П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

61

глядно эффект виден на рис.5.15, где показаны степенные показатели ςq ,

Ðèñ.5.16 Ðèñ.5.17

вычисленные соответственно по данным рисунка 5.14,а и 5.14,б. Если в первом случае (рис.5.15,а) на графике вовсе отсутствуют горизонтальные участки (а именно они и должны подтверждать наличие инерционного интервала), то во втором случае (рис.5.15,б) выраженные горизонтальные участки появляю тся, по крайней мере, для q < 8 . Следует обратить внимание на то, как быстро растет уровень ош ибок с ростом порядка структурных функций. Таким образом, применение ESS действительно помогает выделить инерционный интервал и определить значения степенных показателей.

Следую щ им положением, требую щ им проверки, является сущ ество-

63

Таким образом, рисунок свидетельствует о выполнении соотнош ения (4.92), причем с одинаковыми константами Aq . П оследнее обстоятельство

свидетельствуетв пользу логпуассоновского закона распределения случайных величин.

Вычисленныезначения параметра β дали близкие, но отличаю щ иеся значения ( β = 0.7 в интервале переноса энергии и β = 0.55 - в интервале переносаэнстрофии).

Вернемсяк вопросу о физическом смысле гипотез, лежащ их в основе модели. В соотнош ение (4.91) (и/или (4.81)) входят относительныемоменты, каждый из которых такжеможно записать в степенной форме вида

δ образуетнеубываю щ ую последовательность и можетиметьодну изсле-

q

дую щ их четырех форм (рис.5.20): случай

а) соответствует модели К41 (δ ≡ 0 ); ñëó-

q

чай б) характеризует ситуацию , когда дажемомент первого порядка зависит от масш таба, но степень неоднородности не

растет с ростом порядка (δ ≡ Ñ ); случай

q

в) воспроизводит картину, заложенную в модель Ш е- Левека (среднее значение не зависит от масш таба усреднения, но су- щ ествует предел для больш их моментов,

описывает ситуацию, когда среднее зна- чение зависит от масш таба, но показатель растетсростом q .

Легко видеть, что гипотеза (4.92) эквивалентна утверждению

64

что вторая гипотеза Ш е - Левека равносильно предположению об экспоненциальной формефункции h(q) è β = exp{- a}.

Возвращ аясь к результатам численного моделирования двумерной турбулентности, нужно отметить, что ее поведение различно в интервалах переноса энергии и энстрофии, но нигде не соответствует модели Ш е- Левека (т.е. рис.5.20,в). В интервале переноса энстрофии уровень перемежаемости низок ( D близка к нулю ), но первый момент потока η (среднее значение) зависит от масш таба усреднения. Такая ситуация отвечает слу- чаю, показанному на рис.5.20,б, и вызвана наличием сильных изолированных вихрей. И менно с вихрями связано сильное отличие в спектре инерционного интервала энстрофии (а несперемежаемостью, как таковой).

в случае трехмерной турбулентности). Эта величина характеризует интенсивность процессов переноса энергии независимо от их направления. Это означает, что полученный нами результат свидетельствуето наличии потоков энергии, обратных основному направлению переноса, и общ ая интенсивность потоков изменяется с изменением масш таба. Качественно такой сценарий переноса энергии по спектру иллюстрирует рис.5.21.

П оследний важный вопроскасаетсясвязи гипотезы подобия в форме (4.90), использованной в модели Ш ЛД сгипотезой подобия К62 (4.50). И з (4.90)

следует, что

65

Очевидно, что (5.31) совпадает с модифицированной гипотезой подо-

выполняются в трехмерной турбулентности, но наруш аю тся в двумерной, где, таким образом, применима только гипотезаподобия в виде(4.90).

5.5.Конвективная турбулентность

Âзаклю чение этой главы рассмотрим пример турбулентности, развиваю щ ейся под действием силового поля, связанного с самим течением. Таким примером являетсяконвективноетечение при больш их числах Релея (Грассгофа). М ы рассмотрим специфику конвективной турбулентности как в случаетрехмерного, так и в случае двумерного движения.

Выпиш ем уравнения термогравитационной конвекции в приближении Буссинеска, которыемы выводили в разделе 1.3 части 1 этого курса,

Уравнения записаны в безразмерной форме и вклю чаю т два безразмерных параметра: число Грассгофа G = gβT0 L3 /ν 2 и число П рандтля σ =ν / χ (смысл

этих безразмерных параметров обсуждался в п.1.3).

М алые числа Грассгофа соответствую тситуации, когда влияниетемпературы на поле скорости мало и температура ведет себя как пассивная примесь, не влияя на свойства поля скорости. Остановимся подробнее на возможном поведении пассивной примеси в турбулентном потокесзаданными свойствами. Вид спектра пульсаций пассивной примеси можно оценить, исходя из следую щ их соображений. В пределе малой температуропроводности система (5.32)-(5.34) сохраняет квадрат пульсаций температуры, а величиной, регулирую щ ей процессы переноса энергии пульсаций температуры по спектру, являетсявеличина εT - скорость диссипации энергии пульсаций температуры. Эта величина связана с пульсациями температуры δTl íà ìàñø òàáå l соотнош ением

66

П овторяя колмогоровские рассуждения, предполагаем, что неоднородность температуры вносится в поток на макромасш табе, а температуропроводность (диссипация) становится сущ ественной только на микромасш табе и в инерционном интервале должен сущ ествовать постоянный, не зависящ ий от масш таба поток энергии пульсаций температуры, равный скорости ее диссипации. Следовательно,

Чтобы получить зависимость пульсаций температуры от масш таба, нужно в (5.35) подставить соответствую щ ую зависимость для пульсаций скорости. Так, если спектр кинетической энергии следует закону Колмогорова «-5/3»(5.14) и δvl ~ ε1 / 3l1/ 3 , то получаем оценку

соответствую щ ую спектру энергии пульсаций температуры вида

Важно отметить, что спектр (5.37) имеет одинаковый вид и для трехмерной турбулентности и для интервала обратного переноса энергии в двумерной турбулентности, причем и в том и в другом случае направление каскада энергии пульсаций температуры прямое, то есть энергия пульсаций переносится в малые масш табы независимо от направления каскада кинетической энергии.

В инерционном интервале переноса энстрофии, где спектр кинетиче- ской энергии следует закону (5.15), а пульсации скорости оцениваются как δvl ~ εω 1/ 3l , (5.35) приводит к соотнош ению

П роведенные оценки справедливы, вообщ еговоря, дляслучая, когда число П рандтля σ ~ 1 , то есть вязкость и температуропроводность имею т один порядок величины.

П осмотрим теперь, как ведет себя пассивная примесь при экстремальных значениях числа П рандтля. П усть σ << 1, что соответствует рас-

67

смотрению жидкости с очень хорош ей температуропроводностью (для определенности можно представить себе, что мы рассматриваем турбулентность в ртути или другом жидком металле). В такой среде диффузия тепла эффективней каскадных процессов. Если турбулентность сущ ествуети есть каскад кинетической энергии с законом (5.14), то полескорости непрерывно создает и пульсации температуры, но последние рассасываю тся на тех жемасш табах, что и создаю тся, неуспевая вступить в нелинейный каскадный процесс. И сточником пульсаций температуры служит крупномас-

øтабное поле δT0 , а оценку для величины пульсаций температуры на мас-

øòàáå l получаем, сравнивая величину конвективного и диссипативного слагаемых в уравнении (5.32)

И нтервал масш табов с такими свойствами называют инерционнодиффузионным интервалом. В двумерной турбулентности в инерционном интервалеэнстрофии при спектре скорости «-3»аналогичные оценки даю т ещ е более быстроеспаданиеспектральной плотности энергии пульсаций

бах пульсации скорости подавлены вязкостью . Тогда

68

è δTl ~ l 0 . П олучаем спектр, на который впервые указал Бэтчелор,

Сводная картина возможных спектральных законов для пульсаций пассивной примеси приведена на рис.5.22.

Обратимся теперь собственно к конвективной турбулентности, то есть турбулентности, в которой основной движущ ей силой является неоднородность температуры. Число Грассхофа G >> 1 , а число П рандтля для простоты будем считать порядка единицы. П усть движение вызывается неоднородным нагревом на максимальном масш табе L , и возникаю щ ее движение столь интенсивно, что движение является турбулентным. В этом случае возможно представить себе два сценария развития турбулентности. П ервый (колмогоровский) состоит в том, что турбулентность развивается по обычному изотермическому сценарию и динамика меньш их масш табов определяется спектральным потоком энергии, который оказываетсяна этих масш табах сущ ественнее, чем работа сил Архимеда. Н а возможность другого сценария впервые указали независимо друг от друга А.Обухов и Р.Болджиано. Этот сценарий (будем называть его обуховским) предполагаетсущ ественную рольсил Архимеда в ш ироком интервалемасш табов. Так как режим движения заведомо нелинейный, то это возможно в случае, если на каждом масш табе имеет место баланс между нелинейным и архимедовым слагаемыми в уравнении (5.32). Это условие выражается(в размерном виде) соотнош ением

l

Н аряду с этим условием остается справедливым условие (5.35), требую щ ее постоянства потока энергии пульсаций температуры по спектру. Оно дает второесоотнош ение

Реш ая систему (5.42)-(5.43), получаем

70

Конвективный интервал обеспечивает прямой поток энергии по спектру, а на масш табе Болджиано каскад блокируется. Справа от этого масш таба должен установиться интервал переноса энстрофии, а слева начнется формирование интервала обратного каскада энергии. Общ ая картина спектров в двумерной конвективной турбулентности показана на рис.5.24.

Отметим ещ е один интервал, который может появиться при турбулентной конвекции в жидкости с больш им числом П рандтля. Сильная вязкостьподавляетдвижение на масш табах, на которых ещ есущ ествуют пульсации температуры. Безучета сил плавучести это приводит к спектру Бэт- челора (5.41). П ри больш их числах Грассгофа возможна ситуация, когда нелинейные члены в уравнении для скорости становятся малы, а динамика пульсаций определяется балансом сил Архимеда и сил вязкости. Это озна- чает, что

Считая, что пульсации температуры следую т закону Бэтчелора (5.41), получаем из(5.50) спектральный закон для пульсаций скорости

В заклю чение отметим, что вопрос о спектральных законах в конвективной турбулентности далек от своего окончательного реш ения. Экспериментальные измерения касаю тся, в основном, только полей температуры и да- ю т разноречивые результаты. Н асегодня нетдажеединого мнения относительно того, может ли реализоваться инерционный интервал Обухова. К этому вопросумы вернемся в последней главе курса.