OT_METOD_KP_ONOEOT

з цього члена треба виводити лівий х. Проте поліном - це досить проста функція ; у випадках більш складних функцій можливі серйозні труднощі в формуванні з , а тому частіше використовуються метод хорд або метод дотичних (Ньютона).

Метод Хорд

Провівши хорду сd (рис. 8.1) знаходимо наближене значення кореня х=а+h

де h може бути розраховане внаслідок розгляду двох подібних трикутників ахс та хdb;

звідки:

алгоритму, починаючи з пункту 1. Провівши відповідну хорду (c1d) отримують наступне наближення х, і т.д.

90

Рисунок 8.2 – Знаходження коренів методом хорд.

Метод Ньютона

У методі Ньютона уточненням х вважається пункт перетину дотичної, проведеної з с (або d), та вісі ОХ, отже; як і в методі хорд функція замінюється прямою лінією. Ідея методу може бути пояснена графічно, як і в методі хорд, або аналітично наступним чином:

Нехай S=x+h, де х наближене значення кореня, а h поправка до нього. Цю поправку можна знайти з розкладу функції у ряд Тейлора поблизу кореня.

з якого утримуються члени до n включно. Тоді

`

Оскільки при цьому h обчислюється з деякою похибкою (безкінечний ряд Тейлора обірваний на члені з h, то значення S=х+h не дає точного значення кореня, а є наступним наближенням до нього. Тому точне значення кореня може бути одержане з допомогою ітераційного процесу

`, 0,1,2,…

91

початкового наближення x0 . За початкове наближення треба брати той кінець інтервалу , , для якого виконується умова

``0

Якщо ця умова не виконується як для х0=а так і для х0=b, то інтервал

,занадто широкий і його слід зменшити описаним вище способом. Геометрична інтерпретація метода Ньютона полягає в тому що крива

знаходження наступного наближені замінюється прямою лінією - дотичною до кривої, проведеного в точці попереднього наближення xi-1. Перетин дотичної віссю OX дає чергове наближення.

Контрольні питання

1.Дайте опис методу Хорд.

2.Дайте опис методу Ньютона.

92

квадратна та неособлива, в наслідок чого її завжди можна обернути, одержавши матрицю [A]-1, а далі, помноживши ліву частину рівняння (2) на цю матрицю, отриматирівняння:

[X]=[A-1][B] (3)

якедозволяєвизначитиневідоміХi прямимиобчисленнями.

[A]-1[A][X]=[A]-1[B] [A]-1[A]=[E] [E][X]=[A]-1[B] [E][X]=[X] [X]=[A]-1[B]

Тут [E] - одинична матриця, тобто матриця, у якої головна діагональ має одиниці, а решта елементів нульові.

Метод Гауса

З прямих методів розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь найчастіше використовується метод Гауса та його модифікації. Обернена матриця A]-1 при цьому в явному вигляді не обчислюється. Процес розв'язання методом Гауса складається з двох чітко розмежованих етапів - прямого та зворотного «ходів». Етап прямого ходу є перетворення початкової системи рівнянь (1) в еквівалентну, що має наступний вигляд:

Здійснити таке перетворення можна послідовним повторенням n-1 раз наступних однотипних дій:

Коефіцієнти першого рівняння ділять на коефіцієнт a11

95

В рівняння номер 2, 3,…,n замість невідомого x1, підставляється його формульне значення, одержане з першого рівняння

після чого зводяться подібні члени. Це по суті досягається коригуванням коефіцієнтів цих рівнянь по формулам:

В результаті перше рівняння системи отримує вигляд, потрібний для (4), а в решті рівнянь зникає невідоме x1. Ці n-1 рівняння розглядаються як початкова система й для них повторюються дії 1-2, що дозволяє отримати друге рівняння системи (4).

, , , , 1.. ,

внаслідок округлень та втрати останніх цифр, суттєво зменшуються. При перетасуванні рівнянь початкової системи по вказаному критерію вибору діагональних елементів домінуючими виникає модифікація метода Гауса «з вибором головного елемента».

Другий - кінцевий етап метода Гауса - Його «зворотній хід», веде до обчислення значень шуканого вектора [X] в зворотному циклі по перетвореній до вигляду (4) системі:

З останнього рівняння обчислюється xn;

96

Одержане числове значення xn підставляється в усі 1..(n-1) рівняння та зводяться подібні члени. Кількість рівнянь та невідомих x при цьому зменшується на одиницю, а останнє рівняння системи набуває вигляду xn- 1=bn-1. Далі 1-2 повторюються доти, поки не буде отримано числове значення невідомого x1.

Контрольні питання

1.Для розв’язання яких систем рівнянь (лінійних чи нелінійних) застосовується метод Гауса?

2.З яких основних етапів складається класичний метод Гауса?

3.Який результат перетворень на прямому ході метода Гауса?

4.Які перетворення системи рівнянь виконуються на прямому ході?

5.Що таке еквівалентна система рівнянь, які перетворення вважаються еквівалентними?

6.В чому полягає зворотній хід методу Гауса?

7.Скільки фундаментальних систем розв’язків має однорідна система рівнянь?

8.Чи може система лінійних алгебраїчних рівнянь мати три розв’язки?

97

Комп’ютерний практикум №10

Графічні функції програмного середовища

Мета

Засвоїти навички роботи з графічними функціями програмного середовища Turbo Pascal. Розуміти як відбувається ініціалізація графіки, виведення графічних зображень та управління режимами виводу.

Робоче завдання

Навчитись працювати з графічними функціями програмного середовища. Вміти використовувати процедури виведення графічних примітивів для вирішення поставлених задач. Навчитись будувати графічні зображення будь якої складності.

Хід роботи

Написати програму для вирішення поставленого завдання.

Варіанти завдань

1.Заповнити екран довільними колами (квадратами, трикутниками, дугами, секторами, еліпсами).

2.Заповнити екран довільними колами (квадратами, трикутниками , дугами , секторами , еліпсами) різного кольору.

3.Видати на екран різні фігур по черзі.

4.Зарисувати екран ламаною лінією (смугами, кривими з дуг ) .

5.Видати на екран серію кіл (квадратів, трикутників, дуг, секторів, еліпсів) з регулярним зміною їх координат.

6.Видати на екран серію кіл (квадратів, трикутників, дуг, секторів, еліпсів) з регулярним зміною їх розмірів.

7.Видати на екран серію кіл (квадратів, трикутників, дуг, секторів, еліпсів) з регулярним зміною їх координат, розмірів і кольору.

98

8.Видавати на екран різні серії фігур, що перериваються по сигналу з клавіатури.

9.Запрограмувати обертання відрізка (променя, лінії, прямокутника, кола).

10.Запрограмувати відображення відрізка (променя, лінії, прямокутника, кола) від заданої лінії.

11.Запрограмувати відображення відрізка (променя, лінії, прямокутника, кола) щодо заданої точки.

12.Запрограмувати " калейдоскоп " з різними фігурами всередині.

13.Написати програму повороту (перенесення) системи ліній (фігур) на заданий кут (задану відстань) .

14.Підготувати набір процедур для зображення плоских графів.

15.Запрограмувати розмальовку рядків тексту за вказівкою з клавіатури. (Можна вказувати діапазон рядків і номер їх кольору).

16.Запрограмувати розмальовку рядків тексту програми в залежності від мовної конструкції, розпізнаваної по першому символу (слова).

17.Запрограмувати розміщення написів на екрані (без накладення) .

18.Систему текстів на екрані обвести рамочками.

19.Розмістити тексти всередині заданої системи рамок (не враховуючи правил переносу текстів) .

20.Запрограмувати розміщення рамок для тексту, що допускає перекриття (частина однієї рамки закрита інший).

99