- •Внимание!!! контрольная работа должна быть выполнена в рукописном виде. Иначе она принята не будет. Варианты с 6 по 10.
- •1. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду
- •Задания для самостоятельной работы
- •Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х,) действуют силы натяженияи внешняя сила, действующая на струну в точкехв момент времениtи направленная перпендикулярно осиОх.
- •2.2. Формула Даламбера
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •2.5. Решение краевой задачи методом Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.2. Решение краевых задач методом Фурье
- •3.3. Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности
- •Задания для самостоятельной работы
- •3.5. Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Или. (158)
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Определить тип уравнения и привести к каноническому виду
1. . 2.. 3..
4. . 5..
6. .
7. .
2. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. Уравнение колебаний струны
Рассмотрим струну, под которой понимается тонкая нить, не сопротивляющаяся изгибу, длиной l . Пусть эта струна в плоскости (x,u) совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью Ох, то есть все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох. Обозначим через u(x,t) отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение в точкех в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х. Любой участок струны (а,b) после отклонения от положения равновесия в предположении о пренебрежении величинами высшего порядка малости по сравнению с , не изменит своей длины
(16)
и, следовательно, величина натяжения будет постояннойТ0, не зависящей от х и t, так как закон Гука гласит: изменение натяжения пропорционально изменению длины выделенного участка.
Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х,) действуют силы натяженияи внешняя сила, действующая на струну в точкехв момент времениtи направленная перпендикулярно осиОх.
Сумма сил, действующих на струну, согласно закону Ньютона должна быть равна произведению массы элемента струны на его ускорение
, (17)
где - масса элемента струны (х, );
- единичный вектор, направленный вдоль оси u.
Проектируя векторное равенство (17) на ось u, получим
, (18)
но в рамках приближения
,
поэтому выражение (18) принимает вид
и при , получим
. (19)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Если F(x,t)0, то колебания струны будут вынужденными, а если F(x,t)=0, то колебания струны будут свободными.
Если , то уравнение (19) принимает вид
, (20)
где .
Уравнение (20) называется одномерным волновым уравнением. Для волнового уравнения может быть поставлена задача Коши, и в этом случае необходимо найти функцию u(x,t), удовлетворяющую начальным условиям
где - заданные функции.
2.2. Формула Даламбера
Поставим задачу Коши для однородного волнового уравнения, т.е. найдем решение уравнения
, (21)
удовлетворяющее начальным условиям
. (22)
Эту задачу (21), (22) можно решить методом Даламбера. Введем новые переменные
.
Вычислим :
и подставим их в уравнение (21)
.
После сокращений получим
. (23)
Интегрирование этого уравнения дает
Возвращаясь к переменным х и у, окончательно будем иметь
. (24)
Функция является решением уравнения (21), еслии1 и и2 - произвольные дважды дифференцируемые функции. В решении (24) необходимо выбрать функции и1 и и2 так, чтобы удовлетворить начальным условиям (22)
(25)
и
. (26)
Проинтегрировав уравнение (26) в пределах от х0 до х, получим
. (27)
Разрешив совместно уравнения (25) и (27) относительно и1(х) и и2(х), получим
(28)
(29)
Подставив (28) и (29) в решение (24) окончательно получим решение задачи Коши для однородного волнового уравнения
. (30)
Формула (30) называется формулой Даламбера для однородного волнового уравнения. Эта формула дает классическое решение задачи (21), (22) только в предположении, что функция имеет производные до второго порядка включительно, а функция- до первого.
Пример 6. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (30)
,
в которой .
Следовательно,
Окончательно решение исходной задачи имеет вид
▲
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного волнового уравнения
, (31)
. (32)
Пусть есть решение вспомогательной задачи Коши
, (33)
При
. (34)
Формула Даламбера (30) дает
. (35)
Перепишем формулу Даламбера (30) в виде
, (36)
где
являются решениями задачи (33), (34) при исоответственно, т.к. непосредственное дифференцирование показывает, что
.
Решение неоднородного уравнения (31) с нулевыми начальными условиями
имеет вид
. (37)
Поэтому в силу (36) и (37) решение исходной задачи (31), (32) можно представить в виде
. (38)
Таким образом, с учетом (35), окончательно получим
.(39)
Это формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения.
Пример 7. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (39)
в которой .
Следовательно,
Окончательно решение исходной задачи имеет вид
▲