Метода_МКЕ_укр

елементів.

i 1...5

Рис. 4.2. Схема обрахунку площ елементів

Визначимо параметри в рівнянні теплопровідності. При формуванні врахуємо, що розглядаються граничні умови першого роду. Тобто,

qi i Twi 0 .

Обраховуємо інтерполяційні поліноми й функціонали для кожного з n окремих елементів.

11

При обрахунку інтерполяційних поліномів і функціоналів використовуємо схему обрахунку (*), наведену вище. Для першого елементу отримуємо

У результаті, маємо сумарний функціонал

[i] 2(0.5 [2] 50)2 2 0.5 [2] [3] 50 2 2 [3] 2 0.5 [3] [2] 2 4 [5] [3] 2

i

4 0.5 [6] 0.5 [3] 2 2 100 0.5 [3] 0.5 [6] 2

Для пошуку мінімуму функціоналу, відповідно до рівняння (4.2), похідні

від сумарного функціоналу по кожній з функцій прирівнюємо нулю 0 .

[i]

Отримуємо систему чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма

12

5. ПРОГРАМНА РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

Як видно з попереднього прикладу, реалізація методу призводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь. І порядок системи рівнянь відповідає кількості вузлів у сітці. Тобто, збільшення дискретності області призводить до необхідності застосування обчислювальної техніки. Розглянемо процедури формування та програмного розв’язку систем рівнянь.

При розрахунку температурного поля обраховуються значення частинних похідних функції на кожному з елементів. Тобто, з функції (1.3) маємо

При розбитті на трикутники апроксимація функції має простий вигляд

Тобто, при апроксимації частинних похідних на простому трикутнику, матриця

Запишемо функціонал (4.1), що відповідає розв’язку поставленої двовимірної задачі теплопровідності за умови відсутності внутрішніх джерел тепла й граничних умов першого роду у вигляді

апроксимаціями g B . Якщо останній вираз підставити в (5.5), то функціонал (5.4) буде виражено через вузлові значення Ф. Для елементу e отримаємо

13

Вираз для функціонала області в цілому одержимо як суму функціоналів для всіх елементів

e 1

Таким чином, значення функціонала (5.7) залежить від вектора вузлових значень . Щоб знайти мінімум функціонала (5.7) компоненти вектора розглядаємо як незалежні змінні, знаходимо частинні похідні й прирівнюємо їх нулю

Сукупність похідних (5.8) дає систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження мінімуму функціонала. Оскільки інтегральний функціонал можна подати як суму складових по елементах, на які розбита область, вирази для частинних похідних у системі (5.8) формуються поступово, обраховуючи кожен з елементів за формулами

V (e)

Інтеграл в (5.10) визначає матрицю теплопровідності елемента. Якщо тріангуляційним елементом є простий трикутник, то матриця частинних похідних B(e) буде постійною на елементі, а добуток матриць можна винести за знак інтеграла

елемента.

Тобто, обчислення інтеграла полягає в знаходженні добутку матриць [B(e)]Т[D(e)][B(e)] і добутку кожної компоненти на площу елемента A .

Остаточну СЛАР методу скінченних елементів одержують після врахування вкладів всіх елементів, на які розбита область.

6. ФОРМУВАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Припустимо, що розв'язується задача теплопровідності умова якої представлена на рисунку 6.1. У даній задачі область розбита на 24 елементи та 20 вузлів. Для розв'язування задачі формується система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими значеннями температури у вузлах. Для формування СЛАР задаємо двовимірний масив A[1..20, 1..21] з 20-ти рядків і 21 стовпчика та заповнимо його нулями. При формуванні СЛАР для кожного елемента будується матриця теплопровідності відповідно до формулам,

14

наведених в попередньому розділі.

Наприклад, при формуванні СЛАР розглядається елемент сформований точками 5, 9, 10. Врахуємо внесок цього елемента в масив A[1..20, 1..21] (рис. 6.1).

Рис. 11. Тріангуляція прямокутної області

Виконавши обрахунок елемента одержимо матрицю теплопровідності елемента. Матриця теплопровідності пов'язана з нумерацією елемента так, як це показано нижче в (6.1)

Внесок даного елемента з точками 5, 9, 10 у підсумкову СЛАР враховується наступним чином

A[10,10] := A[10,10] + m33;

---------------------------------------

A[ 5,21] := A[ 5,21]; A[ 9,21] := A[ 9,21]; A[10,21] := A[10,21].

7. ПРИКЛАД ПРОГРАМНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ МЕТОДУ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

Розглядається двовимірна задача теплопровідності, представлена на рис. 2.1. Як встановлено раніше в розділі 4, у наведеному прикладі для першого елементу

15