Lab7K

Лабораторная работа № 7-К

«ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»

1. Введение

1.1. Пружинный маятник является одним из самых простых и важных для технических приложений примеров осциллятора – системы способной совершать собственные (при некоторых условиях близкие к гармоническим) колебания.

1.2. Целью настоящей лабораторной работы является экспериментальное ознакомление с собственными колебаниями пружинного маятника и определение некоторых его параметров.

2. Основные понятия

2.1. Дифференциальное уравнение, описывающее динамику одномерных затухающих колебаний пружинного маятника (рис.1), при наличии сил сопротивления пропорциональных скорости (движение с небольшими скоростями в газе или жидкости), можно записать на основе законов Ньютона, Стокса и Гука в следующем виде:

, (1)

, (2)

где x(t) – смещение маятника от положения равновесия, - коэффициент затухания; ω₀ - круговая частота собственных незатухающих колебаний , m – масса груза, r – коэффициент сопротивления, k – коэффициент упругости пружины.

2.2. Решение этого уравнения при малом затухании (β < ω₀) получаем в виде затухающих колебаний- график на рис.(1):

(3)

Начальные амплитуда А₀ и фаза α определяются начальными смещением и скоростью

2.3. Для характеристики степени затухания, кроме величины β, используют логарифмический декремент затухания λ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T)

(4)

Из формул (3) и (4) следует

(5)

где N – число колебаний, совершенных между измерениями амплитуд.

2.4. В процессе колебаний энергия упругой деформации пружины переходит в кинетическую энергию груза и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями.

Удобно пользоваться добротностью осциллятора Q, которая вводится как

(6)

Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω₀)

(7)

2.5. В данной лабораторной работе нужно определить собственную частоту незатухающих колебаний статическим методом, частоту затухающих колебаний динамическим методом, рассчитать логарифмический декремент затухания и добротность.

3. Описание лабораторной установки

3.1. Общий вид лабораторной установки показан на рис.1. Изучается затухание колебаний в воздухе. Растяжение пружины и амплитуды колебаний определяются по измерительной линейке Л с помощью измерительного диска Д. Время колебаний определяется ручным секундомером.

Рис.1

4. Техника безопасности

4.1. При проведении работы соблюдайте правила техники безопасности.

4.2. Бережно относитесь к оборудованию и измерительным приборам.

5. Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений

5.1. Запишите технические данные приборов в табл. 1.

Таблица 1

Прибор	Предел измерений	Цена деления	Погрешность
Линейка
Секундомер

5.2. Определение собственной частоты незатухающих колебаний статическим методом.

5.2.1. Измерив статическое удлинение пружины x под действием груза массы m, имеем (из kx = mg) k = mg /x; подставляя в формулу (2), получим

(8)

(9)

где ΔL– погрешность линейки.

Данные поместить в табл. 2.

Таблица 2

x = L – L0	ω0	Δω0

Записать результат вычисления частоты в виде ω₀ = (ω₀ ± Δω₀) 1/c.

5.3. Измерение частоты затухающих колебаний динамическим методом

5.3.1. Измерив 5 раз секундомером время t десяти полных периодов колебаний маятника, можно рассчитать период колебаний и их частоту, с погрешностями, по приведённым формулам (10),(11):

(10)

(11)

Данные поместить в табл. 3 и 4.

Таблица 3

№п/п	ti	Δti	Δti²
1
2
3
4
5

Таблица 4

	T	St

Записать результат расчёта частоты в виде ω = (ω ± Δω), 1/c. Cравнить с данными по ω₀.

5.4. Расчёт логарифмического декремента затухания колебаний и добротности пружинного маятника

5.4.1. Задав начальную амплитуду (оттянув маятник вниз от положения равновесия на 20 мм и отпустив), отсчитывают наглядно число N полных колебаний маятника за время уменьшения их амплитуды в 2 раза. Измерение провести один раз. Рассчитать логарифмический декремент λ и добротность Q по формулам (5) и (6) с погрешностями (учитывая только приборные)

, (12) где Δ L - приборная погрешность линейки в мм. Данные поместить в табл. 5.

Таблица 5

N	λ=(ln 2)/N	Δλ	Q = π / λ	ΔQ

Записать результаты расчёта в виде

λ = λ ± Δλ Q = Q ± ΔQ.

Литература

1.Савельев, И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.

2. Савельев, И.В. Курс общей физики. T2. Электричество и магнетизм / И.В.Савельев.- М.: Изд-во «Астрель», 2001.

Вопросы для самоконтроля

1-й КОМПЛЕКТ

1. Из каких законов физики и как выводится уравнение (1)?

2. Выразите начальную амплитуду (при малом затухании), исходя из начальных условий x₀ = 0.1м V₀ = 0 .

3. Чему равно относительное изменение амплитуды за один период, если λ <<1?

2-й КОМПЛЕКТ

1. Назовите основные параметры затухающих колебаний.

2. Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение при ω₀ > β.

3. Сколько колебаний совершится за время релаксации τ =1 / β ?

3-й КОМПЛЕКТ

1. Покажите, что формула для добротности Q (7) приводит к формуле (6). При каких условиях?

2. Найти A₀ из начальных условий при малом затухании (x₀ = 0 , V₀ = 1 м/c, ω₀ =10 1/c).

3. Покажите линейную зависимость ускорения от смещения при гармонических колебаниях.

4-й КОМПЛЕКТ

1. Запишите решение дифференциального уравнения-формула (1). Приведите его график (ω₀ > β).

2. Дайте определение логарифмического декремента затухания, добротности.

3. Докажите эквивалентность формул (4) и (5).

5-й КОМПЛЕКТ

1. При каких условиях совершаются колебания близкие к гармоническим?

2. Проведите аналогию между пружинным маятником и электромагнитным контуром.

3. Как изменится амплитуда за период, если λ = 0.1?

6-й КОМПЛЕКТ

1. Выведите формулу для частоты собственных гармонических колебаний тела, подвешенного на пружинке.

2. Что такое время релаксации? От каких параметров оно зависит?

3. Чему аналогична сила упругости пружины для математического маятника?

Написал описание лабораторной работы

и составил вопросы для самоконтроля

ст. преподаватель Афанасьев Б.Л