Задание № 2

31. Показать, что из наличия низколежащих уровней 1+,T=1 в ядрах ¹⁶O и_

⁴⁰Ca следует, что в основном состоянии они не являются полностью

вырожденными. Предложить вид волновой функции основного состояния этих ядер.

Решение:

Имеется 2 возбуждённых состояния.Они могут наблюдатся только при переходах

внутри 1 подоболочки (p или d соответственно ) , так как чётность уровня в спектре P=+1.

1-ое состояние возникает при переходе

->

-> T=1

2-ое состояние возникает при переходе

->

-> T=1

32. Доказать, что энергия нуклонной системы минимальна при условии спаривания.

Какие значения могут принимать проекции моментов спаренных нуклонов.

Решение:

Так как остаточное взаимодействие при учете спаривания имеет вид функции

V_1,2 = -V₀(r₁-r₂) , т.е. взаимодействие возникает при перекрывании трех волновых функций. И наилучшее перекрывание при E =  ^–3/4 , где  - чет-чет,

 – нечет-чет,  - нечет-нечет

33. Дать примеры квантовых состояний с различными значениями квантового числа

s=”seniority”.

Решение:

S=0,1,2

32. Расчитать значение максимальной энергии нуклона и максимального импульса в модели Ферми – Газа.

(5.4)

где N –целое число- соответствует числу заполненных состояний в яме, причем из L>>

следует, что N>>1.

Максимальная энергия частицы в яме называется энергией Ферми

Приращение числа состояний в яме

Чтобы получить число возможных состояний нуклона в потенциальной яме, нужно учесть, две возможные проекции спина нуклона на ось и две проекции изоспина (т.е. протоны и нейтроны). Тогда число состояний должно равняться числу нуклонов А:

Объем ямы равен объему ядра

При этом получено, что

Нуклонная плотность ядер из этих опытов приближенно составляет

Проведя расчет импульса Ферми и учитывая значение константы конверсии, получим

Отсюда значение максимальной кинетической энергии частиц Ферми-газа составляет

33. Оценить среднюю кинитическую энергию нуклонов Ферми-газа

34. Оценить энергию Ферми и среднюю кинетическую энергию нейтронов в нейтронной звезде.

В модели Ферми-газа энергия постоянна.

35+34. Доказать связь характеристик фермиевского движения нейтронов с радиусом нейтронной звезды.

Рассчитаем радиус нейтронной звезды, используя условие энергетического равновесия: .

.

В ядре , тогда из (п3.2) следует:

В нейтронной звезде ; , .

Гравитационная энергия сжатия:

Итак получаем уравнение для определения радиуса:

.

Учитывая, что и , получаем величину радиуса нейтронной звезды: .

36. Определить минимальную глубину потенциальной ямы нуклон-нуклон-

ного взаимодействия из условия существования слабосвязанного состояния

нейтрон-протон (дейтрон) с орбитальным моментом 0.

37. Рождение и поглощение квантов коллективных колебаний в ядрах.

Решение:

Введем операторы рождения и поглощения кванта коллективных колебаний и учтем, что действие оператора рождения переводит систему из состояния с n квантами в состояние с n+1 квантом :

Второе равенство в означает ортонормированность ядерных состояний с данным числом квантов возбуждения. Учтем, что состояние с n+1 квантом может превратиться в состояние с n квантами n+1 способом, т.е.

Аналогичным образом получим

оператор числа квантов в системе имеет вид:

38. Фононный вакуум и состояния с несколькими фононами. Вывод формулы зависимости энергии коллективных колебаний от числа фононов.

Гамильтониан коллективных гармонических колебаний состоит из двух операторов в пространстве волновых функций ядра – операторов кинетической и потенциальной энергии колебаний:

Здесь приведен вид гамильтониана квадрупольных гармонических колебаний с мультипольностью 2 , суммирование проводится только по проекциям момента,т.е. от –2 до +2 через 1. В общем случае в гамильтониан входят члены всех возможных мультипольностей.

Операторы являются операторами обобщенной координаты квадрупольных колебаний и сопряженного этой координате обобщенного импульса. Они связаны известными из квантовой механики соотношениями:

Операторы обобщенной координаты и импульса можно представить в виде линейной комбинации операторов рождения и поглощения:

Подстановка (6.13) в гамильтониан коллективных квадрупольных колебаний приводит к следующему выражению:

Таким образом, решение у.Ш. с потенциалом (6.11) приводит к эквидистантному спектру энергий квадрупольных коллективных колебаний. Низший по энергии уровень, соответствующий фононному вакууму, имеет энергию, равную Расстояние между уровнями спектра коллективных колебаний равно где λ –мультипольность фононного возбуждения.