4
3.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
3.1.Исследование нелинейной функции одной переменной
3.1.1.Условие задания № 1
Дана нелинейная функция f(x) и указан диапазон изменения аргумента (прил. 1) согласно варианту. Требуется:
1.Выполнить исследование нелинейного уравнения вида f(x)=0 (отыскать корни и экстремумы) с помощью программ Excel и Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
•Провести табулирование функции f(x) на заданном интервале (прил.1). Шаг табуляции h=0,2. Возможно применение другого шага, если при этом график получается более информативным и наглядным. Оформить таблицу (рамки, названия столбцов и т.п.).
•Построить график функции f(x). Нежелательно использовать линии с маркерами, так как иногда наличие маркеров затрудняет определение характерных точек на кривой, например точек пересечения с горизонтальной осью.
•По графику определить приближенные значения корней уравнения f(x)=0 и точек экстремума функции. Этот этап называется «локализация корней и экстремумов». На нем необходимо обязательно задавать начальное приближение того значения аргумента, вблизи которого имеется корень или экстремум. В ходе последующего использования имеющихся процедур уточняется значение аргумента (соответствующего нужному корню или экстремуму). Поэтому для каждого корня или экстремума обязательно должно быть задано свое начальное приближение.
•С помощью процедуры «Подбор параметра» определить уточненные значения корней уравнения f(x)=0. Точность реализации этого этапа можно настроить, используя меню «Параметры». Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.
5
2.С помощью надстройки «Поиск решения» Excel найти экстремумы функции f(x). Выделить в таблице цветом точки корней и экстремумов или привести в соответствующих строках подписи рядом с таблицей («Корень 1», «Корень 2», «Максимум 1», «Минимум 2» и т.п.). Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.
3.Решить это же нелинейное уравнение с помощью программы Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
•Построить график функции f(x).
•По графику определить начальные приближения корней уравнения f(x).
•Для каждого приближения определить уточненные значения корней уравнения. Для этих целей могут быть использованы соответствующие функции Mathcad: «root», «find» и т.п. Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.
4.С помощью символьных вычислений в Mathcad найти производную функции f(x). Найти экстремумы функции f(x) путем решения уравнения f'(x)=0 аналогично пункту 3. Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.
5.Сравнить полученные результаты и сделать выводы об эффективности Excel и Mathcad при решении задач нахождения корней нелинейного уравнения и поиска экстремумов функции.
3.1.2.Пример выполнения задания № 1
Рассмотрим выполнение задания №1 на примере уравнения x2 − x 1−1 −5 = 0 и интервале [-5;5].
Выполним табулирование функции x2 − x 1−1 −5 = 0 в Excel на
интервале [-5;5] с шагом 0,2.
На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (рис. 1).
1.На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут находиться в точках пересечения графика функции с осью абсцисс, а также их
6
приближенные значения можно определить по таблице табуляции в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корней уравнения: -2.0, 0.6 и 2.2.
Рис. 1. Табуляция функции и построение графика в Excel
2.С помощью процедуры «Подбор параметра» определяем точное значение корня для каждого приближенного значения.
Получаем следующие значения корней уравнения: x1=- 2.16437, x2=0.77287 и x3=2.39132 (рис.2).
Рис. 2. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения
7
3.Найдем в Excel экстремумы функции f(x). По графику видно, что данная функция имеет только одну точку экстремума (минимума) в районе x=-0,4. Для нахождения этого экстремума воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим её согласно рис.3. Для этого сначала устанавливается целевая ячейка (ячейка из столбца значений функций – f(x), в которой функция принимает либо максимальное, либо минимальное значение по сравнению с соседними: верхними и нижними ячейками). После этого в поле «Изменяя ячейки» указывается адрес ячейки, в которой содержится соответствующее значение аргумента x. Именно этот адрес ячейки содержится в формуле для вычисления значения функции в целевой ячейке (обычно изменяемая ячейка расположена слева от целевой ячейки).
Рис. 3. Настройка формы «Поиск решения» для функции с разрывом
Для функций такого типа (с разрывами) обязательно нужно добавлять ограничения нижнего и верхнего значения аргумента, чтобы в решении не оказалось бесконечное число, соответствующее точке разрыва. Для функций без разрыва ограничений можно не задавать (рис.4).
4.Сформируем отчет о результатах поиска (рис. 5), из которого видно, что искомое значение экстремума функции xэкс=-0,29716.
8
Рис. 4. Решение задачи для функции, не имеющей разрывов
Рис. 5. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью надстройки «Поиск решения»
9
5. С помощью программы Mathcad построим график |
функции |
||||
y = x2 − |
1 |
|
−5 на интервале [-5;5] (рис. 6). По |
графику |
|
x −1 |
|||||
|
|
|
|||
определяем приближенные значения корней уравнения: -2,1,
0,8 и 2,4.
Рис. 6. График функции f(x), построенный в Mathcad
6.С помощью функции root находим точные значения корней уравнения: x1=-2,16425, x2=0,77287 и x3=2,39138.
7.Используя инструментарий Mathcad для работы с
символьными |
вычислениями, |
находим |
производную |
|||
f |
(x)= 2x + |
1 |
|
|
|
|
(x −1)2 . |
|
|
|
|||
|
′ |
|
|
|
|
|
8. Построим график производной функции f(x). По графику определяем приближенное значение корня f'(x)=0: x=-0,4. С помощью функции root находим точное значение корня уравнения f'(x)=0 (рис. 7), а значит, и значение экстремума функции f(x): x=-0,29716.