tmech_stat
.pdf
8. ВИЗНАЧЕННЯ ЦЕНТРА ВАГИ ТОНКОЇ ПЛАСТИНИ
Визначити положення центра ваги заданої однорідної плоскої фігури (рис.8.1) і вказати його положення на рисунку. Розміри подано у сантиметрах.
|
Положення центрів ваги деяких плоских фігур подано у таблиці 8. |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рис.8.1,а
61
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
Рис.8.1,б
62
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
Рис.8.1,в
63
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
Рис.8.1,г
64
Приклад 8. Знайти координати центра ваги плоскої фігури, що зображена на рис. 8.2. Розміри наведено в см.
Рис. 8.2 Розв’язання. Для розв’язання використаємо метод розбиття в
поєднанні з методом від’ємних площ. Виділимо в даній фігурі п’ять простих фігур (рис. 8.2):
1. Прямокутник OABN:
S1 OA AB 18 6 108 см2;
x1 12 AB 3 см; y1 12 OA 9 см. 2. Круговий сектор ONP ( R = 6 см, 4 ):
S2 R2 4 R2 28,3 см2.
Беремо знак мінус, оскільки сектор є вирізаним. Відрізок OC2 дорівнює
65
|
2 R sin |
|
|
|
OC |
4 |
3,6 см. |
||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x2 OC2 cos 4 2,55 см;
y2 OC2 sin 4 2,55 см. 3. Прямокутник DEE1N .
S3 DE EE1 24 6 144 см2; x3 ON NE2 1 6 12 18 см;
y3 EE2 1 3 см.
4. Прямокутник E1KK1М .
S4 E1K KK1 12 6 72 см2; x4 OM ME2 1 24 3 27 см;
y4 E12K 6 см.
5. Трикутник KK1L .
S5 12 KK1 K1L 12 6 6 18 см2.
Беремо знак мінус, оскільки трикутник є вирізаний.
x |
|
xL xK |
xK |
|
24 30 24 |
26 |
см; |
|
1 |
|
|||||
5 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
yL yK |
yK |
|
6 12 12 |
10 |
см. |
|
1 |
|
|||||
5 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Координати центра ваги заданої плоскої фігури знаходимо за формулами
x x1 S1 x2 S2 x3 S3 x4 S4 x5 S5 |
|
||||
c |
S1 |
S2 |
S3 S4 |
S5 |
|
|
|
||||
66
3 108 2,55( 28,3) 18 144 7 72 26 ( 18) 15,55 см; 108-28,3 144 72-18
y y1 S1 y2 S2 y3 S3 y4 S4 y5 S5 |
|
|||
c |
S1 |
S2 |
S3 S4 S5 |
|
|
|
|||
9 108 2,55 ( 28,3) 3 144 ( 6) 72 ( 10) ( 18) 3,89 см. 108-28,3 144 72-18
Відповідь: xc 15,55 см; yc 3,89 см.
|
|
|
|
|
Таблиця 8. |
|
|
|
|||
№ п/п |
Лінія, плоска фігура |
Положення центра ваги |
|||
1. |
Дуга кола |
x |
c |
OC r sin |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де: r — радіус дуги; 2 — центральний |
|||
|
|
кут, виражений у радіанах. |
|
||
2. |
Круговий сектор |
x |
c |
OC 2 |
r sin . |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3. |
Круговий сегмент |
xc OC |
4 |
|
r sin3 . |
|
|
|
3 |
|
2 sin2 |
67
№ п/п |
Лінія, плоска фігура |
Положення центра ваги |
|||||||||||
4. |
Паралелограм |
Центр ваги збігається з точкою перетину |
|||||||||||
|
|
діагоналей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OC |
|
a2 b2 2abcos . |
|||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
1 x |
|
; |
y |
1 y |
|
. |
|
|
|
|
|
c |
|
2 |
B |
|
c |
2 |
B |
|
|
|
5. |
Трикутник (x2 , y2 ) |
Центр ваги збігається з точкою С перетину |
|||
|
|
медіан. Якщо відомі координати вершин А, |
|||
|
|
В і D трикутника, то: |
|
||
|
|
xc |
1 |
x1 x2 x3 ; |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
yc |
1 |
y1 y2 y3 . |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
6. |
Трапеція |
Центр ваги знаходиться у точці перетину |
|||
|
|
прямої АВ і прямої MN. |
|||
|
|
h |
H |
a 2b , |
|
|
|
|
|
3 |
a b |
де H — висота трапеції.
68
Список літератури:
1. Березова О. А., Друшляк Г. Ю., Солодовников Р. В., Теоретична
|
механіка. – К.: ІЗМН, 1998. – 408 с. |
|
|
|
|||
2. Векерик В. І., |
Ільчишина Д. І., |
Левчук К.Г., |
Цідило І. В., |
||||
|
Шальда Л. М. Теоретична механіка: |
Навчальний посібник. – |
|||||
|
Івано-Франківськ: Факел, 2006. – 459 с. |
|
|
||||
3. |
Векерик В. І., |
Рижков Л. М., |
Левчук К.Г., |
Цідило І. В., |
|||
|
Лисканич М. В. |
|
Тестові завдання |
та короткі задачі |
з |
||
|
теоретичної механіки. Статика: Навч. посібник. – Івано- |
||||||
|
Франківськ: Факел, 2006. – 231 с. |
|
|
|
|||
4. |
Павловский М. А., |
Путята Т. В. |
Теоретическая |
механика. |
К.: |
||
|
Вища школа, 1985. |
|
|
|
|
||
5. |
Павловський М. А. |
Теоретична |
механіка: Підручник. |
К.: |
|||
|
Техніка, 2002. |
|
|
|
|
|
|
6.Путята Т. В., Фрадлін Б. Н. Методика розв’язування задач з теоретичної механіки. К.: Радянська школа, 1955.
7.Сборник коротких задач по теоретической механике// Под редакцией О. Э. Кепе. М.: Высшая школа, 1989.
8.Теоретична механіка: Збірник задач/ За редакцією М. А. Павловського.- К.: Техніка, 2007. – 400 с.: іл.
69