пахом_вадимыч
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Курсовая работа
Научный руководитель Доктор физ.-мат. наук, доцент Папин Александр Алексеевич
Барнаул. 2014
Глава 1
1.1Введение
Задачи фильтрации в пористых средах имеют практическое значение для исследований, связанных с прогнозом распространения загрязнений, фильтрацией вблизи речных плотин, водохранилищ и других гидротехнических сооружений, дренажом фундаментов и подвалов зданий, ирригацией и дренажом сельскохозяйственных полей, водоснабжением и нефтегазо добычей, движением магмы в земной коре и т.д. В основе моделей фильтрации лежат понятие многоскоростного континуума и определение взаимопроникающего движения составляющих. Многоскоростной континуум представляет собой совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или компоненте) смеси и заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Для каждого из этих составляющих континуумов в каждой точке определяется обычным образом плотность (приведенная) i (масса i-й составляющей в единице объема среды), скорость v~i (i=1,...,N), а затем и другие параметры, относящиеся к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким образом, в каждой точке объема, занятого смесью, будет определено N плотностей i , N скоростей v~i и т.д. Определяющими являются законы сохранения массы, импульса и энергии. Особенностью рассматриваемой в работе модели движения вязкой жидкости в несжимаемой горной породе является использование закона Дарси вместо уравнения импульса для жидкой фазы и соотношения типа Максвелла, связывающее дивергенцию скорости твердой фазы и давление жидкой. Интерес к этой задаче возникает в связи с широким применением поверхностных волн, которые возникают в вязкоупругих средах, при взаимодействии трех распространяющихся независимо друг от друга волн: быстрой и медленной продоль-
3
4 |
Глава 1. |
ных, а также поперечной. Поверхностные волны подробно исследуются применительно к задачам сейсмологии, неразрушающего контроля, акустоэлектроники и ряда других направлений
1.2. Разрешимость начально-краевой задачи фильтрации жидкости в вязкоупругой горной породе.5
1.2Разрешимость начально-краевой задачи фильтрации жидкости в вязкоупругой горной породе.
Постановка задачи и основные результаты
Скорость Дарси
Скорость Дарси (удельный расход на единицу площади поверхности) определяется следующей формулой:
q~D = (v~f v~s);
где - пористость (доля объема среды,приходящаяся на пустоты); v~f ; v~s- скорости жидкости и породы соответственно.
Закон сохранения масс для жидкости и твердой фазы в отсутствие фазовых переходов выглядит следующим образом:
|
@( f ) |
|
|
|
|
(1.2.1) |
||
|
|
|
+ 5 ( f v~s) = 0; |
|||||
|
@t |
|
||||||
@(1 ) s |
+ |
5 |
((1 |
|
) v~ ) = 0; |
(1.2.2) |
||
@t |
|
|
|
s s |
||||
где t-время; f -плотность жидкости; s-плотность породы;
5= (@x@1 ; @x@2 ; @x@3 )-переменные Эйлера.
Закон сохранения массы можно записать в терминах материальной
производной (dAdt = @A@t + v~sr A). Откуда для несжимаемой жидкости получим
d |
= r q~D r v~s |
(1.2.3) |
dt |
Для несжимаемой породы ( s = const) уравнение (1.2.2) можно представить в виде
@(1 ) = (1 )(r v~s) v~s r((1 )); @t
и,следовательно |
1 |
|
d |
|
||||
r v~s = |
|
|
(1.2.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
dt |
|||||||
Используя (1.2.3),(1.2.4),выводим |
|
|
|
|
|
|
|
|
r q~D = |
1 |
|
|
|
d |
: |
||
|
|
|
||||||
1 dt |
||||||||
6 |
Глава 1. |
Напряжение и эффективное напряжение
При движении жидкости в горной породе постулируется:
1)Общий тензор напряжения определяется через тензор напряжения твордой фазы s и жидкой f по правилу:
= (1 ) s + f = (1 )(Ss psI) + pf I;
аполное (общее) давление есть ptot = (1 )ps + pf , где s; Ss; ps тензор напряжения,девиатор тензора напряжения,давление твердой фазы
соответственно; f ; pf тензор напряжения и давление жидкой фазы; 2)девиатор напряжения в жидкой фазе отсутствует (Sf = 0); потому
что вязкость жидкости много меньше,чем каркасная сдвиговая вязкость. В соответствии с принципом Терцаги,деформация двухфазной среды определяется через эффективное напряжение e + pf I.Тогда в случае полного насыщения среды динамическое эффективное давление
pe = ptot pf
Реалогическое соотношение для вязкоупругой среды.
Для каждой составляющей двухфазной среды (скелета s породы и содержащейся в ней жидкости f) вводятся понятия объемов твердого
скелета Vs и пор Vp.Тогда удельный объем пор (пористость) = Vp , где
Vt
Vp; Vt объем пор и общий объем.Общий объем-это объем пор и породы Vt = Vp + Vs. Заметим, что
|
dVp |
dVt |
|
dVp |
|
dVt |
|
(1.2.5) |
|
d = |
|
Vp |
|
= |
|
|
|
: |
|
Vt |
Vt2 |
Vt |
Vt |
||||||
Если плотность s твердой фазы постоянна, то dVs = 0 и dVt = dVp.Из уравнения (1.2.5) получим
|
dV |
|
d = (1 ) |
Vtt : |
(1.2.6) |
Объемная сжимаемость двухфазной среды t определяется как относительное суммарное изменение объема,реагирующее на изменение при-
kоженного эффективного динамического давления:
t = 1 ( @Vt ) Vt @dpe
Уравнение (1.2.6) примет вид :
d = (1 ) tdpe:
1.2. Разрешимость начально-краевой задачи фильтрации жидкости в вязкоупругой горной породе.7
Объемная сжимаемость также является функцией пористости: t =
,где -коэффициент сжимаемости, определенный как
1 |
|
@Vp |
|
1 |
|
@ |
||
= |
|
( |
|
= |
|
( |
|
): |
Vp |
@pe |
|
@pe |
|||||
Тогда изменение пористости для механического сжатия может быть записано следующим образом:
|
|
1 |
|
|
d |
|
|
dpe |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||
1 |
|
|
dt |
|
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом закон деформации может быть записан как: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 d |
pe |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
; |
||||
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|||||||||
где -объемная вязкость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Объемная вязкость зависит от : = |
,где -сдвиговая вязкость гор- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной породы.
Таким образом постулируется реологический закон,объединяющий
механическую и вязкую сжимаемости: |
|
|
|
||||||||
|
|
1 d |
= t( ) |
dpe |
|
pe |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
dt |
dt |
( ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t( ); ( )-объемная сжимаемость и объемная вязкость соответственно.
Закон Дарси.Уравнение сохранения импульса для жидкости берется
в форме закона Дарси:
q~D = Kr(Pex );f g
где K - гидравлическая проводимость (тензор фильтрации);K = k0 f g ; k0; -проницаемость и динамическая вязкость жидкости;Pex- избыточное давление жидкости,определяемое как разность между давлением жидкости и гадростатическим давлением:Pex = pf ph: Отсюда получаем,что
k0
q~D = (rpf + f g):
В некоторых случаях коффициенты k0; t; могут быть опытным путем
определены несколько иначе. В рассматриваемой нами модели они имеют вид: t = b ; = = m; k0 = k n, где b = 1=2; m 2 [0; 2]; n = 3
8 |
Глава 1. |
Таким образом уравнение модели при отсутствии фазовых переходов имеют вид:
@(1 ) s + div((1 ) sv~s) = 0; @t
@( f ) + div( f v~f ) = 0; @t
k n
(~vf ~vs) = (rpf + f~g);
div~s = m pe b dpe ;dt
~g rptot = 0
(1.2.7)
(1.2.8)
(1.2.9)
(1.2.10)
(1.2.11)
Данная система составного типа описывает пространственное нестационарное изометрическое движение сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе. Здесь f ; s; v~s; v~f -соответственно истинные плотности и скорости фаз; -пористость,~g = (0; 0; g) -плотность массовых сил,k -проницаемость, - динамическая вязкость жидкости, ; ; b; m- параметры горной породы,ptot = f + (1 ) s-общее давление, pe = (1 )( s f )-эффективное давление, = (1 ) s + f - средняя плотность среды.
1.3Глобальная разрешимость одномерной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе.
Постановка задачи.
Условие s; f = const приводит к замкнутой системе уравнений для
; vs; vf ; ps; pf ; ptot:
@(1 ) |
+ div((1 |
|
)v~ ) = 0; |
(1.3.1) |
|||
@t |
|
|
|
s |
|||
@ |
+ div( v~f ) = 0; |
(1.3.2) |
|||||
|
@t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n |
|
|
(1.3.3) |
||
(~vf ~vs) = |
|
(rpf + f~g); |
|||||
|
|||||||
1.3. Глобальная разрешимость одномерной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в вязкоупру
|
m |
dpe |
|
(1.3.4) |
|
div~s = |
|
pe b |
|
; |
|
|
dt |
||||
~g rptot = 0 |
|
|
(1.3.5) |
||
Для системы (1.3.1) – (1.3.5) рассматривается автомодельное решение типа "бегущей волны". Предполагая все искомые функции зависящими только от переменной = x ct (c – постоянный параметр), приходим к следующей системе уравнений:
|
|
d |
((1 )vs c(1 )) = 0; |
|
(1.3.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
d |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
(1.3.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
( vf c ) = 0; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n dpe |
|
(1.3.8) |
|||||
|
(vf vs) = |
|
|
( |
|
f g); |
|
|||||||||
|
|
d |
|
|||||||||||||
dvs |
|
|
m |
|
|
|
|
dpe |
|
(1.3.9) |
||||||
|
|
|
= |
|
pe + (c vs) b |
|
; |
|||||||||
|
d |
|
d |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
g rptot = 0 |
|
(1.3.10) |
|||||||||
Вектор ~g имеет координаты (0; 0; g) |
|
(1.3.11) |
||||||||||||||
ptot = pf + (1 )ps; |
pe = (1 )(ps pf ): |
|||||||||||||||
Из этих соотношений находим pf
pf = ptot pe:
Система (1.3.6) – (1.3.10) рассматривается при > 0 и дополняется граничными условиями (i = 1,2):
vs(0) = vso; vf (0) = vfo;(0) = o;
lim vs( ) = u+; (1.3.12)
!1
lim vf ( ) = u+;
!1
lim ( ) = +;
!1
10 |
Глава 1. |
где vso, vfo, o, + – заданные постоянные, удовлетворяющие условиям:o 6= +, vso 6= vfo. Поскольку из (1.3.6) – (1.3.7) получаем (1 )vs c(1
) = A1; vf c = A2; и следовательно vs = (1A1 ) + c; vf = A2 + c, то приходим к следующей системе уравнений для неизвестных постоянных
A1; A2; u+; c:
(1 o)vso c(1 o) = A1; (1 +)u+ c(1 +) = A1
vfo c o = A2;
+u+ c + = A2:
Приравнивая левые части уравнений для A1, найдем выражение для
c:
(1 o)vso c(1 o) = (1 +)u+ c(1 +); c(1 + 1 + o) = (1 +)u+ (1 o)vso c( + + o) = (1 +)u+ (1 o)vso
(1 o)vo (1 +)u+ c = s ;
+ o
Выразим c из уравнений для A2:
vfo c o = +u+ c + c( + o) = +u+ 0vfo
c = +u+ 0vfo ;
+ o
Найдем u+ из выражения для c: |
|
|
|
|
(1 o)vso (1 +)u+ |
= |
+u+ 0vfo |
|
+ o |
+ o |
|
|
|
||
(1 o)vso (1 +)u+ = +u+ 0vfo u+( + + 1 +) = (1 o)vso + 0vf0
1.3. Глобальная разрешимость одномерной задачи фильтрации несжимаемой жидкости в вязкоупру
u+ = (1 o)vso + 0vf0;
c =
+((1 o)vso + ovfo) + ovf0
+ o
c =
+(1 0)vs0 0(1 +)vfo
+ o
Найдем A2:
|
|
+ o |
o |
|
|
|
|
|
|
o o |
|
|
|
+(1 o)vso o(1 +)vfo |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(vf |
|
|
+ (1 |
)vs) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
= A2 |
|
||||||||||||||||||||
|
(( +)2 + o)(vfo o + vso ovso) ( +)2vso + ( +)2 ovso + o +vfo o( +)2vfo |
= A2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0(1 o)(vfo vso) |
|
= A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Найдем A1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
o |
|
o |
|
( +(1 o)2vso + o(1 +)vfo)(1 o) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 |
|
)vs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(1.3.13) |
|
||||||||||
|
|
(1 o)vso +(1 o)2vso + o(1 +)(1 o)vfo |
|
= A1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение последней дается формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+(1 0)vs0 0(1 +)vfo |
|
|
+ |
|
|
|
o |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
o o |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
c = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ o |
|
|
|
|
|
; u |
|
|
|
= vf |
|
|
+ (1 )vs |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
A2 = |
+ 0(1 o)(vfo vso) |
; A1 |
= |
|
|
+ |
|
|
A2; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
o |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставляя полученные vf ; vs в (1.3.8), (1.3.9), получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
1 |
|
|
|
kn dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
f |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3.14) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
) |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
A1 |
|
|
= |
m |
pe b |
|
A1 |
|
|
dpe |
: |
|
|
|
(1.3.15) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d (1 ) |
|
(1 ) |
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||