П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

71

6. И ЕРАРХИЧЕСКИ Е М ОДЕЛИ ТУРБУЛЕН ТН О СТИ

ÈВЕЙ ВЛЕТЫ

Âэтой главе мы рассмотрим модели, основанные на идее применения функционального базиса специального типа, наиболее точно соответствую щ его структуре турбулентных полей. И дея такого базиса впервые была предложена В.Зиминым в концесемидесятых годов и состояла в использо-

вании семейства самоподобных функций прогрессивно убываю щ его мас- ш таба10. Базис был назван иерархическим и на его основе были построены

и исследованы многочисленные модели, также названные иерархическими (см. книгу В.Зимина и П .Ф рика11). В концевосьмидесятых годов в научной литературе появилось слово «вейвлет», а к началу девяностых вейвлетанализпревратился в самостоятельную, хорош о развитую область математической физики. И деи, лежащ ие в основе теории вейвлетов, совпадаю т с идеями иерархического представления турбулентных полей и в терминах этой молодой науки иерархические модели - это модели, построенные с помощ ью вейвлет-представления описываемых полей.

П оскольку цель наш его курсасостоит в изложении подходов к моделированию турбулентности, то главу мы начнем с идей, приведш их к иерархическим моделям. В то же время, нельзя не остановиться и на формулировке основных положений вейвлет-анализа, который оказываетсячрезвычайно полезным при анализевременной и пространственной структуры нелинейных гидродинамических систем. Краткое изложение основных идей непрерывного и дискретного вейвлет-анализа и некоторые примеры его использования составят вторую половину этой главы.

6.1. И ерархический базис для турбулентных полей

Рассматривая численные методы реш ения уравнений движения жидкости, мы говорили о том, что чащ евсего дляэтих целей используютсялибо сеточные, либо спектральныеметоды, либо их комбинация. И те, и другие можно отнести к проекционным методам реш ения уравнений в частных производных, когда для реш ения используют проекции всех полей на функциональные базисы.

В сеточных методах функции представлены значениями в точках, плотность которых связана со спектральными свойствами рассматривае-

10Зимин В.Д. И ерархическая модель турбулентности // И звестия А Н СССР: Ф изика атмосферы и океана. Ò.17. N.12. Ñ.1265-1273.

11Зимин В.Д., Ф рик П .Г. Турбулентная конвекция. М .: Н аука, 1988. 178 с.

72

мых полей (мелкомасш табные вихри не должны проваливатьсямежду точ- ками сетки). Более строго эта связь выражается теоремой Котельникова, согласно которой функция f (x) , спектр которой ограничен пространственной частотой 2π / h , можетбыть представлена суммой функций отсчетов (синкусов), центры которых размещ ены на сеткесш агом h . Очевидно, что сеточное представление эффективно при описании локальных структур - мелкомасш табный вихрь описывается небольш им числом точек, находя-

ùихсявсоответствую щ ей области пространства. В то жевремя, для описания даже очень простого по структуре крупномасш табного вихря требуетсяиспользование всех базисных функций.

Спектральныеметоды использую т разложение по фурье-гармоникам. В этом случае каждая базисная функция описывает, по сути, систему когерентных вихрей, занимаю щ ую все пространство. В таком представлении очень просто описать вихрь, занимаю щ ий всю область, или периодиче- скую систему вихрей - и в том, и в другом случае достаточно одной базисной функции. Однако, если требуется описать отдельный вихрь, занимаю -

ùий малую частьрассматриваемой области, то потребуется весь гармони- ческий ряд.

Выш еуже обсуждались и преимущ ества и недостатки обоих методов с точки зрения реш ения уравнений гидродинамики. Сеточные методы эффективны при вычислении нелинейных членов, так как позволяют выра-

зить значение в точке через небольш ое число соседних точек, но приводят к больш им затратам маш инного времени при реш ении уравнения П уассона, требую щ его построения итерационного процесса, в который вовлечены все точки области. Спектральные методы, наоборот, делают реш ение уравнения П уассона тривиальным, но приводят к очень сложной структуре нелинейных членов.

П роблемы двух функциональных базисов связаны с их локализованностью в физическом и в фурье-пространствах. Сетки строго локализованы в физическом пространстве, но спектр точки (дельта-функции) есть белый ш ум. Это означает, что функции делокализованы в пространстве Ф у- рье. Обратная ситуация возникает при разложении Ф урье. Каждая гармоника представляет строго одну частоту, но соответствую щ ая ей функция занимаетвсефизическое пространство.

В турбулентном потоке сосущ ествуют вихри самого различного масш таба, но наиболее эффективные взаимодействия происходят между вихрями (структурами), близкими и в физическом, и в фурье-пространстве. П ервое очевидно - чтобы вихри взаимодействовали, они должны перекрываться в пространстве. Второе утверждение составляет основу концепции каскадных процессов - взаимодействуют вихри сравнимых размеров (если размеры не сопоставимы, то маленькие вихри просто переносятся больш и- ми безобмена энергией). Это заставляет обратиться к поиску специальных функций, болееточно соответствую щ их структуре турбулентного потока.

73

В теории турбулентности важную роль играет идея масш табного подобия. Это значит, что искомый базис должен быть составлен из подобных функций.

Ещ е один недостаток использования рядов Ф урье состоит в низкой информативности высоких частот. Хорош о понятен смысл рассмотрения вихрей с характерным размером L, L / 2, L / 3,... , но отдельное описание мас- ш табов L / 957, L / 958, L / 959,... и т.д. мало оправдано. Это соображение наводит на мысль о необходимости использования функций, масш таб которых изменяется прогрессивно - такое соотнош ение получается при равномерном разбиении пространства масш табов в логарифмическом представлении.

Суммируя сказанное, можно сформулировать требования, которым должен удовлетворять функциональный базис, предназначенный для описания турбулентных потоков:

1)функции базиса должны быть локализованы и в физическом, и в фурье-пространствах;

2)функции должны быть подобны и описывать иерархию вихрей прогрессивно убываю щ их масш табов;

3)мелкомасш табные вихри должны переноситься в поле вихрей больш его масш таба;

4)при подстановке в уравнения Н авьеСтокса функциональный базис должен приводить к слабосвязанной динамической системе.

Ðèñ.6.1

Ïопробуем построить базис, удовлетворяю щ ий этим требованиям.

Ïостроения будем проводить для двумерного случая, так как это упрощ ает иллю страцию результатов и запись функций.

И так, имеем двумерное пространство r = (x, y) и соответствую щ ееему

пространство волновых векторов k = (k x , k y ) . Ф урье-плоскость разобьем на кольцевыезоны (рис.6.1) таким образом, что для зоны с номером N

ãäå f N (r ) есть базисныефункции масш таба N , rNn - радиус-вектор центра вихря (функции). Ф ункции f N (r ) должны быть подобны и обеспечи-

получаю щ емся при проектировании уравнений Н авье - Стокса на функциональный базис. П ри этом хотелось бы иметь полный ортонормированный базис функций.

Увы, удовлетворить всем приведенным требованиям не удается. Задача имеет реш ение в такой постановке только в одномерном случае. Одномерный базис, конечно, не имеет интересасточки зрения описания турбулентности, но его построение представляет методический интерес и мы его проведем.

6.1.1. Одномерный иерархический базис

Рассмотрим функцию f (x) , для которой сущ ествует преобразование Ф урье,

Ðèñ.6.2

мечательным свойством - они допускают периодическое продолжение на

всю ось с периодом 2γ (ðèñ.6.3)

N

77

что следует изортогональности функций в фурье-пространстве и инвариантности скалярного произведения двух функций относительно преобразования Ф урье. Коэффициенты в разложении (6.11) определяются формулой

Базисныефункции имею т двойную индексацию . Больш ой индексотвечает за масш таб, малый - заположение функции в пространстве. Увели- чение индекса N на единицу сжимает функцию вдвое, увеличение индекса n на единицу сдвигает функцию вдоль оси x на величину hN .

6.1.2.Двумерный базис

Ïростейш ий способ получения двумерного базиса состоит в определении двумерной функции как произведения одномерных

f NnMm (x, y) = f Nn (x) f Mm ( y) ,

однако, такие функции не являю тся изотропными и не удовлетворя- ю т требованию подобия. П оследнее обстоятельство не оставляет надежд на получение простой динамической системы для коэффициентов разложения.

Èсходя из локальной изотропии мелкомасш табной турбулентности и стремления получить базис, образованный разномасш табными, но однотипными функциями, построим относительно простой, но «не совсем ортогональный» базис.

Èтак, раскладываем полезавихренности в ряд

ãäå ANn - зависящ ая от времени амплитуда, ω Nn - осесимметричная ба-

зисная функция, у которой больш ой индексотвечает за масш таб, а малый - заположение в пространстве, и rNn - радиус-вектор центра функции.

И спользуем введенное выше разбиение спектральной плоскости на расш иряю щ иеся кольцевыезоны (6.1) и определим базисную функцию таким образом, что ее фурье-образ равен константе в пределах соответствую щ его кольца:

79

ленности. Если области локализации в r è k пространствах имеют, соответственно, размеры r è k , то, требуя

П ри вычислении (6.21) учли, что Sk есть площ адь кольцевой облас-

ти (6.1). Ф ормула (6.21) отражает тот факт, что число вихрей при переходе от масш таба к масш табу растетв четыре раза(естественно, что в трехмерном случаеэто отнош ение будет равно восьми).

Вопрос о распределении функций в пространстве более сложен. Ф ормулируя требования к базису, мы хотели воспроизвести структуру турбулентного потока, в котором мелкие вихри переносятся крупными. Это означает, что радиус-вектор центра функции должен подчиняться уравнению

П одчеркнем, что суммирование в (6.22) ведется по всем масш табам, больш им данного.

Введенный таким образом базис ортогонален по индексу N , так как в фурье-пространстве функции различного масш таба занимают неперекрываю щ иеся области. Н еортогональность функций по малому индексу, отвечаю щ ему за положение вихрей в пространстве, можно оценить путем

r

вычисления интеграла òω Nnω Mm dr для двух вихрей одного масш таба, расположенных друг от друга на расстоянии ρN − 1 / 2 , равном среднему расстоянию

между вихрями данного масш таба. Такая оценка дает для функций (6.19) значение порядка 0,1.

6.1.3.Трехмерный базис

Ïостроение иерархического базиса для трехмерного скалярного поля принципиально не отличается от двумерного случая. В пространствеФ урье функции локализуются в сферических слоях и, послеперехода в физическое

80

пространство, получаю тся функции со сферической симметрией, имею щ ие вид

ãäå α - нормировочный коэффициент, а s имеет тот жесмысл, что и в двумерных функциях.

Для векторных полей ситуация отличается, так как появляетсятретий индекс, связанный с ориентацией вихря в пространстве. Так, например, функцию для поля скорости можно записать в виде

Здесь eν - единичный вектор, направленный вдоль одной из осей координат, а f Nn (s) - скалярная функциясш аровой симметрией.

6.2.И ерархическая модель двумерной турбулентности

Èспользуем функциональный базис, введенный в п.6.1.2 для построения модели двумерной турбулентности. Речь идетименно о модели, а не о прямом численном расчетеспомощ ью этого функционального базиса, так как базис не является строго ортогональным и не реш ает проблемы граничных условий.

Рассмотрим уравнение для завихренности