6. Тематика экзаменационных задач

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

2. Операции над матрицами.

3. Обратная матрица.

4. Решение матричных уравнений.

5. Ранг матрицы.

6. Исследование систем линейных алгебраических уравнений.

7. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

8. Линейные операции над векторами.

9. Прямоугольные координаты вектора.

10. Линейная зависимость и независимость векторов.

11. Базис на плоскости и в пространстве.

12. Координаты вектора в косоугольном базисе.

13. Коллинеарность векторов.

14. Компланарность векторов.

15. Скалярное произведение векторов.

16. Проекция вектора на ось.

17. Векторное произведение векторов.

18. Смешанное произведение векторов.

19. Механические приложения скалярного и векторного произведений векторов.

20. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

21. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

23. Уравнение окружности.

24. Эллипс, гипербола и парабола в канонической системе координат.

25. Приведение к каноническому виду и построение кривой 2-го порядка, уравнение которой не содержит произведения координат

26. Графическое решение квадратичных неравенств от двух переменных.

27. Переход от одного вида уравнения прямой в пространстве к другому.

28. Взаимное расположение в пространстве плоскостей, прямых и прямой и плоскости.

29. Угол между плоскостями (прямой и плоскостью).

30. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямой и плоскости.

31. Проекция точки на плоскость.

32. Расстояние от точки до плоскости (прямой).

7. Примеры экзаменационных задач

1. При каком α ранг матрицы А равен 2?

.

2. Известно, что При каких значениях λ векторы

и будут перпендикулярны?

3. В треугольнике с вершинами А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1) найти высоту, опущенную из вершины В на сторону АС.

4. При каком α векторы (-1,5,4),(α,3,1) и(5,-1,2) будут компланарны?

5. Вычислить расстояние от точки М(1,1) до прямой L: x=2t-1, y=t+2.

6. Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 4х² + 3у² - 8х + 12у < 32.

7. Найти точки гиперболы 16х² – 9у² = 144, находящиеся на расстоянии 7 от левого фокуса гиперболы.

8. Прямая L задана общими уравнениями. Написать для этой прямой канонические уравнения.

9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1,2,0) и М₂(2,1,1) перпендикулярно плоскости х – у + 1 = 0.

10. Найти проекцию точки М(0,1,2) на прямой

8. Перечень знаний, навыков и умений для получения удовлетворительной оценки

Для получения удовлетворительной оценки студент должен:

• знать основные понятия, теоремы и формулы, а также уметь применять их при решении типовых задач;

• уметь использовать элементы векторной алгебры в приложении к задачам аналитической геометрии;

• усвоить методы решения стандартных задач линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии.

Приведем тематику типовых задач:

• системы линейных алгебраических уравнений;

• линейные операции над векторами;

• линейные операции над векторами, заданными в координатной форме;

• скалярное произведение и его свойства;

• скалярное произведение в координатной форме, вычисление длин векторов и углов между ними;

• проекция вектора и ее вычисление;

• векторное произведение и его свойства;

• векторное произведение в координатной форме, приложения векторного произведения;

• смешанное произведение и его свойства;

• смешанное произведение в координатной форме, приложения смешанного произведения;

• условия перпендикулярности, коллинеарности и компланарности векторов;

• прямая на плоскости;

• общее уравнение плоскости;

• общие, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве;

• взаимное расположение а) двух плоскостей, б) двух прямых;

• взаимное расположение прямой и плоскости;

• канонические уравнения кривых второго порядка.