15.4. Нахождение области сходимости степенных рядов

Из теоремы Абеля следует, что если ряд имеет как точки сходимости, так и точки, где ряд расходится, то существует число , такое, что степенной ряд абсолютно сходится в интервалеи расходится в остальных точках числовой прямой.

Число Rназывается радиусом сходимости ряда. Радиус сходимости степенного ряданаходится по следующей формуле:

,.

Интервал называется интервалом сходимости ряда. Если, то ряд сходится на всей числовой оси, если, то ряд сходится только для значения. Для значенийряд может либо сходиться, либо расходиться. Это выясняется после подстановкиив степенной ряд.

Например, найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала.

Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда. По условию , тогда. Поэтому

.

Следовательно, и ряд сходится на интервале. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках. Для значенияполучаем гармонический ряд, который расходится, а для значения– ряд, который является сходящимся по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в полуинтервалеи расходится в точках вне этого интервала.

Для ряда радиус сходимости находится по той же формуле, что и выше, интервал сходимости будет иметь вид.

С помощью степенных рядов, особенно рядов Тейлора, можно приближенно вычислить определенный интеграл.

Например, вычислить интеграл с точностью до 0,001. В формулу

вместо иподставим соответственнои.

Получим:

Тогда:

.

Контрольные вопросы

1. Какой ряд называется знакопеременным?

2. Перечислите основные свойства знакопеременных рядов.

3. Какой ряд называется знакочередующимся?

4. Как формулируется признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда?

5. Какой ряд называется функциональным?

6. Что называется областью сходимости функционального ряда?

7. Какой ряд называется степенным?

8. Как находится область сходимости степенного ряда?

Тема 16. Элементы гармонического анализа и функций комплексного переменного

16.1. Ряд Фурье

Функциональный ряд вида

,

где l>0,а₀,а_n,b_n(n= 1, 2, …) –const, называется тригонометрическим рядом.

Разложение данной функции в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом,так как этим достигается разложение какого-то сложного периодического явления на простые гармонические колебания.

Рядом Фурье для функции f(х) в промежутке [-l,l] называется тригонометрический ряд, если его коэффициентыа_n иb_nвычислены по формулам Фурье:

еслиn= 1, 2, ….

еслиn= 1, 2, ….

Для четной функции f(х) = f(-х) коэффициентыb_n = 0 и соответствующий ряд Фурье не содержит синусов:

;

.

Для нечетной функции f(x) = -f(-x), коэффициентыа_n = 0, и ряд Фурье содержит только синусы:

,

.

С помощью формул Эйлера получается комплексная форма ряда Фурье:

.

Пример. Разложить в ряд Фурье функциюна отрезке.

Данная функция четная, ее график симметричен относительно оси ОY, тогда коэффициент.

.

) =

. Приn = 0(иl = ) найдема₀.

.

;

.

16.2. Понятие функции с комплексной переменной

Пусть даны две плоскости комплексных чисел z = x + iy иw = u + iv. Рассмотрим множество точекDв плоскостиz и множествоGв плоскостиw.

Если каждому числу z  Dпо некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное числоw  G, то говорят, что на множествеDзадана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множествоD во множествоG. Обозначениеw = f(z).

Множество D называется областью определения функцииf(z),G– область значений функции. Функциюf(z) можно записать в виде:

,

где – действительные функции от переменныхх, у.

Говорят, что функция w = f(z) =u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точкеz₀, равный числуА = а + ib, если.

В этом случае пишут .

Функция w = f(z) =u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точкеz₀, если она определена в окрестности точкиz₀и для нее выполняется свойство:

.

Производной от функции f(z)в точкеzназывается предел

.

Функцию f(z), имеющую непрерывную производную в любой точке областиD комплексной плоскости, называют аналитической функцией на этой области.