Ответы к экзамену по математике 1 семестр

1.

2.

3.

4.

4(1)

5. Предел функции

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . При этих условиях в точке функция либо непрерывна, либо терпит разрыв. В последнем случае бывает возможно доопределить функцию или переопределить её по непрерывности в точке , т. е. приписать в точке такое значение , при котором функция окажется непрерывной в этой точке.

6.

7.

8.

9.

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Физический смысл производной-если точка движется вдоль оси х и её координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: v(t)=x`(t)

Экономический смысл производной- производная выражает предельные издержки.

10.

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Метод средних прямоугольников

Для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h, высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников

Метод трапеций Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у₁, у₂, у₃,..у_n, где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).

Метод прямоугольников Определенный интеграл функции от функции f(x): численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x)

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников.

26.

27.

28.

Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆_хz. Итак,

Δ_хz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δ_уz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством

Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

 Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М₀(х₀;у₀) обычно обозначают символами

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

 

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е^{х2-у +1}. Решение:

29.

Метод Эйлера - классический метод решения задач безусловной оптимизации

Этот метод основан на необходимых и достаточных условиях, изученных в 1.1 - 1.3; применим нахождению локальных экстремумов только непрерывных дифференцируемых функций.

Алгоритм этого метода достаточно прост:

1) используя необходимые условия формируем систему в общем случае нелинейных уравнений. Отметим, что решить аналитически эту систему в общем случае невозможно; следует применить численные методы решения систем нелинейных уравнений (НУ) (см. "ЧМ"). По этой причине метод Эйлера будет аналитически-численным методом. Решая указанную систему уравнений находим координаты стационарной точки .;

2) исследуем ДКФ и матрицу Гессе , которая ее представляет. С помощью критерия Сильвестра определяем, является ли стационарная точка точкой минимума или точкой максимума;

3) вычисляем значение целевой функции в экстремальной точке

Критерий Сильвестра

Позволяет ответить на вопрос: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

30. Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

31.

Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия)также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора).

Функция полезности(функция предпочтения)-в широком смысле зависимость полезность, т.е результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) другого.

Функции спроса и предложения- зависимость объема спроса или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов(например, цены ,дохода и тп.).

Кривые безразличия — представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей

32.

33.

Степенные ряды

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

34.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение видаF(x, y, y' )=0, где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R3, x — независимая переменная из интервала (a, b), y(x) — неизвестная функция, y'(x) — ее производная. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y)называют уравнениями в нормальной форме.

35.