tmech_stat

Приклад 6. Однорідна прямокутна полиця вагою 100 Н утримується в горизонтальному положенні за допомогою сферичного шарніра A , завіси

D і невагомого мотузка CE , який утворює з вертикаллю BE кут 60 (рис. 6.2). Знайти реакції в’язей, якщо AB 1,2 м, AD 1 м.

Розв’язання. Розглянемо рівновагу полиці ABCD . Активною силою є вага полиці, яка прикладена у її геометричному центрі O . В’язі: сферич-

ний шарнір A , завіса D і мотузок CE . Реакцію сферичного шарніра RA

розкладаємо на три невідомі складові, напрямлені вздовж додатних напря-

мів осей координат. Реакція завіси RD лежить у площині, яка перпендику-

лярна до осі Ax завіси, оскільки завіса не чинить опору пересуванню вздовж її осі. Отже, розкладаємо RD на складові, паралельні осям Az і Ay :

ZD і YD .

Рисунок 6.2

Натяг T мотузка напрямлений вздовж CE . У задачі шість невідомих складових сил. Система сил просторова, тому можемо скласти шість рівнянь рівноваги:

51

Після розв’язання цієї системи рівнянь знаходимо:

T = mg = 100 Н; X A 503 Н; YA YD 603 Н; ZA 50 Н; ZD = 0;

RA = 144 H; RD = 60 3 H.

52

7. ПРОСТОРОВА СИСТЕМА СИЛ. ЗВЕДЕННЯ ДО НАЙПРОСТІШОГО ВИГЛЯДУ

Визначити головний вектор та головний момент системи сил, яка задається трьома силами, напрямленими вздовж ребер або діагоналей бічних сторін уявного куба з довжиною ребра, що дорівнює a (рис.7.1). Встановити, до якого найпростішого вигляду ця система сил зводиться. Дані потрібні для розв’язання задачі подано у таблиці 7.

Таблиця 7.

53

Рис.7.1,а

54

Рис.7.1,б

55

Рис.7.1,в

56

Рис.7.1,г

Приклад 7. Для заданої системи сил (рис.7.2), де P1 = 10 Н, P2 = 15 Н, P3 = 20 Н та а=0,5 м, визначити головний вектор та головний момент. З’ясувати, до якої найпростішої системи сил зводиться дана система сил.

Розв’язання. Розвяжемо задачу у наступній послідовності:

1. Вводимо прямокутну декартову систему координат Oxyz. Початок системи координат виберемо в точці О, додатні напрями осей позначено на рис. 7.2.

57

z

x

Рис.7.2

2. Визначаємо головний вектор даної системи сил F P1 P2 P3 за його проекціями:

Fx= − P2 cos α + P3; Fy= P1cos β + P2 sin α; Fz= P1sin β.

Оскільки кути α=β=45º, маємо: Fx= 9,39 Н, Fy= 17,68 Н, Fz= 7,07 Н.

Модуль головного вектора

F = Fx2 Fy2 Fz2 = 21,23 Н.

Напрямні косинуси:

cos ( F , Ox) = FFx =0,44; cos ( F , Oy) = FFy =0,83; cos ( F , Oz) = FFz =0,33.

3. Визначаємо головний момент даної системи сил відносно центра О:

Mx= − a∙P2 sin α;

My= − a∙P1 sin β − a∙P2 cos α; Mz= a∙P1 cos β + a∙P2 sin α − a∙P3.

Враховуючи, що α=β=45º, одержимо:

58

Mx= − 5,30 Н∙м, My= − 8,84 Н∙м, Mz= − 1,16 Н∙м.

Модуль головного момента відносно точки О

M = M x2 M y2 M z2 = 10,37 Н∙м.

Напрямні косинуси:

cos ( M , Ox) = MMx = − 0,51; cos ( M , Oy) = MMy = − 0,85; cos ( M , Oz) = MMz = − 0,11.

4. Визначимо другий статичний інваріант даної системи сил:

F MO = Fx M x Fy M y Fz M z = − 214,26 Н2∙м.

Оскільки другий статичний інваріант не дорівнює нулю, це дає підстави стверджувати, що дана система сил зводиться до силового гвинта (динами).

5. Визначимо рівняння центральної гвинтової осі.

Підставимо визначені числові значення проекцій головного вектора та головного момента:

− 0,56 − 0,51y + 1,88z = − 0,50 − 0,53z + 0,39x = − 0,16 − 0,25x + 1,33y.

Попарний розгляд цього співвідношення дозволяє отримати рівняння гвинтової осі як пряму, що є перетином двох площин:

x + 1,88y − 6,0z + 0,16 = 0; x − 0,46y − 0,18z − 0,12 = 0.

Визначимо координати точки перетину гвинтової осі та площини Oxy. Покладемо у останніх двох співвідношеннях z = 0. Одержимо:

59

x + 1,88y + 0,16 = 0; x − 0,46y − 0,12 = 0.

Тоді координати шуканої точки: x = 0,065, y = − 0,12.

60