Алгебра на три (вопр. экз 13-14)
.pdfОпределения, формулы и формулировки теорем, знание которых необходимо продемонстрировать на экзамене по алгебре,
чтобы получить оценку «удовлетворительно»
1.Подстановка. Умножение подстановок. Обратная подстановка. Симметрическая группа
.
2.Перемещаемые и неподвижные символы подстановки. Цикл. Независимые циклы.
3.Декремент. Чётность подстановки. Транспозиция.
4.Матрица. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.
5.Квадратная матрица. Определитель матрицы. Формулы для вычисления определителей 2- го и 3-го порядков.
6.Свойства определителя.
7.Минор k-го порядка. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу. Формулы разложения определителя по строке и столбцу.
8.Единичная матрица. Обратная матрица. Формула обратной матрицы.
9.Алгебраическая форма записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа. Сопряжённое комплексное число.
10.Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
11.Формула Муавра.
12.Формула извлечения корня из комплексного числа.
13.Многочлен. Коэффициенты многочлена. Степень многочлена. Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком.
14.Алгоритм Евклида.
15.Наибольший обший делитель многочленов. Теоремы о наибольшем общем делителе.
16.Корень многочлена. Теорема Безу и её следствие.
17.Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
18. Неприводимый многочлен над полем Неприводимые многочлены над полем R действительных чисел.
Типы задач, которые нужно уметь решать, чтобы получить оценку «удовлетворительно» на экзамене по алгебре
1. |
Записать подстановку |
|
|
|
|
|
|
из |
двумя строками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
Перемножить подстановки: (142) 1 |
|
|
2 |
3 |
4 |
(23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
вычислив декремент. |
|
|||||||||
Определить четность подстановки |
2 |
4 |
7 |
1 |
|
5 |
3 |
6 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Найти подстановку |
1 |
|
2 |
, если |
|
1 2 3 |
4 |
|
1 |
2 3 4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 1 |
2 |
|
|
2 |
3 1 4 |
|
||||||||||
5. |
Выполнить действия 3AB |
T |
B |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
, где A |
|
|
, |
B |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
2 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Вычислить определитель |
|
|
|
4 |
|
0 |
2 |
|
а) по правилу треугольников; б) разложением по |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
какой-либо строке (столбцу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Найти обратную матрицу к матрице |
|
2 |
0 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Вычислить |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить |
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости: √ √ , √ |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
Разделить многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на многочлен |
|
|
с остатком. |
|
|||||||||||||||
12. |
Разложить многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на линейные множители. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. |
Найти целые корни многочлена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. |
Какие из перечисленных ниже многочленов неприводимы над полем действительных |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
чисел? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a)
b);
c)+1;
d)3;
e)