Лекции по РЛ

Предисловие

Никакое образование немыслимо без изучения логики. Основателем формальной логики является Аристотель. Его логика не имела отношения к математике, а потому не являлась наукой и «была не только бесполезной, но и вредной» (Ф.Бэкон). Лейбниц, величайший математик Запада, в течение всей своей жизни пытался создать математическую логику, которая позволила бы чисто формально решать проблемы доказательства тех или иных суждений, теорем, законов, правил, силлогизмов, соритов и т.п. С поставленной задачей великий учёный не справился. Первые успешные шаги в этом направлении были сделаны в 1884г величайшим русским логиком Платоном Сергеевичем Порецким[7]. Однако до сих пор никто в мире не понял его работ, и во всех учебных заведениях мира вот уже 25 веков преподаётся бестолковая и безграмотная классическая логика. Даже самый корректный учебник (Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. - М.: Юрист,1995) излагает в корне ошибочную силлогистику Аристотеля и не приводит достижений Порецкого в создании истинно математической логики.

«Лекции по Русской логике» («ЛРЛ») просты и прозрачны для понимания. Для освоения ЛРЛ достаточно 4-х классов образования. На сегодня Русская логика (РЛ) - это единственно правильная математическая логика. Кроме того, она несёт в себе огромную патриотическую составляющую, а у нас в загоне патриотическое воспитание. К сожалению, математическую логику в объёме классической преподают невежественно даже в ведущих вузах России: МГТУ им. Баумана, МФТИ, МИФИ, МГУ. Во всяком случае, Порецкого П.С., который создал истинно математическую логику, там не знают, т.е. его работ не понял ни один математик мира. Это свидетельство невежества, безграмотности и бестолковости. Получается, что мы, Русские – Иваны, не помнящие родства. Россия может и должна гордиться Порецким, решившим проблему, с которой всё человечество не справилось за 25 веков.

Постоянно действующий научно-методологический «Круглый стол» по военной безопасности при Комитете по обороне Госдумы РФ, где 13 ноября 2003г. автор рассказал о создании Русской логики и выступил с докладом « Ликбез по логике в России как проблема национальной безопасности», так сформулировал первоочередные задачи в отношении логики: «…необходимо ликвидировать логическую необразованность всего российского общества в целом так же, как в начале 20-го века была ликвидирована начальная неграмотность в Советской России». Никакого продвижения с тех пор в этом направлении не произошло. Русская логика ждёт безотлагательного внедрения в школьное и вузовское образование.

Дорогой Читатель, знаете ли Вы математическую логику? Я абсолютно уверен, что не знаете. В этом Вы сразу же убедитесь, пройдя тестирование по нижеприведённому вопроснику.

Вопросник для математика и логика.

1.Как работать с картой Карно на 8 и более переменных?

2.Что такое метод обобщённых кодов Мавренкова?

3.Что можно вычислить с помощью кванторного исчисления?

4.Алгебра множеств и алгебра логики. Назовите различия.

5.Логика предикатов и логика суждений. В чём разница?

6.Физический смысл и вывод формулы импликации.

7.Фигуры и модусы Аристотеля. В чём их практическая ценность?

8.Правильны ли правила посылок в силлогистике?

3

9.Как выглядят аналитические представления для Axy, Exy и Ixy?

10.В чём смысл логики Платона Сергеевича Порецкого?

11.В чём главное достижение логики Льюиса Кэрролла?

12.Что такое вероятностная логика?

13.Что такое 4-значная комплементарная логика?

14.Как решаются логические уравнения?

15.Что такое логическое вычитание и деление?

16.Как найти обратную логическую функцию?

По характеру ответов можно судить о профессиональном уровне логикагуманитария и тем более математика. В 2012г. ни на один из этих вопросов не могли дать ответа ни академики от логики, ни математики, ни инженеры-цифровики, что говорит не только о недостаточной профессиональной подготовке, но и о низком культурном уровне. Освоив Русскую логику, любой семиклассник легко пройдёт предложенное автором тестирование. Кроме того, этот вопросник, как и вся РЛ – прекрасный индикатор невежества и бестолковости. Все академики мира после 1884 года – невежды, неучи и бестолочи: не знают/не поняли достижений П.С.Порецкого. За последние 20 лет выпущено около сотни учебников по логике. Все они написаны невеждами и недоумками в матлогике.

Автор считает, что читатель имеет право знать профессиональный уровень создателя любого произведения, тем более интеллектуальные возможности разработчика математической логики. Если этот сочинитель – двоечник, то читать его совершенно не за чем. Правда, и отличник – не всегда профессионал даже в своей области: наверное, академик Колмогоров получал великолепные оценки по математике, но в матлогике он оказался невеждой и бестолочью. Академические звания и Нобелевские премии тоже не гарантируют высокий интеллект их обладателя. Примеры: Б.Рассел в логике и Эйнштейн – в математике. Если бы учащиеся досконально знали биографию Эйнштейна, они никогда бы не поверили этому двоечнику. Поэтому в «ЛРЛ» приведена биография создателя РЛ. Автор предлагаемого пособия – нормальная посредственность в мышлении, поэтому русским преподавателям математики стыдно будет не освоить Русскую логику. Не верьте ни единому утверждению автора, тем более, что Брусенцов Н.П., выдающийся инженер и учёный, создатель единственной в мире троичной ЭВМ «Сетунь», мой наставник по логике, не согласен с РЛ. Спорьте, но аргументированно.

На сайте http://logicrus.ru читатели найдут в открытом доступе обширный перечень работ автора. Из всего этого перечня достаточно проработать сначала брошюру «Русская логика в информатике»[5], а затем – монографию «Русская вероятностная логика»[4] или «Русская логика – индикатор интеллекта»[6]. Автор надеется, что «ЛРЛ» смогут заменить для наиболее настойчивых любителей математики обе предыдущие работы[4,5]. Студенты колледжей, техникумов, институтов и академий, старшеклассники школ, гимназий и лицеев легко справлялись с этой немудрёной наукой. Лекции по РЛ в 2007г. были записаны на телестудии Современной гуманитарной академии и транслировались по спутниковому каналу СГУ-ТВ на весь бывший Советский Союз. Начиная с 1998г., апробация РЛ происходила на конференциях, конгрессах, в том числе и международных, на семинарах и непосредственно в классах и аудиториях. Основные работы автора переведены за рубежом. Американский Биографический Институт за работы по РЛ избрал автора Человеком года-2011. За державу будет обидно, если РЛ вернётся к нам в зарубежной упаковке.

Нормальная программа по РЛ может выглядеть следующим образом.

4

Программа-минимум по РЛ выглядит так:

5

1.ЛЕКЦИЯ № 1. Алгебра логики

1.1Основные положения алгебры логики

Логика – наука о законах мышления. Она позволяет делать правильные выводы из любых посылок, предохраняет от ошибок в рассуждениях, обеспечивает безошибочное доказательство всевозможных законов, правил и теорем в различных областях знаний: в математике, физике, химии, в грамматике русского языка и т.п. Для решения этих задач используется алгебра логики.

В алгебре логики (булевой алгебре) переменные могут принимать два значения: 1 (истинно) или 0 (ложно). Для двух аргументов существуют 16 логических функций (операций, логических действий). Полная система этих функций(z0 – z15) для двух аргументов(x,y) показана в таблице.

Над переменными в основном производятся три логических действия: сложение, умножение, отрицание (инверсия), что соответствует функциям ИЛИ, И, НЕ. Все функции в булевой алгебре могут быть описаны с помощью таблицы истинности. В нижеследующих таблицах описаны функции И(f1), ИЛИ(f2),НЕ(f3).

Вместо функции И часто используется термин «конъюнкция», вместо функции ИЛИ - термин «дизъюнкция». Вместо функции НЕ употребляется термин «инверсия» или «отрицание». Только для двоичной логики понятия «инверсия» и «отрицание» эквивалентны.

При написании логических формул для функции И используются следующие символы: &, Λ, точка или ее отсутствие; для функции ИЛИ - V, +. Функция НЕ обозначается штрихом над аргументом. Мы для обозначения отрицания будем использовать апостроф. Таким образом, можно записать:

f1 = x2&x1 = x2Λx1 = x2x1 f2 = x2 V x1 = x2+x1

f3 = x’

6

1.2. Основные законы алгебры Буля

Прежде, чем приступить к изложению основных законов алгебры логики, зафиксируем некоторые очевидные её положения.

1 + a = 1; 0 + a = a; a & 1 = a; a & 0 = 0; a + a’ = 1.

Эти соотношения легко проверяются подстановкой.

В булевой алгебре все операции осуществляются с логическими двузначными переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем

Эти правила справедливы для любого числа аргументов.

а + в + с + .... + z = ( а’в’с’...z’ )’ авс... = ( а’ + в’ + с’ + ... + z’ )’

1.3. Синтез логических функций

Под синтезом логической функции будем понимать процесс её получения по словесному описанию, по таблице истинности или любому другому способу задания этой функции. Синтез логических функций можно проиллюстрировать решением простой задачи.

Задача 1.1.

Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется голосом председателя. Найти краткое определение ситуации, в которой абитуриент будет принят в учебное заведение. Найти решение в виде логической функции, т.е. построить автомат для тайного голосования.

Решение.

Пусть f - функция большинства голосов. f = 1, если большинство членов комиссии проголосовало за приём абитуриента, и f = 0 в противном случае.

Обозначим через x4 голос председателя комиссии. x4 = 1, если председатель комиссии проголосовал за приём абитуриента. x3, x2, x1 - голоса членов приёмной комиссии.

С учётом вышеуказанных допущений условие задачи можно однозначно представить в виде таблицы истинности.

Заполнение таблицы осуществляем с учётом того, что функция f является полностью определённой, т.е. она определена на всех возможных наборах переменных x1 - x4. Для n входных переменных существует N = 2n наборов переменных. В нашем примере N = 24 = 16 наборов.

7

Записывать эти наборы можно в любом порядке, но лучше в порядке возрастания двоичного кода.

Примечание. Здесь и далее под набором будем понимать конъюнкцию, т.е. логическое произведение, всех входных переменных.

Все наборы, на которых функция принимает значение 1 , будем называть единичными, или рабочими. Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть нулевыми, или запрещенными (по Мавренкову Л.Т.).

Для того, чтобы по таблице истинности найти функцию f, достаточно выписать все единичные наборы и соединить их знаком дизъюнкции.

Таким образом,

f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111

или в символьном виде

f = x4’x3x2x1+x4x3’x2’x1+x4x3’x2x1’+x4x3’x2x1+x4x3x2’x1’+x4x3x2’x1+

+x4x3x2x1’+x4x3x2x1

Полученная форма функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), здесь каждое логическое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов. В случае, когда не каждое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов, то такая форма представления логической функции называется просто ДНФ. Очевидно, применяя основные законы булевой алгебры, мы могли бы аналитически уменьшить сложность полученного выражения. Но это наихудший способ минимизации булевых функций.

1.4. Минимизация полностью определённых булевых функций

Карты Карно позволяют решить задачу минимизации логической функции элегантно и просто. К своему стыду, за 40 лет я так и не нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия. Карно был толковым инженером, но поленился или не сумел описать алгоритм работы со своими картами. Поэтому до сих пор неблагодарное человечество не научилось работать с ними. Алгоритм

8

работы с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был разработан автором более 30 лет назад [1]. Здесь алгоритм приводится в сокращённом варианте.

Алгоритм «НИИРТА» минимизации булевых функций от 4-х и менее переменных.

1.Заполнить карту Карно (КК) нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.

2.Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством прямоугольников Карно (ПК), каждый из которых имеет максимальную площадь.

3.Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта (логическое слагаемое), причём если в горизонтальных или вертикальных границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0 , так и 1 , то эта переменная склеивается, т.е. удаляется из импликанты.

Под ПК (этот термин пришлось ввести в 1977г.) для не более чем от 4-х аргументов, можно понимать любую, в том числе и разорванную, симметричную по вертикали и горизонтали фигуру покрытия. Все клетки ПК являются соседними, т.е. закодированы соседними кодами. Два кода называются соседними, если они отличаются друг от друга только в одном разряде. Например, коды 1010 и 1011 являются соседними.

На нижеприведённом рисунке даны примеры КК и ПК для различного числа аргументов.

На КК для 4-х переменных представлены два прямоугольника Карно, один из которых (Р) является разорванной фигурой покрытия. На КК для 6 переменных изображены прямоугольники Карно A – G, K, M, N, большинство из которых также являются разорванными фигурами покрытия. Для ПК в КК на 5 и более переменных требуется проверка симметричности по Лобанову [1 - 4]. Это необходимое и достаточное условие для определения ПК. Там же излагается и полный алгоритм для КК на 5 и более переменных. Для минимизации логических функций от 10 и

9

более переменных советским офицером и учёным Мавренковым Леонидом Трофимовичем в конце 60-х годов прошлого столетия на 21-й кафедре Академии им. Дзержинского был предложен до сих пор не превзойдённый по эффективности Метод обобщённых кодов [1 - 4].

В современных учебниках по логике появились необдуманные попытки представить ПК просто фигурой покрытия с 2n клетками КК. Пример фигур покрытия, содержащих 2n клеток КК и не являющихся прямоугольниками Карно, представлен на рисунке. Фигуры М и N не обладают симметричностью по Лобанову. Эти фигуры не являются ПК, хотя и содержат 2n клеток КК.

Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке.

Из карты Карно получено соотношение:

f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1

Это выражение представляет собой пример минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ). В некоторых случаях приведение результата минимизации к скобочной форме (вынесение общего множителя за скобки) позволяет уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых для реализации булевой функции. Скобочная форма для f имеет вид:

f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1

Смысл скобочной формулы прост: за абитуриента должны проголосовать либо все 3 члена комиссии, либо хотя бы один из них, но совместно с председателем. Этот результат мог быть получен чисто эвристически, что является предостережением от чрезмерного увлечения формальными методами синтеза логических функций.

10