- •3.Поняття частинних похідних функції n змінних. Теорема про незалежність змішаних похідних від порядку диференціювання.
- •4.Диференційованість функції n змінних. Теорема про похідну складної функції.
- •5.Повний диференціал функції n змінних. Теорема про інваріантність форми першого диференціала. Застосування диференціалу до наближених обчислень.
- •7.Локальні екстремуми функції 2-х змінних. Необхідна і достати а умови існування цих екстремумів (наслідок з формули Тейлора).
- •Частинні похідні. Повний диференціал
- •Формула Стокса (зв'язок між криволінійним інтегралом другого роду і поверхневим інтегралом).
- •Векторне поле: означення. Потік векторного поля через поверхню. Дївергенція векторного поля. Теорема Остроградського- Гауса в векторній формі.
- •Ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторній формі.
- •Потенціальне поле. Потенціал векторного поля, його знаходження.
Функція n змінних: Означення, область визначення, область значень, поверхні рівня. Границя функції в точці. Зв'язок границі функції в точці з повторними границями функції в точці. Зв'язок границі функції в точці з повторними границями функції в точці.
Неперервність функції n змінних в точці і замкненій області. Властивості неперервних в замкненій області функцій.
3.Поняття частинних похідних функції n змінних. Теорема про незалежність змішаних похідних від порядку диференціювання.
4.Диференційованість функції n змінних. Теорема про похідну складної функції.
5.Повний диференціал функції n змінних. Теорема про інваріантність форми першого диференціала. Застосування диференціалу до наближених обчислень.
6.Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт.
7.Локальні екстремуми функції 2-х змінних. Необхідна і достати а умови існування цих екстремумів (наслідок з формули Тейлора).
Локальный экстремум функции двух переменныхНеобходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
Если - точка экстремума функцииf, то
и или
Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции
Обозначим
Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.
Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.
Если D < 0, экстемума в точке нет.
Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.
8.Локальні екстремуми функції n змінних. Необхідна і достатна умови існування. Критерій Сільвестра знаковизначенності квадратичної форми (без доведення).
Критерій Сільвестра знаковизначеності квадратичної форми.
Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності:.
Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувались, при чому .
9.Умовний екстремум функції n змінних. Дослідження функції на існування умовного екстремуму.
10.Подвійний інтеграл:
Означення, властивості, теорема існування, обчислення, застосування.
Означення
Застосуванння подвійного інтеграла:
Площа плоскої пластинки, маса плоскої пластинки,статистичні моменти пластинки , координати центра мас,моменти інерції пластинки.
Подвійним інтегралом від функції по області D називається межа, до якого прагне n-я інтегральна сума (*) при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей
Теорема Існування
Якщо функція неперервна в області D, обмеженої замкнутою лінією, то її n-я інтегральна сума прагне до межі при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей. Ця межа, тобто подвійний інтеграл, не залежить від способу розбиття області D на часткові області і від вибору в них точок Pi
11.Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл в полярній системі координат.
12.Потрійний інтеграл:
Означення, властивості, умови існування, обчислення, застосування.
Застосування потрійного інтеграла: об*єм тіла, маса тіла, статистичні моменти тіла, координати центра мас, момент інерції.
13.Заміна змінної у потрійному інтегралі
14.Криволінійний інтеграл першого роду (по довжині дуги):
Означення, властивості, умови існування, обчислення, застосування.
Застосування криволінійного інтегралу: довжина дуги, маса розподілу вздовж кривої, статистичні моменти кривої, координати центра мас, моменти інерції.
15.Криволінійний інтеграл другого роду (по координатах):
Означення, властивості, умови існування, обчислення, застосування.
Застосування криволінійного інтегралу:робота, циркуляція площа.
16.Зв'язок між криволінійним інтегралом другого роду по замкнутому
контуру і подвійним інтегралом по області, яка обмежена цим контуром
(Формула Гріна).
Формула Грина |
|
Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедливаформула Грина где символ указывает, что кривая (контур)C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если , то формула Грина принимает вид где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемыйилии равный Формула Грина в векторной форме записывается в виде Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерног |
17.Теорема про незалежність криволінійного інтеграла від форми шляху
З’ясуємо, за яких умов існує незалежність криволінійного інтеграла від вибору шляху інтегрування.
Визначимо області, з якими будемо мати справу.
Означення. Область називається однозв’язною, якщо для довільного замкненого контурамножина, обмежена, цілком міститься в ( замкнена без точок самоперетину неперервна кусково-гладка крива).
Якщо область однозв’язна, то довільний замкнений контур можна неперервно стягнути в точку, не виходячи з.
На рис. 50 а показана однозв’язна область, а на рис. 50 б неоднозв’язна. Образно кажучи, однозв’язна областьце область без“дірок”.
Рис. 50 а Рис. 50 б
Теорема. Якщо в деякій замкненій однозв’язній області функціїівизначені і неперервні разом зі своїми частинними похіднимиі, то наступні чотири умови еквівалентні:
1) для довільних двох точок іобластікриволінійний інтеграл від заданих функцій не залежить від вибору шляху інтегрування, взятого в цій області;
2) криволінійний інтеграл по довільній замкненій кусково-гладкій кривій у даній області дорівнює нулю;
3) у даній області виконується умова
(77)
4) існує така функція , визначена в області, для якої виразє повним диференціалом, тобто
Доведення. Доведення реалізуємо за схемою: .
Доведемо, що . Нехай в області, обмеженій замкненим контуром, виконуються умови теореми і умова 1). Нехайі дві довільні криві, які належать області , сполучають точки і (рис. 51) і утворюють у сумі замкнену криву.
Рис. 51
Згідно з умовою
або
Оскільки , то
(78)
тобто умова 2) виконується.
Доведемо, що . Застосуємо теорему Гріна до лівої частини рівності (78). Маємо
Цей інтеграл дорівнює нулю тільки за умови
звідки одержуємо (77), тобто умова 3) виконується.
Доведемо, що . Для заданих у теоремі функційізнайдемо функціюяка задовольняє рівностіі умову 3), тобтоТоді
Оскільки , то і, а це відповідає теоремі про рівність мішаних похідних для неперервно диференційовної в областіфункції. Оскільки, то
,
тобто умова 4) виконується.
Доведемо, що . Якщо, аі початкова і кінцева точки довільної кривої ( ), то
18.Повний диференціал. Поповнення функції по її повному диференціалу