7.2. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений

Методы операционного исчисления удобно применять при решении некоторых дифференциальных уравнений.

Пусть задано дифференциальное уравнение, например 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

a₀x"(t)+a₁x'(t)+a₂x(t)=f(t),

где а₀, а₁, а₂=const. Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: х(0)=х₁, x'(0)=x₂. Предположим, что правая часть данного уравнения является оригиналом. Тогда и решение x(t) этого уравнения тоже будет оригиналом. Пусть x(t) X(p), тогда

x'(t)pX(p)-x(0)=pX(p)-x₁

x"(t)p²X(p)-px(0)-x'(0)=p²X(p)-px₁-x₂.

Далее находим изображение функции f(t) F(p).

Наконец, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности преобразования Лапласа, получаем операторное уравнение:

a₀(p²X(p)-px₁-x₂)+a₁(pX(p)-x₁)+a₂X(p)=F(p).

Это уравнение является линейным относительно известной функции X(p). Решая его, находим Х(р) и затем по Х(р) восстанавливаем оригинал f(t).

_______________________

Средствами операторного исчисления решить линейные (однородные и неоднородные) дифференциальные уравнения (всюду x=x(t)):

1. x'+3x=0, x(0)=2.

2. x'-4x=1-4t, x(0)=1.

3. x"+ 4x'-5x=0, x(0)=3, x'(0)=-3.

4. x"-6 x'+9x=0, x(0)=1, x'(0)=2.

5. x"- x'=sint, x(0)=-1, x'(0)=0.

6. x"+2x'+x=t+2, x(0)=0, x'(0)=2.

7. x"- x'=e^t, x(0)=x'(0)=4.

8. x"-3x'+10x=9sint-3cost, x(0)=0, x'(0)=-2.

9. x"+2 x'+x=t, x(0)=x'(0)=0.

10. x"+2x'+10x=sin3t+6cos3t, x(0)=x'(0)=1.

Ответы:

1. 2е^-3t; 2. е^4t+t; 3. 2е^t+е^-5t; 4. е^3t-tе^3t ; 5. ;

6. tе^-t+t; 7. tе^t+3е^t+1; 8. е^2t-е^5t+sint; 9. tе^-t+2е^-t+t-2 ;

10. е^-tcos3t-е^-tsin3t+sin3t.

Глава 8. Интегрирование однородных систем с постоянными коэффициентами

Найти общее решение систем дифференциальных уравнений и, где указано, выделить частное решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ответы:

1. 2.3.

4. 5.6.

Глава 9. Ряды

9.1. Числовые ряды с положительными членами

Пусть задана бесконечная последовательность чисел а₁, а₂,…, а_n,… .

Числовым рядом называется выражение вида

а₁+а₂+ а₃+ а_n+… =.

Числа а₁, а₂,…, а_n,… называются членами ряда, число а_n – общим членом ряда.

Суммы вида S₁= а₁, S₂= а₁ + а₂, S₃= а₁ + а₂ +а₃,…, S_n= а₁ + а₂ +…+а_n называются частичными суммами.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм , в противном случае ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости

Если ряд сходится, то общий член рядаn стремится к нулю, т.е. .

Если , то ряд расходится.

Признаки сходимости рядов с положительными членами

1-й признак сравнения

Пусть и- ряды с положительными членами, причемa_nb_n для всех номеров, начиная с некоторого n=k. Тогда

1. если ряд сходится, то сходится и ряд;

2. если ряд расходится, то расходится и ряд.

2-й признак сравнения

Пусть и- ряды с положительными членами и пусть существует конечный, отличный от нуля предел. Тогда оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.

Для сравнения часто используются следующие ряды:

1) , при этом, если1, то ряд сходится, если 1, то ряд расходится;

2) , если |q|<1, то ряд сходится; в противном случае – расходится.

Признак Даламбера

Пусть - ряд с положительными членами, и существует конечный предел.

, тогда если k<1, то ряд сходится, если k>1, то ряд расходится. Если k=1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд другими методами.

Признак Коши

Пусть - ряд с положительными членами и существует конечный предел:

, тогда если k<1, то ряд сходится, если k>1, то ряд расходится, если k=1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд другими методами.

Интегральный признак сходимости

Пусть - ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1;) функция f(x) такая, что f(n)=a_n, n=1;2;…. Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно.

1. Для следующих рядов проверить необходимый признак сходимости:

а) ; б); в); г);

д) ; е).

2. Исследовать на сходимость ряд, применяя 1-й признак сравнения

а) ; б); в); г);

д) .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж); з).

4. Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера

а) ; б); в); г); д); е).

5. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:

а) ; б); в).

6. Применяя интегральный признак, исследовать ряды на сходимость:

а) ; б); в).

7. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и).

_______________________

Ответы:

1. а) расходится; б) ; в) расходится; г) расходится;

д) ; е) расходится.

2. а) сходится; б) расходится; в) расходится; г) сходится;

д) расходится.

3. а) расходится; б) сходится; в) расходится; г) расходится;

д) расходится; е) сходится; ж) сходится; з) сходится.

4. а) расходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится;

д) расходится; е) сходится.

5. а) расходится; б) сходится; в) сходится.

6. а) расходится; б) расходится; в) расходится.

7. а) расходится; б) расходится; в) расходится; г) сходится;

д) сходится; е) сходится; ж) расходится; з) сходится;

и) расходится.