2 Розрахунки на міцність при деформації “розтяг-стискання”

Осьовим (центральним) розтягом або стиском брусу – називається такий простий вид навантаження, при якому єдиним внутрішнім силовим фактором у поперечному перерізі цього стержня є внутрішня подовжня сила .

Простіше за все цей вид навантаження можна реалізувати, якщо прикласти до стержня зовнішні сили, лінія дії котрих збігається з його віссю (рисунок 2.1а).

Рисунок 2.1 – Модель розтягу брусу

Для визначення внутрішньої подовжньої сили застосуємо метод перерізів (рисунок 2.1б).

З умов рівноваги уявно відрізаної частини стержня отримаємо: .

Узагальному випадку, коли зовнішніх сил декілька, маємо правило:

Подовжня сила у поперечному перерізі стержня чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь стержня зовнішніх сил, розташованих з однієї сторони перерізу.

Правило знаків: , якщо вона розтягує (направлена від перерізу);

, якщо вона стискає (направлена до перерізу).

У поперечних перерізах діють тільки рівномірно розподілені (гіпотеза Бернуллі) нормальні напруження σ, що можуть визначатися за формулою

, (2.1)

де – площа перерізу.

Розтягнутий стержень деформується , як це зображено на рисунку 2.1, і змінює свої подовжні та поперечні розміри на відповідні величини та (при стиску було б та ). Відносні деформації:

подовжня (2.2)

поперечна (2.3)

Експериментально встановлено, що в межах пружних деформацій для кожного матеріалу зберігається постійне відношення

(2.4)

Ця пружна константа називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона.

Для будь-яких ізотропних матеріалів . Для більшості конструкційних матеріалів; для пробки; для гуми, рідини, а також при пластичних деформаціях твердих тіл можна прийняти.

Експерименти свідчать, що при навантаженні у відповідних межах для більшості матеріалів можна прийняти:

. (2.5)

Ця залежність має назвузакон Гука і формулюється таким чином:

Нормальні напруження прямо пропорційні лінійним деформаціям.

В формулі (2.5) –модуль подовжньої пружності або модуль пружності першого роду. Він характеризує властивості матеріалу опиратися пружному деформуванню, тобто чим більший модуль , тим менше деформується матеріал. Оскільки – безрозмірна величина, то одиниці вимірювання ті ж, що і у , тобтоПаскаль.

Для конструкційних сталей приймають , для міді .

Якщо в формулу (2.5) закону Гука підставити значення тазгідно з (2.1) і (2.2), то отримаємо запис закону Гука для визначення абсолютних деформацій

. (2.6)

В цій формулі добуток називаєтьсяжорсткістю при розтягу.

Слід відзначити, що формулою (2.6) можливо користуватися на ділянці стержня, в межах якої і залишаються постійними.

Формула для перевірки умов міцності при деформації що розглядається наведена у розділі 3.

3 Дослідне вивчення механічних властивостей матеріалів

При розрахунках на жорсткість і міцність необхідно знати механічні характеристики матеріалів: модуль пружності, коефіцієнт Пуассона, границі текучості та міцності, твердість та інші. Для їх визначення проводять спеціальні випробування матеріалів.

Найбільш важливими і водночас простими є випробування на розтяг. Для цього використовують спеціальні зразки – циліндричні (рисунок 3.1 а) або плоскі (рисунок 3.2 б). Згідно з відповідним ГОСТом зразки можуть мати різні розміри та форму, але при цьому витримуються співвідношення подібності:

• для так званих довгих зразків ; ();

• або для коротких зразків ; ().

Рисунок 3.1 – Зразки для випробувань матеріалів на розтяг

Вимоги геометричної подібності дозволяють для одних і тих же матеріалів отримувати схожі результати в різних лабораторіях, на різних зразках.

Зразок встановлюється у захватах та розтягується на спеціальній машині. Сучасні машини, зазвичай, автоматично вимірюють навантаження і абсолютне подовженняі записуютьдіаграму розтягу . Для подальших розрахунків отриману діаграму перебудовують в систему координат.

Для прикладу розглянемо детально діаграму розтягу маловуглецевої сталі (рис. 3.2). Наведемо назви ділянок і характерні точки діаграми. Позначення на рисунку відповідних механічних характеристик даються згідно з міжнародним стандартом. В тексті в дужках наведені також позначення з російськомовними індексами, бо такі позначення існують в переважній більшості технічної та навчальної літератури.

• Ділянка –зона пропорційності, де виконуються пропорційні співвідношення між таабо міжта.

Рисунок 3.2 – Діаграма розтягу маловуглецевої сталі

Границя пропорційності (рос. предел пропорциональности ) – це граничне напруження, до котрого матеріал підкоряється закону Гука.

Тангенс кута нахилу ділянки .

• Ділянка –зона пружності.

Між точками і діаграма трохи викривляється і закон Гука вже не виконується з достатньою точністю. Але, якщо напруження не перевищують точки , то при повному розвантаженні зразок повернеться до первісних розмірів, тобто до точки деформації пружні.

Границя пружності (рос. предел упругости ) – це граничне напруження, до котрого матеріал деформується пружно.

Більш точно сказати, що при розвантаженні з точки залишкові деформації не перевищують , а умовну границю пружності позначають.

Для сталі Ст.3 ,. Для більшості матеріалів можна нехтувати дуже невеликою різницею між границями пропорційності та пружності; тобто можна вважати, що точкиі діаграми збігаються.

• За межами зони пружності матеріал зразка деформується пружно-пластично. Якщо з будь-якого місця діаграми (вище точки ), наприклад з точки , провести розвантаження, то лінія розвантаженнябуде завжди паралельною ділянці. Точка відповідає величині залишкової деформації. При повторному навантаженні цього зразка лінія навантаження завжди збігається з лінією розвантаження (той же кутна рисунок 3.2).

Якщо не враховувати залишкову деформацію і умовно помістити початок координат у точку , то вийде, що зона пропорційностістала більшою ніж була спочатку. Таким чином, після попереднього пластичного деформування границя пропорційності матеріалу зростає. Це явище має назвунаклеп і широко використовується у техніці для зміцнення деталей.

• Горизонтальна ділянка –площадка текучості. На цій ділянці деформація зростає практично без підвищення навантаження, і таке явище має назву текучості матеріалу.

Границя текучості (фізична) (рос. предел текучести ) – це напруження, яке відповідає площадці текучості на діаграмі (рисунок 3.2).

Для сталі Ст.3 .

Діаграма розтягу багатьох конструкційних матеріалів не має горизонтальної площадки текучості, тому не може бути визначена фізична границя текучості. Для таких матеріалів через важливість цієї механічної характеристики вводять умовну границю текучості – це таке напруження, якому відповідають залишкові деформації . (Див. рисунок 3.3:– уявна лінія розвантаження, а точкавідповідає залишковій деформації).

До матеріалів, для яких визначається умовна границя текучості, відносяться дюралюміній, бронза, високовуглецеві та леговані сталі (наприклад, для сталі 37ХН3А ).

• Ділянка (рисунок 3.2) –зона зміцнення. Після того, як матеріал пройшов стан текучості, він “зміцнюється”, бо до нього повертається здатність опиратися розтягу. Для збільшення довжини зразка необхідно знову збільшувати навантаження. Але діаграма підіймається за точкою більш положисто, ніж у зоні пружності.

Границя міцності або тимчасовий опір (рос. предел прочности или временное сопротивление) – це відношення максимальної сили, яку може витримати зразок до його початкової площі перерізу.

Для сталі Ст 3 . У високоміцних сталей границя міцності сягає величини(сталь 40ХМНА та ін.).

У процесі навантаження зразка його довжина зростає, а переріз зменшується. У точці дійсна площа перерізу вже суттєво відрізняється від початкової площі, але для спрощення розрахунків всіхарактеристики міцності (,,,) обчислюються, виходячи з величини, тобто вумовних напруженнях (суцільна лінія на рисунку 3.2). Діаграма дійсних напружень, для яких враховується перемінна площа перерізу , показана на рисунку 3.2 штриховою лінією.

• Ділянка (рисунок 3.2) –зона локальної текучості. Доки навантаження зростало від нуля до максимального значення (точка ), зростання деформацій як пружних, так і пластичних (залишкових) відбувалося рівномірно по всій розрахунковій довжині зразка. При досягненні на діаграмі точки на зразку виникає місцеве звуження –шийка. З цієї миті деформації зростають лише поблизу шийки, яка швидко тоншає і, як наслідок, падає зусилля і умовне напруження. У точці зразок розривається.

Крім перелічених вище характеристик міцності (всі вони мають розмірність напружень – ) при випробуваннях на розтяг визначають такожхарактеристики пластичності:

Відносне залишкове подовження при розриві , (3.1)

де – розрахункова довжина зразка після розриву.

Для сталі Ст 3 . У високоміцних сталей ця величина знижується до. Величиназалежить від співвідношення довжини та поперечних розмірів зразка. Тому в довідниках указують на це:– означає, що подовження визначено на короткому зразку ();відповідно – для довгого зразка ().

Відносне залишкове звуження при розриві (3.2)

де – площа найменшого поперечного перерізу шийки після розриву.

Величина характеризує пластичні властивості матеріалу більш точно, ніж, бо вона менше залежить від форми зразка. Для сталі Ст 3.

В залежності від відносного залишкового подовження при розриві всі матеріали діляться напластичні та крихкі.

До дуже пластичних матеріалів відносяться мідь, алюміній, латунь, маловуглецева сталь (діаграма розтягу якої на рисунку 3.2 нами розглядалася). Менш пластичними є дюраль і бронза, а слабопластичними – більшість легованих сталей.

До крихких відносять матеріали (чавун, загартовані сталі), для яких ; а для дуже крихких (кераміка)може дорівнювати навіть долям відсотків.

Слід відзначити, що поділення матеріалів на пластичні та крихкі є умовним, бо в залежності від умов випробувань (швидкості навантаження, температури) та виду напруженого стану крихкі матеріали здатні вести себе як пластичні, а пластичні – як крихкі. Наприклад, чавунний зразок в умовах всебічного стиску веде себе як пластичний, бо не руйнується навіть при значних деформаціях. І навпаки, зразок із маловуглецевої сталі з виточкою руйнується при незначних деформаціях.

Таким чином, вірніше говорити про пластичний чи крихкий стан матеріалу (або його поведінку).

При розтягу крихких матеріалів спостерігається ряд особливостей. Діаграма розтягу чавуна показана на рисунку 3.4. З діаграми видно, що відхилення від закону Гука починається дуже рано. Розрив настає раптово (точка діаграми) при дуже малих деформаціях і без утворення шийки, що характерно для всіх крихких матеріалів.

При випробуваннях на розтяг та стиск крихких матеріалів визначають, як правило, лише границю міцності (максимальні умовні напруження, які витримує зразок).

Для випробувань на стиск беруть зразки у формі коротких циліндрів () або кубиків. При стиску зразок із пластичного матеріалу не руйнується (лише розплющується), а із крихкого дає тріщини і руйнується. При цьому границя міцності крихкого матеріалу при стиску у декілька раз більше у порівнянні з розтягом (рисунок 3.4). Крихкий матеріал добре сприймає стиск і погано – розтяг.

У техніці в останні роки широко використовуються поліамідні волокна (капрон), полістирол та інші пластмаси. Механічні властивості пластмас дуже різноманітні. Пластики, наприклад, схильні до повзучості та релаксації напружень.

Повзучість – це повільне у часі зростання пластичних деформацій при постійному навантаженні, яке спочатку викликає лише пружні деформації. Повзучість ще називають пластичною (або пружно-пластичною) післядією.

Крива повзучості з її характерними ділянками зображена на рисунку 3.5: – пружні деформації при навантаженні;– стадія неусталеної повзучості;– стадія усталеної повзучості (швидкість повзучості постійна і мінімальна);– стадія прогресуючої повзучості (руйнування).

Для сталей і чавунів повзучість має значення лише при підвищеній температурі () і протікає тим інтенсивніше, чим вище температура. Для металів з низькою температурою плавлення (свинець, алюміній), для бетону, деревини, високополімерних матеріалів повзучість суттєва і при кімнатній температурі.

Релаксація – повільне у часі зменшення напружень при постійній повній деформації (рисунок 3.6).

При релаксації зростання пластичних деформацій компенсується одночасним зменшенням пружних деформацій, що і приводить до зменшення напружень. Релаксація напружень особливо небезпечна у фланцевому з`єднанні, бо може бути послаблена щільність з`єднання, а це призведе до порушення нормальної роботи конструкції (витікання газу або пару у фланцевому з`єднанні). Явище релаксації має місце при тих же умовах, що і явище повзучості. Основним методом попередження цього негативного явища є періодична затяжка болтового з’єднання фланців.

В заводських умовах часто треба перевірити міцність деталі, наприклад для контролю правильності проведеної термообробки. Вирізати зразок з виготовленої деталі, як правило, неможливо, тому для непрямого визначення міцності матеріалу застосовують випробування на твердість.

Твердістю називається властивість матеріалу протидіяти прониканню в його поверхню більш твердого тіла – наконечника (індентора).

Для визначення твердості використовують методи Бринеля, Роквела та Вікерса.

Числом твердості за Бринелем є відношення сили, з якою загартована кулька тисне на поверхню зразка, до площини одержаного при цьому відбитка:(3.3)

При випробуванні за методом Роквела у поверхню зразку вдавлюється гострий алмазний конус (шкала ) або сталева загартована кулька (шкала). З урахуванням значень сили і глибини проникнення у зразок конуса (кульки) від двох послідовних навантаженнях по шкалі прибору визначається число твердості за Роквелом ().

Число твердості за Вікерсом є відношення сили , що тисне на алмазну пірамідку, до площинибічної поверхні, отриманого на поверхні зразка відбитку.

Між числом твердості та границею міцності для кожного матеріалу існує експериментально підтверджена залежність. Так, для вуглецевої сталі .

В результаті механічних випробувань визначаються граничні (небезпечні) напруження , при яких може порушитися працездатність конструкції. За небезпечне напруження при статичному навантаженні для пластичних матеріалів можна прийняти границю текучості , а для крихких – границю міцності на розтягчи на стиск. Для забезпечення міцності деталей необхідно, щоб напруження, що виникають у них в процесі експлуатації, були меншими від небезпечних з певним запасом.

Максимальне безпечне напруження називається допустимим. Воно визначається як відношення небезпечного напруження до нормативного (призначеного нормами проектування конструкцій) коефіцієнту запасу:

. (3.4)

Нормативний коефіцієнт запасу лежить в широких межах . Його значення залежить від умов роботи деталі, точності методів розрахунку, властивостей матеріалу, призначення конструкції та інших факторів. Більш детальні рекомендації щодо нормативного коефіцієнта запасу наводяться у спеціальній довідниковій літературі в залежності від галузі техніки, досвіду проектування та експлуатації машин певного типу.

З урахуванням формули (2.1) умову міцності при розтягу можна записати у вигляді

. (3.5)