- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
6.2 Решение системы динамических уравнений
Задание граничных условий позволяет программно превратить
глобальные матрицы в числовые. В стационарном случае это означает, что
получена система R (по количеству узлов) алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами при неизвестных узловых значениях или, которая может быть разрешена с помощью стандартной программы (например, “GELG”, реализующей метод Гаусса).
В нестационарном случае получается система R обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с числовыми глобальными матрицами [1]:
, , (6.2.1)
с начальным условием, включенным в таблицу данных:
. (6.2.2)
Система уравнений (6.2.1) вместе с (6.2.2) представляет собой известную
Таблица 5
Временная циклограмма q(τ)
-
Время
(мин.)
Номер
элемента
Номер
поверхности
Величина
мощности (Вт)
0 ÷ 30
3
5
12
1
4
3
20
35
74
30 ÷ 60
3
7
14
2
1
6
51
40
62
задачу Коши. Для ее решения применим метод конечных элементов, для чего представим (см. рис. 6.1) временную ось совокупностьюотрезков (элементов), не обязательно одинаковой длины, хотя последнее и удобнее. Криваядает графическое изображение временной зависимости температуры не в отдельном глобальномr-ом узле, а всего вектора значений температуры в R глобальных узлах, т.е. – этовектор-столбец размером . Для отображения этого факта на рисунке применен жирный шрифт.
Используя версию МКЭ, аппроксимирующую функцию на -м временнόм элементе представим в виде:
, (6.2.3)
где – матричная строка базисныхвременных функций;
–вектор-столбец всей совокупности значений температу-
ры в -м и в -м узлах -го временнόго элемента.
В качестве базисных функций возьмем линейную модель, которая в естественной системе временных координат имеет вид:
, ,(6.2.4)
Применив метод Галеркина к дифференциальному уравнению (6.2.1), для -го временнόго элемента получим систему уравнений в интегральной форме:
. (6.2.5)
Рис. 6.1
Интегрирование этого выражения с помощью -координат приводит к системе алгебраических линейных уравнений:
Разрешим ее относительно {}:
.
Вводя обозначения:
, , (6.2.6)
последнее выражение запишем компактно:
. (6.2.7)
Уравнение (6.2.6) содержит две неизвестные – совокупности значений температур в-м и в -м узлах -го элемента. Для обеспечения непрерывности интерполяционной функции (6.2.3) в общем для соседних элементов узле должно выполняться условие:
. (6.2.8)
Подставляя (6.2.8) в (6.2.7) и опуская одинаковый для всех членов уравнения индекс , получимрекуррентное уравнение, позволяющее выразить координатные узловые значения температуры на -м временнόм шаге через совокупность их значений на предыдущем – -м шаге:
. (6.2.9)
Полученное уравнение (6.2.9) может быть решено относительно очевидно только в том случае, если известны. Именно это обусловливает обязательную последовательность данного процесса, – он должен начинаться с с последующим перебором значений . Эта процедура может быть охарактеризована какпсевдоитерационный процесс, в котором последующее значение вычисляется по найденному на предыдущем шаге. Отличие заключается в том, что значения в j-м узле находятся по значениям в i-м узле, а в итерационной процедуре значения искомой величины уточняются в одном и том же узле по найденному на предыдущем шаге в этом же узле.
На первом временнόм шаге в качестве будет фигурировать, очевидно, начальное – задаваемое – условие (6.2.2) в -м временном узле, что и позволяет найти по уравнению (6.2.9) значения температур в -м узле этого же – с – временного элемента:
. (6.2.10)
Определение по уравнению (6.2.10) и, тем самым, согласно (6.2.8) и значенийв-м узле второго временнόго элемента с , позволяет организовать последовательный процесс в соответствии с рекуррентным уравнением (6.2.9).
Таким образом, методом Галеркина система R дифференциальных уравнений решена и сведена к системе R алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами при неизвестных значениях температуры в R глобальных координатных узлах на каждом -м временнόм элементе.
Другие способы решения системы динамических уравнений (6.2.1) описаны в [2, 6] (решение методом конечных разностей).