 0, x<= -3
n(x)={ 3, -3<=x<=-1 F*(x)={ 3/7, -3<=x<=2
4, -1<=x<=2 4/7, -1<=x<=2
6, 2<x<5 6/7, 2<=x<5
7, x<5 1, x<5
F(x)
X
Рис.1
Графік емпіричної функції розподілу F*(x).
Як і теоретична ф-я розподілу F*(x)не спадає,а її значення належить
[0;1].
ξ2.Поліган та гістограма.
Інколи на практиці достатньо побудувати графік групованого статичного ряду ,для того,щоб зробити потрібні висновки .
Озн.1 Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднані точками (Х1;n1);(X2;n2)...
Озн.2 Полігоном відносних частот називають ламану,відрізки якої з’єднують точки (Х1;W1) та (Х2;W2) ,де Хі-варіантна W=ni/n-відносна частота.
Озн.3 Групованим статичним рядом називається таблиця,де в верхньому рядку вказані інтервали в.в.,в нижньому-відповідні частоти або відносні частоти,або щільність частоти f*=ni/n∆x
Озн.4 Гістограмою частот, або відносних частот, називають степеневу фігуру ,яка складається з прямокутників ,основою яких є інтервали довжиною ∆Х=і+1-Хі,а висотою є значення nі/∆Х,(Wi/∆X);
(ni/n) в степені і+1.
Приклад. Кут φ, який визначає висоту спостерігаємого об’єкту над горизонтом, вимірюється за допомогою спеціального прилада.В.в. Х-похибка вимірювання.З метою дослідження точності прилада проведем n=500 вимірювань цієї похибки ,в тисячних частинах радіана ,отримаємо статичний груповий ряд.
|
-4:-3 |
-3:-2 |
-2:-1 |
-1:0 |
0:1 |
1:2 |
2:3 |
3:4 |
|
Рі* |
|
0,012 |
0,05 |
0,144 |
0,266 |
0,24 |
0,176 |
0,092 |
0,02 |
Ni |
|
6 |
25 |
72 |
133 |
120 |
88 |
46 |
10 |
Рис.2
Гістограма та графік теоритичної щільності розподілу f(x)випадкової величини.
Якщо ряд розподілу має велику кількість значень і треба знайти групований статичний ряд, з’являється питання про визначення кількості інтервалів та їх довжин.
Алгоритм побудови групованого ряду розподілу:
-
Визначити кількість інтервалів за ф-ю :
N=2+E(3.322lgn),E-ціла частина.
-
Визначити величину інтервалу ∆Х=(Xmax-Xmin)/(N-1)
-
Знайти ліву і праву границю розподілу
Хл=Хmin-∆X/2,Xп=Xmax+∆X/2
-
Побудувати групований ряд розподілу
Хі; Хі+1 |
|
|
Ni |
|
|
ni/n або ni/n∆x ,якщо треба побудувати гістограму.
ξ3 Вимірювання статичних розподілів.
Часто ми маємо справу з вибіркою за основу якої треба зробити висновки відносно генеральної сукупності .Однією з таких можливостей може бути ф-я щільності розподілу.Таким чином ми робимо вирівнювання статичних даних або їх гістограми.
F(x)
X
Підбір таких ф-й може бути графічний ,формулюється гіпотеза ,потім складається статичний вираз f(х).
Приклад:
В умовах раніше розглянутого приклада вирівняти статичний розподіл за допомогою нормального закону:
підібрав параметри м і δ так,щоб зберегти невідомі М(х) і D(x).
Приблизне значення статичного середнього mx знайдемо за формулою:
Mx*=∑Xi Pi≈0,168
=2,126-(0,168)=2.098
=1,448
Підставляючи м=0,168 і δ =1,448 в f(x) ,знайджемо
f(-4)=0.0045,f(-3)=0.0256,f(-2)=0,0895,f(-1)=0.1986,
f (0)=0,274, f(1)=0,2343,f(2)=0,1244, f(3)=0,04335.
Т.ч. нанесемо значення на гістограму і отримаємо зглажену криву.(рис .2)
Функція може мати рівняння ,або
Для знаходженнякоефіціентів використовують різноманітні методи.Один з таких методів –метод найменших квадратів.
Теорема : Якщо всі вимірювання значень ф-їі Y1,Y2,Yn зроблені з однаковою точністю,то оцінка параметрів
рівняння
визначається за умовою того,що сума квадратів відхилень вимірюваних значень Yk від тих ,що маємо-міn.
Нехай
приймала значення.Для цього треба скласти систему рівнянь
Якщо
то система має вигляд
Приклад
Висунута гіпотеза,що випадкові величини маютьлінійну залежність,треба знайти коефіціент рівняння y=kx+b,якщо
X |
2 |
4 |
6 |
8 |
y |
2 |
6 |
18 |
24 |
20k+4b=50
120k+20b=332
∆= 20 4
120 20 =400-480=-80
k=328/80=4,1
b=-640/80=8
y=4,1x + 8