- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
Полученное в п. 6.2 выражение (6.2.10) является решением линейного уравнения теплопроводности с линейными граничными условиями, так как все теплофизические параметры задачи полагались постоянными. Это ограничение общности решения может быть снято программными методами [1].
При небольшой величине временного шага изменения температуры на-ом шаге будут невелики, в силу чего параметры задачи можно считать постоянными на этом временном элементе. Это тем более справедливо, если учесть, что температурная зависимость параметров довольно слабая – (через а обозначен теплофизический параметр) невелико. Однако постепенно изменения температуры будут накапливаться и на каком-то временнόм шаге значения параметров следуетперевычислить соответственно средней температуре элемента по заложенной в физическом каталоге процедуре:
(6.3.1)
Здесь под понимаются: коэффициент теплопроводности; объемная теплоемкость;.
Для установления момента времени, в который нужно производить перерасчет параметров, на каждом шаге , начиная с, достаточно сравнить среднеобъемную температуру элемента (см.(5.4.1)) с ее значением на первом временном отрезке:
. (6.3.2)
По задаваемой величине , например, ≈ 100К, можно теперь определить номерк-го временнόго шага, с которого нужно перевычислить по (6.3.1) параметры тех элементов e′, для которых условие оказалось выполненным. Для этих элементов находятся разности:
,
и в стандартизованных матрицах элементов e′коэффициентызаменяются на, что позволяет найти поправочные числовые матрицыи.Все найденные указанным способом поправочные матрицы заносятся по известной процедуре (см. п. 5.2) в глобальные матрицыи, что приводит к поправленным на температурную зависимость параметров матрицами. Относительно поправки объемной теплоемкости следует иметь в виду, что температурная зависимостьср и ρ носит противоположный характер: если ср растет с температурой, то ρ – падает, так что их произведение крайне слабо зависит от температуры. Поэтому поправлять матрицу теплоемкости на температурную зависимость едва ли целесообразно.
В отличие от глобальных матриц, глобальный вектор тепловой нагрузки формируется на каждом временнόм элементе, поскольку в общем случае:
и .
Поверхностная его часть определяется комплексным коэффициентом
,
который так же находится на каждом .
Таким образом, рекуррентное уравнение (6.2.10) с внесенными поправками на температурную зависимость параметров, по которому нужно проводить расчет температур на следующем–шаге, будет иметь вид [1]:
(6.3.3)
На последующих временных шагах температура "поправленных"
элементов сравнивается с их же температурой на шаге, а температура остальныхэлементов – с их температурой нашаге. Следовательно, неравенство (6.3.2) после-го шага расщепляется на два неравенства:
,
(6.3.4)
.
При выполнении любого из них процедура внесения поправок повторяется.