Основы механики твердого деформируемого тела

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю. Б. Гольдштейн

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Учебное пособие

Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1. Тела и прикладываемые к ним нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2. Несиловое воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Модель материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Внутренние силы взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Тензор напряжений и его компоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7. Эпюры усилий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 1.8. Связь между усилиями и интенсивностями распределенных погон-

ных нагрузок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.9. Задача механики твердого деформируемого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1. Уравнения равновесия в точке тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. Напряжения на наклонных площадках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.3. Экстремальность нормальных напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 2.4. Ортогональность главных площадок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. Инварианты тензора напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6. Экстремальность касательных напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7. Октаэдрические напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

ГЛАВА 3. ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.1. Классификация силовых конструкций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.2. Дополнительные сведения о модели стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3. О принципе независимости действия сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Типы деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5. Поведение призматического стержня при осевой нагрузке . . . . . . . . . . . . 54 3.6. Напряжения при осевой деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.7. Концентрация напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.8. Принцип Сен-Венана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1. Испытания на растяжение-сжатие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4.2. Диаграммы растяжения металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3. Испытания материалов на сжатие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

4.4. Основные механические характеристики материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 4.5. Разгрузка и повторное нагружение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 4.6. Пластичность и хрупкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.7. Предельное и допустимое состояния при осевой нагрузке . . . . . . . . . . . . .73 4.8. Расчетные модели материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 4.9. Ползучесть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.10. Две модели вязкоупругой среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ГЛАВА 5. ДЕФОРМАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Условия совместности перемещений и деформаций в точке тела . . . . . . 81 5.3. Условия совместности деформаций в точке тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.4. Деформации в окрестности точки тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

ГЛАВА 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ ТЕЛА ГУКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1. О линейной упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2. Закон Гука при сдвиге для изотропного материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.3. Обобщенный закон Гука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4. Потенциальная энергия деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.5. Обобщенный закон Гука для анизотропного тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

ГЛАВА 7. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . . . . . . . . . . .97 7.1. Полная система уравнений для изотропной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2. Решение краевой задачи теории упругости в напряжениях . . . . . . . . . . . .98 7.3. Решение задачи теории упругости в перемещениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.4. Единственность решения задачи теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

ГЛАВА 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

8.1. О предельном состоянии в точке тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 8.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория

прочности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.3. Теория наибольших растягивающих деформаций (вторая теория

прочности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.4. Теория максимальных касательных напряжений (третья теория

прочности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.5. Энергетическая теория (четвертая теория прочности) . . . . . . . . . . . . . . . .106 8.6. Теория прочности Мора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 8.7. Деформация чистого сдвига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

ЧАСТЬ II. ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ, ИЗГИБА

И КРУЧЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

ГЛАВА 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСЕВОЙ ДЕФОРМАЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

1.1. Стержни переменного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

1.2. Учет собственного веса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.3. Гибкие нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 1.4. Равновесные формы некоторых нерастяжимых нитей . . . . . . . . . . . . . . . . .123 1.5. Натяжение нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 1.6. Пологая и непологая нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 1.7. Полная система уравнений для плоской пологой нити . . . . . . . . . . . . . . . .128 1.8. Дисково-стержневые и шарнирно-стержневые конструкции . . . . . . . . . . 131 1.9. Одноузловые фермы при силовом воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1.10. Несиловое воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.11. Нестандартные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 1.12. Дисково-стержневые конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 1.13. Система с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 1.14. Система с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1.15. Система с тремя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.16. Подбор сечений при действии постоянной нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

ГЛАВА 2. ОДНОРОДНЫЙ ИЗГИБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 2.1. О деформации изгиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.2. Техническая теория чистого изгиба призматических брусьев . . . . . . . . .157 2.3. Перемещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.4. Проверка прочности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 2.5. Изгиб в двух плоскостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 2.6. Случай несимметричного поперечного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 2.7. Сочетание чистого изгиба с осевой деформацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.8. Построение ядра сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

ГЛАВА 3. ИЗГИБ С ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.1. Характер деформирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.2. Касательные напряжения изгиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.3. Распределение касательных напряжений по некоторым попереч-

ным сечениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 3.4. Оценка прочности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 3.5. Изгиб в двух плоскостях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 3.6. Влияние сдвигов на перемещения и нормальные напряжения . . . . . . . . 186 3.7. Составные стержни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

ГЛАВА 4. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО БРУСА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.2. Метод начальных параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.3. Балка на упругом основании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.1. Брусья с криволинейной осью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207 5.2. Определение положения нейтральной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.3. Брусья большой и малой кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

5.4. Изгиб с продольной и поперечной силами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 5.5. Криволинейные стержни как элементы конструкций . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.6. Изгиб стержней переменного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221

ГЛАВА 6. ЦЕНТР ИЗГИБА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1. О центре изгиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.2. Секториальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.3. Координаты центра изгиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.4. Секториальные характеристики сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

ГЛАВА 7. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ . . . . 235 7.1. Разрешающее уравнение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 7.2. Кручение стержня эллиптического поперечного сечения . . . . . . . . . . . . . 238 7.3. Функция напряжений Прандтля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.4. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения . . . . . . . . . . . . .244 7.5. Мембранная аналогия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.6. Кручение тонкостенных стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.7. Оценка прочности и жесткости при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.8. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257

ГЛАВА 8. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 8.1. Нормальные напряжения стесненного кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259 8.2. Касательные напряжения стесненного кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 8.3. Разрешающее уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.4. Иллюстративный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

ГЛАВА 9. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.1. Об использовании энергетических свойств упругих тел . . . . . . . . . . . . . .269 9.2. Обобщенные силы и перемещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 9.3. Теоремы Лагранжа, Кастильяно и Клапейрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 9.4. Линейная зависимость между обобщенными силами и перемеще-

ниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.5. Теоремы взаимности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 9.6. Потенциальная энергия деформации стержневой системы . . . . . . . . . . . 277 9.7. Перемещения при силовом воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279 9.8. Формулы для температурных перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 9.9. Перемещения при кинематическом воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

ГЛАВА 1. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛИТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291 1.1. Вводные положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 1.2. Напряжения в тонких плитах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 1.3. Разрешающее уравнение изгиба плиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294

1.4. Краевые условия. Усилия в плитах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 1.5. Цилиндрический изгиб прямоугольных плит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 1.6. Изгиб эллиптической плиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 1.7. Изгиб прямоугольной плиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 1.8. О классификации плит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК . . . . . . . . . . . . . .308 2.1. Геометрия оболочек и основные допущения о характере их де-

формирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308 2.2. Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 2.3. Геометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 2.4. Физические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .320 2.5. Полная система уравнений оболочки и способы ее решения . . . . . . . . . 322

ГЛАВА 3. ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324 3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 3.2. Уравнения состояния безмоментных оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 3.3. Уравнения состояния оболочек вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 3.4. Уравнения состояния оболочек вращения при осесимметричной на-

грузке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 3.5. Безмоментные оболочки вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328 3.6. Расчет сферического купола на действие собственного веса . . . . . . . . . 329 3.7. Уравнения состояния цилиндрической оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 3.8. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние цилин-

дрической оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 3.9. Краевой эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339 3.10. Пологие оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 4.1. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния . . . . . . . 347 4.2. Полная система уравнений плоской задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 4.3. Решение плоской задачи в напряжениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350 4.4. Решение в полиномах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 4.5. Изгиб консоли прямоугольного профиля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 4.6. Изгиб шарнирно опертой балки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357 4.7. Изгиб консоли треугольного профиля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 5.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 5.2. Задача Фламана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 5.3. Полярная симметрия. Чистый изгиб кривого бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 5.4. Задача о полом цилиндре, находящемся под действием внешнего

и внутреннего давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 5.5. Расчет опорного катка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 5.6. Растяжение пластины, ослабленной круглым отверстием . . . . . . . . . . . . 376

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379 ЧАСТЬ IV. СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

ГЛАВА 1. ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 1.1. Принцип двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384 1.2. Полная система уравнений произвольной шарнирно-стержневой

конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 1.3. Статическая определимость. Неизменяемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 1.4. Решение полной системы уравнений шарнирно-стержневой конст-

рукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 1.5. Учет временной нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391

ГЛАВА 2. ИЗГИБАЕМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . 393 2.1. Полная система уравнений изгибаемой конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 2.2. О двух подходах при расчете стержневых конструкций . . . . . . . . . . . . . .397 2.3. Диски и связи. Правила соединения дисков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 2.4. Мгновенно изменяемые конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 2.5. Необходимое условие неизменяемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 2.6. Необходимые и лишние связи и утверждения о них . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

ГЛАВА 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 3.1. Системы простой структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 3.2. Аналитический признак неизменяемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 3.3. Признак нулевой нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 3.4. Признак замены связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 3.5. Конструкция с избыточным числом связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 3.6. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .420

4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 4.2. Расчет на фиксированную нагрузку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422 4.3. О расчете на временные воздействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 4.4. Функции и линии влияния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 4.5. Кинематический способ построения линий влияния . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 4.6. Правила использования линий влияния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 4.7. Учет неподвижной временной нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 4.8. Учет подвижной временной нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

ГЛАВА 5. ОСНОВЫ МЕТОДА СИЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 5.2. Конструкции с произвольным конечным числом лишних связей . . . . . 444 5.3. Степень статической неопределимости конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 5.4. Вычислительная процедура метода сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 5.5. Расчет на кинематическое воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 5.6. Расчет на тепловое воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463

5.7. О рациональной основной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 5.8. Линии влияния усилий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 5.9. Огибающие эпюры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 5.10. Об учете деформации сдвига при формировании системы канони-

ческих уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

6.1.Кинематические параметры состояния стержневой конструкции . . . . . 486

6.2.Основная система и разрешающие уравнения задачи в перемеще-

ниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 6.3. Формирование системы разрешающих уравнений задачи . . . . . . . . . . . . 491 6.4. Завершающие этапы расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495 6.5. Расчет на силовое воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .497 6.6. Расчет на изменение температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 6.7. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .507

ГЛАВА 7. СМЕШАННЫЙ МЕТОД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 7.1. О выборе метода расчета статически неопределимой конструкции . . . . 512 7.2. Вычислительная процедура смешанного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 7.3. Кинематический способ вычисления смешанных коэффициентов . . . . . 519 7.4. Варианты смешанного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 7.5. Использование симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

ГЛАВА 8. МНОГОКРАТНО СТАТИЧЕСКИ И КИНЕМАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

8.1. Задачи с большим числом основных неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528 8.2. Матричная форма методов сил и перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 8.3. Неустойчивые решения в строительной механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534 8.4. Линейные преобразования единичных и грузовых эпюр . . . . . . . . . . . . . 542 8.5. Сложная основная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 8.6. Пространственные конструкции с преобладающим изгибом . . . . . . . . . 549

ГЛАВА 9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555 9.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 9.2. Треугольный конечный элемент плоской задачи теории упругости . . . 557 9.3. Условия сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 9.4. Прямоугольный конечный элемент плоской задачи теории упру-

гости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 9.5. Расчет тонких жестких плит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 9.6. Пространственная задача теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 9.7. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .576 ЧАСТЬ V. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СООРУЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 1.1. Собственные колебания системы без учета сил сопротивления . . . . . . . 581

1.2. Вынужденные колебания системы без учета сил сопротивления . . . . . 584 1.3. Учет сил сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 1.4. Собственные колебания при учете сил внутреннего трения . . . . . . . . . . 595 1.5. Вынужденные колебания при учете сил внутреннего трения . . . . . . . . .598

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 2.1. Незатухающие собственные колебания систем с двумя степенями

свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 2.2. Ортогональность собственных форм колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604 2.3. О выборе параметров состояния динамических систем . . . . . . . . . . . . . . 606 2.4. Динамические усилия при незатухающих колебаниях . . . . . . . . . . . . . . . 607 2.5. Собственные незатухающие колебания систем с произвольным

числом степеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 2.6. Собственные колебания с учетом сил сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . 611 2.7. Динамические усилия при наличии сил внутреннего трения . . . . . . . . . 613 2.8. Вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе . . . . 618 2.9. Вынужденные колебания при кинематическом возмущении . . . . . . . . . . 621 2.10. Разложение возмущающего воздействия по собственным формам

колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 2.11. Расчет конструкций на сейсмическое воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625 3.1. Задача на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 3.2. Первые собственное число и собственный вектор симметрической

матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .627 3.3. Метод исчерпывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .629

ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ . . . . . . . . . . . . . . . .633 4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 4.2. Собственные изгибные колебания призматического стержня . . . . . . . . .633 4.3. Собственные колебания многостержневых конструкций . . . . . . . . . . . . . 637 4.4. Вынужденные изгибные колебания стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 4.5. Замена распределенных масс точечными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .644

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .649

ЧАСТЬ VI. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬ-

НЫХ КОНСТРУКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 1.2. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы

статическим способом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654 1.3. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы

энергетическим способом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656