- •Высшая математика
- •II курса очной формы обучения
- •Оглавление
- •Глава 1. Комплексные числа
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Операции над комплексными числами
- •Глава 2. Матрицы и операции над ними
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Операции над матрицами
- •2.3. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •2.4. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 3. Дифференциальные уравнения
- •3.1. Понятия о дифференциальном уравнении
- •3.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Глава 4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Глава 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Глава 6. Линейные неоднородные
- •Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Глава 7. Элементы операционного исчисления
- •7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение
- •7.2. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений
- •Глава 8. Интегрирование однородных систем с постоянными коэффициентами
- •Глава 9. Ряды
- •9.1. Числовые ряды с положительными членами
- •9.2. Знакочередующиеся ряды
- •9.3. Степенные ряды
- •9.4. Разложение функций в степенные ряды
- •9.5. Ряды Фурье
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Ранее рассматривался метод подбора частного решения дифференциального уравнения вида (6.1) в случае, когда правая часть f(x) могла быть представлена как ex (Ф(x)cosbx+ +Q(x)sinbx).
В других случаях применяют метод вариации произвольных постоянных. Ограничимся рассмотрением этого метода для уравнений второго порядка: y"+а1y'+а2y=f(x).
Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть найдено по корням характеристического уравнения как , гдеу1 и у2 – два независимых частных решения. Рассматривая теперь произвольные постоянные с1 и с2 как функции, зависящие от х, подберем их таким образом, чтобы решение являлось бы решением заданного уравнения с правой частью. Для определения этих неизвестных пока функций необходимо решить следующую систему:
относительно c'1(x) и c'2(x). Проинтегрировав полученные выражения, найдем искомые функции c1(x) и c2(x).
___________________
1. Решить уравнения методом вариации произвольных постоянных:
а) y"+y=;
б) y"+4y'+4y=е-2хlnx;
в) y"-2y'+y=;
г) y"-y'=.
_____________________
Ответы:
1. а) ;
б) ;
в) ;
г)
Глава 7. Элементы операционного исчисления
7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение
Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
Функция f(t) определена и непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка при t0. Это означает, что в каждом конкретном промежутке функция f(t) имеет лишь конечное число точек разрыва I рода. Это условие обеспечивает интегрируемость функции f(t)e-pt в любом конечном промежутке [0;а];
f(t)0 для всех t<0;
Существуют действительные числа M>0; t00 и S такие, что |f(t)|<Mest при всех t>t00.
Пусть f(t) – оригинал, а p=+i - комплексное число. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p), определяемая равенством:
.
Функция F(p) называется также преобразованием Лапласа от функции f(t). Тот факт, что функция F(p) является изображением оригинала f(t), обозначают так: f(t)F(p) или F(p)=L{f(t)}.
Изображение оригинала обозначается той же буквой, только заглавной, например: f(t)F(p), g1(t) G1(p) и т.д.
Важнейшие свойства преобразования Лапласа отражены в следующих теоремах.
Теорема 1 (единственности изображения).
Если оригиналы f(t) и g(t) непрерывны и имеют одинаковое изображение F(p), то эти функции совпадают.
Теорема 2 (свойство линейности).
Для произвольных комплексных постоянных и справедливо соотношение: f(t)+g(t) F(p)+G(p).
Теорема 3 (подобия).
Для любого действительного r>0 справедливо соотношение: .
Теорема 4 (смещения).
Для любого комплексного числа р0 имеется соотношение: .
Теорема 5 (запаздывания).
Для любого действительного положительного числа имеется соотношение: f(t-) e-pF(p).
Теорема 6. (дифференцирование оригинала).
Если функция f(t) и ее производные являются оригиналами и f(t)F(p), то f'(t) pF(p)-f(0),
f"(t) p2F(p)-pf(0)-f'(0),
… … …
f(n)(t) pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f'(0)-...-pf (n-1)(0)-f (n-1)(0).
Теорема 7 (о дифференцировании изображения).
Если f(t)F(p),то - tf(t) F'(p). В общем случае (-1)ntn f(t)F(n)(p).
Теорема 8 (об интегрировании оригинала).
Если f(t)F(p), то .
Теорема 9 (об интегрировании изображения).
Если f(t)F(p) и интеграл сходится, то.
Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала демонстрируют тот факт, что операции дифференцирования и интегрирования оригиналов сводятся соответственно к операциям умножения и деления на р их изображения.
Таблица изображений некоторых основных функций
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. ; |
9. ; |
10. ; |
11. ; |
12. |
13. |
14. f'(t) pF(p)-f(0); |
15. f"(t) p2F(p)-pf(0)-f'(0); |
16. f(n)(t) pnF(p)-(pn-1f(0)+ +p n-2f'(0)+...+f (n-1)(0)). |
______________________
1. Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:
а) f(t)=2+t3+tcos2t; б) f(t)=te2t-sin3t ; в) f(t)=et+5.
2. Найти оригиналы для следующих изображений:
а) ; б);
в) ; г); д).
3. Найти оригиналы следующих изображений:
а) ; б).
4. Найти изображения следующих оригиналов:
а) f(t)=3e-t+etcos3t; б) f(t)=tet-1+t2et-2.
5. Найти оригиналы следующих изображений:
а) ; б);
в) .
_____________________
Ответы:
1. а) ; б);
в) .
2. а) ; б);
в) ; г)f(t)=e-t(cost-sint);
д) .
3. а) f(t)=2-2e-t; б) .
4. а) ; б) ;
5. а) f(t)=t+t2; б) f(t)=et+2e2t; в) .