П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

то есть расш ирение инерционного интервала происходит при использовании в качестве осей координат любой пары структурных функций.

4.6.3.М одель Ш е- Левека - Дюбрю ль

Âзаклю чение рассмотрим обобщ ение модели Ш е - Левека, предложенное Б.Дюбрю ль. В основе обобщ ения лежат следую щ ие идеи. Вопервых, используя расш иренную автомодельность, избавиться от абсолю т- ного масш таба l . Во-вторых, отказаться от попытки получения беспараметрической модели. П оследнее означает, что уменьш ается число гипотез, априорно заложеных в модель, но в расплатой за это являются дополнительные параметры, требую щ ие экспериментального определения. В- третьих, вместо величины εl рассматривается безразмерная величина

εl (∞ )

являю щ аяся безразмерной характеристикой поля диссипации энергии (либо потока энергии) на масш табе l .

В формулировке Дюбрю ль три гипотезы Ш е - Левека приобретают следую щ ий вид:

I) модифицированная гипотеза подобия

44

ди, следует отметить, что в последние годы были сделаны попытки описать случайныетурбулентные поля и с помощ ью других функций распределения (например, лог-леви) и окончательный ответна вопрос о законах распределения вероятности в турбулентных потоках далеко не ясен.

Список рекомендуемой литературы

1.ЛандауЛ.Д., Лифш иц Е.М . Гидродинамика. М .: Н аука, 1988. 736 с.

2.М онин А.С., Яглом А.М . Статистическая гидромеханика. М .: Н аука, 1965. Ч.1. 639 с.

3.М онин А.С., Яглом А.М . Статистическая гидромеханика. М .: Н аука, 1967. Ч.2. 720 с.

4.Frisch U. Turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. 296 p.

45

5. ДВУМ ЕРНАЯ ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ

Распространенным способом упрощ ения физической задачи при ее теоретическом и численном реш ении является снижение размерности пространства. И менно для двумерной постановки получены почти все точные реш ения уравнений Н авьеСтокса. Как правило, и численные реш ения задач о ламинарном течении жидкости проводят для двумерной геометрии. П ри переходе к турбулентным течениям, когда число точек, необходимых для моделирования потока, растет согласно оценке (4.26) как число Рейнольдсавстепени «9/4»и быстро достигает пределов возможностей вычислительных маш ин, также кажется естественным начать численноемоделирование турбулентности с рассмотрения плоских течений.

Однако, турбулентность - явление сущ ественно трехмерное и в случае турбулентных потоков переход к плоской геометрии приводит к качественным изменениям свойствтечений. Ф акт, что двумерная турбулентность не является упрощ енной моделью трехмерной, был установлен независимо Крейчнаном и Бэтчелором в середине ш естидесятых годов. П рактически сразу стало ясно и то, что ш ансов на реализацию чисто двумерной турбулентности в природных и даже в лабораторных условиях фактически нет. Н есмотря на это, двумерная турбулентность привлекла к себе значительное внимание исследователей, которое не ослабевает и по сегодняш ний день. Объясняется это несколькими причинами. Во-первых, качественное своеобразие двумерной турбулентности дает прекрасные возможности для опробования различных моделей турбулентности (модель, претендую щ ая на адекватное описание турбулентности, должна быть чувствительной к изменению размерности пространства и правильно отражать ее свойства в случае трех и двух измерений). Во-вторых, двумерная турбулентность стала доступной для прямых численных экспериментов уже в 70-х годах (в 80- х с появлением ЭВМ типа «Cray» удалось выйти на сетки размером 1024х1024, достаточные для приличного воспроизведения инерционных интервалов), а такое же разреш ение для трехмерных потоков стало возможным только в последние годы. Третья причина состоит в том, что, хотя строго двумерных турбулентных течений и не сущ ествует, некоторые черты двумерной турбулентности проявляют многие крупномасш табные геофизические и астрофизическиетечения (в этих случаях обычно говорят о квазидвумерной турбулентности).

равная интегралу от квадрата завихренности по всему объему, называетсяэнстрофией.

Свободная эволю ция трехмерной турбулентности сопровождается, как мы выяснили выше, переносом энергии к малым масш табам. В терминах спектральной плотности энергии E(k ) это соответствует переносу энергии к больш им волновым числам. Для энстрофии также можно ввести спектральную плотность Ω (k ) , причем в силу (5.5) она связана со спек-

характер, изобилуя кратковременными всплесками и провалами. Качественно процессы передачи энергии к малым масш табам с одно-

временным ростом завихренности описываются так называемым «механизмом растяжения вихревых трубок». Этот механизм состоит в следую - щ ем. Вихрь, попадая в зону деформации вихря больш его масш таба, растягивается и раскручиваетсявсилу действия закона сохранения момента импульса. П ри этом деформируются вихри, ориентированные перпендикулярно больш ому вихрю , то есть механизм имеет принципиально трехмерную природу.

Отметим, что трехмерные уравнения Н авьеСтоксаимеютещ е один интеграл движения. В невязком пределе сохраняю щ ейся величиной являетсяспиральность, определяемая как

48

В отличие от энергии и энстрофии, спиральностьне является положительно определенной величиной. Она является псевдоскаляром (меняет знак при переходе от правовинтовой системы координат к левовинтовой) и отлична от нуля в случае, если в течении сущ ествую т спиральные вихри и количество спиралей с правой закруткой больш е(меньш е), чем левой. Эта величина становится сущ ественной только в некоторых специальных тече- ниях, как правило, анизотропных. К таким течениям относятсямногие гео- и астрофизическиетечения. Особенно важную роль играет спиральность в задачах возбуждения магнитных полей в течениях проводящ ей жидкости (проблема магнитогидродинамического динамо).

Запиш ем уравнение для завихренности, для чего на уравнение (5.1) необходимо подействовать оператором rot ,

и рассмотрим вопрос об интегралах движения при двумерном движении жидкости. Двумерность движения подразумевает, что вектор скорости имеет только две отличные от нуля компоненты v = (vx , vy ,0) , а завихрен-

ностьтолько одну ω = (0,0,ω ) , становясь, таким образом, псевдоскалярной величиной.

Уравнение (5.10) принимает в этом случае чрезвычайно простой вид

совпадая с уравнением переноса скалярной примеси. Н а сходстве и различии уравнения для завихренности и уравнения для пассивной примеси мы остановимся болееподробно ниже, а сейчас запиш ем (5.11) в переменных Лагранжа

И з (5.12) очевидным образом следует, что при ν → 0 жидкая частица переносит завихренность без изменений, а следовательно, лю бая функция f (ω ) становитсяинтегралом движения. Таким образом, двумерный поток в невязком пределе обладает бесконечным набором интегралов движения. Среди этих интегралов особое место занимаетэнстрофия (5.7), которая, как и энергия, остаетсясохраняю щ ейся величиной и при конечномерном представлении полей скорости и завихренности (при обрыве рядов Ф урье, если говорить о спектральном представлении полей).

Запиш ем уравнение для эволю ции энстрофии при двумерном течении