16. Множественная корреляция.Расчет совокупного коэффициента и частных коэффициентов корреляции.

Под множественной корреляцией понимается: исследование статистической зависимости результативного признака от нескольких факторных признаков. Основная задача МК сводится к вычислению значения переменной y, соответствующего определенным значениям двух или большего числа факторов.

Одним из важнейших требований является отбор наиболее существенных факторов, влияющих на результативный признак. При этом в уравнение нельзя вводить факторы, которые находятся между собой в функциональной или близкой к ней зависимости.

Выбор той или иной формы связи при многофакторной корреляции диктуется рядом соображений:

-выбранная функция должна отражать существующую закономерность явлений

-выбранная функция должна иметь наиболее простой вид

-число рассматриваемых факторов должно быть ограничено

-выделенные для исследования факторы не могут находиться между собой в функциональной или близкой к ней связи.

Уравнение линейной регрессии при множ-й корреляции имеет вид:

_

y_x = a_o + a₁x₁ + a₂x₂+ ...+a_nx_n

Рассмотрим частные случаи регрессии:

а)двухфакторный комплекс

_

y_xz= a_o + a₁ x+ a₂z

Система имеет вид:

na_o+ a₁åx + a₂åz=åy

a_oåx + a₁åx² + a₂åxz=åyx

a_oåz + a₁åxz +a₂åz² =åyz

б)трехфакторный комплекс

_

y_xzv=a_o+ a₁x+ a₂z +a₃v

Cистема:

na_o+ a₁åx+a₂åz +a₃åv=åy

a_oåx+ a₁åx² + a₂åxz+a₃åxv=åyx

a_oåz + a₁åxz +a₂å z²+a₃åzv=åyz

a_oåv+a₁åxv+a₂åzv+a₃åv²=åyv

В статистике возникает необходимость измерить тесноту связи в многофакторном комплексе. Для этого пользуются совокупным коэффициентом множественной корреляции.

_ _

R_1,2,3=Ö1- s²_(1,2,3) ,где s²_(1,2,3) -остаточная дисперсия за

s² счет неучтенных факторов.

s² -общая дисперсия

½R½£1

по величине совокупного коэффициента множ-й корреляции можно судить не только о тесноте связи между признаками и о правильности выбора формы связи, но и о правильности учтенных при анализе факторов.

Для двухфакторного комплекса совок-й коэфф-т корреляции имеет вид

_________________

R_y(xz)=Ö r²_xy + r²_yz - 2r_xyr_yzr_xz

1-r²_xz

Cовокупный коэфф-т множ-й корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный. Его значения находятся в пределах от 0 до 1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а следовательно, величина R ближе к единице.

В многофакторном комплексе факторные признаки действуют не изолированно, а во взаимодействии. Возникает необходимость измерения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянном значении прочих факторов.

Эта задача решается с помощью вычисл. частных коэффициентов корреляции.

При лин. связи между x,y и z частный коэфф-т корр-ции между х и у при исключении влияния z будет иметь вид

r_xy(z)= r_xy - r_xzr_{yz_____}

Ö(1-r²_xz)(1-r²_yz)

При искл. влияния х: r_yz(x) = r_yz - r_xzr_{yx______}

Ö(1-r²_yx)(1-r²_xz)

Величина R всегда больше любого из частных коэфф-в корреляции в данном комплексе.

16-20Ó

17.Показатели тесноты связи непараметрических признаков.

При исследовании социальных явлений и процессов большое значение имеет изучение качественных показателей и признаков, не имеющих количественной оценки.

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэфф-ты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака(например, хороший,плохой)

пример: площадь земли, га

удобрено хорошо удобрено плохо итого

урожайность a b a+b

высокая

урож-ть c d c+d

низкая

итого a+c b+d

Коэфф-ты рассчится по формулам:

A= ad-bc - ассоциации

ad+bc

K= ad-bc ______

Ö(a+b)(b+d)(a+c)(c+d) - контингенции

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если А³0.5 или К³0.3

Если каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэфф-та Пирсона.Этот коэфф-т рассчит-ся по формуле

_________

С= Ö j² где j² - показатель взаимной

1+ j² сопряженности

Расчет коэфф-та взаимной сопряженности пр-ся по след. схеме

Группы Группы признака В итого

признака А В1 В2 В3

А1 f₁ f₂ f₃ n₁

А2 f₄ f₅ f₆ n₂

А3 f₇ f₈ f₉ n₃

итого m₁ m₂ m₃

Расчет j² производится так:

по первой строке

( f²₁ + f²₂ + f²₃ ): n₁=L₁

m₁ m₂ m₃

по второй строке

( f²₄ + f²₅ + f²₆ ): n₂=L₂

m₁ m₂ m₃

по третьей строке

( f²₇ + f²₈ + f²₉ ): n₃ = L₃

m₁ m₂ m₃

Cледовательно j² = L₁+ L₂ + L₃ - 1 = 3L_i - 1

Интерпретация непараметрических коэфф-в связи в некоторых случаях, особенно когда они имеют отрицательное значение , затруднительна. Их абсолютные значения могут изменяться в пределах от 0 до 1. Чем ближе абсолютные значения к единице, тем теснее связь между исследуемыми признаками.

18.Расчет коэффициентов знаков( Фехнера), корреляции рангов (Спирмена), коэффициента конкордации.

Коэффициент знаков (коэфф-т Фехнера) вычисляется на основании определения знаков отклонений вариантов двух взаимосвязанных признаков от их средних величин.

Если число совпадений знаков обозначить через а , а число несовпадений через в, а сам коэфф-т- через I, то можно написать ф-лу этого коэфф-та так

i = åa-åв

åа+åв

Коэфф-т корреляции рангов(Спирмена) рассчитывается не по значениям двух взаимосвяз-х признаков, а по их рангам след. образом: (рангом называется порядковый номер эл-та в ранжированном ряду признаков)

r_x\y = 1- 6åd_i²__

n(n²-1) ,где d_i²-квадраты разности рангов

n- число наблюдений(число пар рангов)

Для определения тесноты связи между тремя и более признаками применяется ранговый коэфф-т согласия - коэфф-т конкордации, который вычисляется по ф-ле

W= 12S___

m²(n³-n) ,где m- кол-во факторов, n- число наблюдений

S- сумма квадратов отклонений рангов

Если при определении тесноты связи с помощью приведенных ранговых коэфф-в имеются связные ранги, т.е. если двум или более показателям присвоен тот же ранг, то расчеты произв-ся по ф-ле

W= 12S____________ , где Т=(t³- t) , а t-количество

m² ( n³ - n) - måT 12 связных рангов по

отдельным показат-м

примечания списывающему: все эти коэфф-ты толкуются одинаково ,чем ближе к 1 тем связь сильнее и т.д.