-
-
Сглаживающий функционал и его свойства
Пусть функции, входящие в уравнение
(2.1)
являются непрерывными, причем определена на интервале – при , а ядро K(x,s) – в прямоугольнике . Запишем уравнение (2.1) в виде
, (2.2)
где А – оператор Фредгольма. Рассмотрим функционал
, (2.3)
где
, (2.4)
, , . (2.5)
Здесь α>0 – некоторый параметр, называемый параметром регуляризации. Функционал (3.5) называется регуляризирующим, а функционал – сглаживающим функционалом.
Поставим вариационную задачу на экстремум функционала . Экстремум будем искать в классе Y функций y(x), дважды непрерывно дифференцируемых и удовлетворяющих условия
(2.6)
Пусть и - две функции, принадлежащие Y. Вычислим приращение функционала , отвечающее приращению δy, т.е. вычислим величину . Имеем
.
В этом выражении сумма первого и четвертого слагаемых представляет собой . Перенесем их влево и тогда получим, что приращение функционала распадается на линейную относительно δy часть (эта сумма второго и пятого слагаемых), третьего и шестого слагаемых, зависящую от δy нелинейно, которую обозначим и которая, как нетрудно видеть, при любом неотрицаельна:
. (2.7)
Из вариационного исчисления известно, что если реализует экстремум функционала , то δ, т.е.
(2.8)
Это равенство представляет собой необходимое условие экстремума. Преобразуем первое слагаемое, изменив порядок интегрирования:
,
где
,
.
Во втором слагаемом в (3.8) произведем интегрирование по частям. Получим
,
так как внеинтегральный член в силу (3.6) обращается в нуль. Соотношение (2.8) принимает тогда вид
. (2.9)
Поскольку δy(t) – произвольная вариация, то, в силу основной леммы вариационного исчисления, выражение в фигурных скобках равно нулю. Получаем уравнение, определяющее экстремали функционала :
. (2.10)
Таким образом, если осуществляет экстремум функционала при условиях (2.6), то y удовлетворяет уравнению (2.10).
Теорема о минимальном значении сглаживающего функционала: Для любой непрерывной функции существует единственная функция из класса Y, на которой реализуется минимальное значение функционала .
Доказательство: Докажем, что уравнение (2.10) при краевых условиях (2.6) имеет единственное решение. Уравнение (2.10) является интегро-дифференциальным уравнением. Сведем его к интегральному уравнении. Фредгольма второго рода.
Рассмотрим уравнение
(2.11)
При условиях (3.6). Убедимся, что эта задача имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть y(t) имеет положительное максимальное значение, достигающееся в некоторой точке . Тогда . Учитывая, что , имеем при , что противоречит равенству (2.11). Следовательно, . Аналогично доказывается, что . Отсюда следует, что
В силу доказанного, существует функция Грина и уравнение (2.10) при условиях (2.6) эквивалентно интегральному уравнению
,
или
, (2.12)
где - некоторое ядро,
а .
Уравнение (3.12) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Докажем, что оно имеет единственное решение. Для этого, достаточно доказать, что соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. А это эквивалентно тому, что однородное уравнение (2.10) при условиях (2.6) имеет только тривиальное решение. Допустим противное, т.е. что уравнение
(2.13)
имеет нетривиальное решение y(t). Умножая (3.13) на y(t) и интегрируя, получим
(2.14)
Интегрированием по частям преобразуем левую часть к виду - . Правую часть преобразуем, пользуясь выражением (2.9) для и изменяя порядок интегрирования:
.
После этих преобразований (2.14) принимает вид
.
Так как , то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и мы имеет противоречие, доказывающее, что задача (2.13), (2.6) имеет только тривиальное решение, а следовательно, уравнение (2.12) имеет единственное решение.
Нетрудно увидеть, что это решение реализует минимально значение функционала . Это непосредственно следует из (2.7), поскольку при , а при любом . Теорема доказана.