Introd_2

1

ВВЕДЕНИЕ

На кафедре математики Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники проведена большая работа по построению курса математики с единых позиций. Ключевым, объединяющим разделом, на основе которого можно построить целостное изложение математики, выбрана линейная алгебра. Чем обусловлен этот выбор?

Прежде всего, в этом разделе вводится понятие математической структуры и изучается важнейшая математическая структура — конечномерные линейные пространства. Определение линейного пространства будет дано во второй главе пособия. Введение призвано лишь подготовить читателя к его восприятию.

Математической структурой называют множество объектов произвольной природы, над элементами которого установлены некоторые операции, удовлетворяющие определенным правилам.

Поскольку данное определение весьма формализовано, приведём примеры математических структур, изучаемых в средней школе. Курсивом в этом абзаце будут выделены три составляющие математической структуры. В младших классах ученики знакомятся с множеством натуральных чисел ("множество объектов"). Натуральные числа характеризуют как числа, которые используют для счёта предметов. Над натуральными числами школьники учатся выполнять операции сложения и умножения ("некоторые операции"). Постепенно ученики усваивают свойства операций сложения и умножения натуральных чисел ("операции, удовлетворяющие определенным правилам"). Если a, b, c — натуральные числа, то:

•a + b = b + a — свойство коммутативности сложения (переместительный закон);

•a · b = b · a — свойство коммутативности умножения (переместительный закон);

•1 · a = a · 1 = a — умножение с числом 1:

•(a+b)+c = a+(b+c) — свойство ассоциативности сложения (сочетательный закон);

•(a·b) ·c = a·(b·c) — свойство ассоциативности умножения (сочетательный закон);

•(a+b)·c = a·c+b·c — свойство дистрибутивности умножения относительно сложения (распределительный закон).

Таким образом, уже младшие школьники занимаются изучением математической структуры, хотя они ещё слишком малы, чтобы осмыслить само понятие.

В младших классах также встречается понятие нулевого элемента, естественно, без его упоминания. Множество натуральных чисел дополняют числом 0 и указывают:

•a + 0 = 0 + a = a — свойство нуля при сложении;

•a · 0 = 0 · a = 0 — свойство нуля при умножении.

2

Постепенно школьники расширяют свои знания о числовых множествах. Дважды им встречается понятие противоположного элемента. При изучении обыкновенных дробей и арифметических действий с дробями определяют взаимно-обратные числа как два числа, произведение которых равно единице:

• a · a1 = 1, a ≠ 0.

После изучения понятия линейного пространства читатель сможет сказать: "этой формулой определили элемент, противоположный по умножению". Затем школьники начинают работать с положительными и отрицательными числами. Они говорят, что противоположные числа — это два числа, отличающиеся друг от друга только знаками:

• a + (−a) = 0.

Здесь читатель сможет сказать: "этой формулой определили элемент, противоположный по сложению".

Далее открывается возможность изучать множества целых и вещественных чисел. Множество целых чисел, как известно, содержит натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Множество действительных (вещественных) чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел. Напомним читателю, что рациональное число — это число, которое можно записать в виде отношения na , где a — целое, n — натуральное; иррациональные числа вводят

как непериодические десятичные дроби.

Параллельно с изучением числовых множеств всегда рассматривают арифметические операции над этими числами и их свойства. Заметим, что перечисленные выше свойства операций сложения и умножения натуральных чисел оказываются справедливыми и для действительных чисел. Так, постепенно, в школе происходит первое знакомство с математической структурой — одномерным линейным пространством, которое образует множество действительных чисел с введёнными над ними операциями сложения и умножения.

Второй причиной выбора линейной алгебры в качестве ключевого, объединяющего раздела курса математики служит обобщение понятия вектора и методов работы с векторами.

Как известно, в математике различают скалярные (числовые) и векторные величины. В курсе физики средней школы говорят, что векторные величины характеризуют числовым значением и направлением. В школьных учебниках по геометрии вводится понятие вектора — направленного отрезка на плоскости и в пространстве. Такие векторы в пособии мы будем называть геометрическими векторами. Для векторов — направленных отрезков определены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Введено понятие нуль-вектора, противоположно направленных векторов. Таким образом, при изучении геометрии, в школе построены ещё две математические структуры, которые являются двумерным линейным пространством (его элементы — направленные отрезки на плоскости) и трёхмерным линейным пространством (его элементы — направленные отрезки в пространстве).

3

Элементами линейных пространств, помимо действительных чисел, направленных отрезков на плоскости и в пространстве, могут быть и другие объекты: функции, матрицы, а также их частные виды — матрицы-строки и матрицыстолбцы. Таким образом, в линейной алгебре мы расширяем понятие вектора. Будем называть векторами элементы произвольной природы, образующие линейное пространство. Но какими бы ни были элементы линейных пространств, операции над ними и свойства операций остаются неизменными. В дальнейшем, операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число будем называть линейными операциями.

Векторы в пособии обозначены жирным шрифтом. Если в тексте встретилось a, то речь идёт о векторе (сравните с a — число (скалярная величина)). Также для обозначения векторной величины можно использовать черту: a. Это

удобно делать, когда записываешь формулы вручную. Геометрические векторы

−→

также обозначают с помощью стрелки, например AB, v.

Основным инструментом изучения конечномерных линейных пространств является теория матриц. Матрицей называется любая прямоугольная таблица чисел. Соответственно, матрица-строка — это строка чисел, матрица-столбец — столбец чисел. Как используют матрицы при работе с линейными пространствами? Чтобы это понять, обратимся к трёхмерному линейному пространству, элементами которого являются направленные отрезки (геометрические векторы).

Построим в пространстве правую декартову систему координат (изображена на рисунке слева), состоящую из трёх взаимно перпендикулярных осей OX, OY , OZ с заданными на них единичными векторами i, j и k, отложенными от точки O. Ось OZ называют осью аппликат, а оси OX и OY , как и на плоскости, называют осями абсцисс и ординат соответственно. Тройку i, j, k называют базисом пространства.

Z 6

В правой декартовой системе координат тройка векторов i, j, k образует правую связку. Термин "правая связка" означает, что векторы расположены в пространстве определённым образом. Если смотреть с конца вектора k на плоскость XOY , то поворот от вектора i к вектору j в плоскости XOY на угол, меньший π, происходит против часовой стрелки. На рисунке справа изображена проекция правой декартовой системы координат на плоскость XOY (вид сверху). Знак соответствует вектору k (оси OZ) и показывает, что вектор k направлен перпендикулярно плоскости рисунка на читателя, так что видно

6

дальнейшем называть скалярной функцией скалярного аргумента и обозначать f : X R → Y R.

Теперь мы будем изучать отображения одного линейного пространства в другое. Пусть даны два линейных пространства Rn и Rm, где n, m — натуральные числа. Соответствие (закон, правило), которое каждому вектору x из Rn сопоставляет некоторый вектор y из Rm, называется отображением линейного пространства Rn в линейное пространство Rm. Отображение называют также функцией, или оператором, обозначают обычно буквой f и записывают y = f(x) или f : X Rn → Y Rm. Обратим внимание, что аргумент и значение функции — это векторы. Если n ≠ 1 и m ≠ 1, то такое отображение будем называть векторной функцией векторного аргумента. Если же n = 1 и m = 1, то получим скалярную функцию скалярного аргумента.

Из множества векторных функций векторного аргумента в курсе линейной алгебры подробно изучают частный случай: функции y = f(x), которые обладают свойством линейности:

f(αx1 + βx2) = αf(x1) + βf(x2)

для любых векторов x1 Rn и x2 Rn и любых действительных чисел α и β. Такие функции принято называть линейными операторами. Линейный оператор особым образом действует на линейные операции в его аргументе, позволяя выносить их за знак линейного оператора. Во-первых, действие линейного оператора на сумму векторов равносильно сумме его действий на каждый вектор отдельно: f(x1 + x2) = = f(x1) + f(x2). Во-вторых, при умножении векторааргумента на действительное число, это число может быть вынесено за знак оператора: f(α · x1) = α · f(x1). В общем случае, для функций, которые не являются линейными операторами, такие преобразования невозможны.

Свойство линейности присуще многим явлениям нашей жизни, объектам природы и техники, поэтому часто встречается в теоретических и прикладных науках. Рассмотрим очень простой пример, который иллюстрирует принцип линейности. Пусть банк принимает вклады от населения на сумму до 100000 рублей под 7% годовых, а от 100000 рублей под 7,5% годовых. Если клиент банка располагает суммой 50000 руб., то, поместив всю сумму на один вклад или сделав два вклада по 25000 руб., он получит одинаковый доход (результат). Здесь налицо действие принципа линейности. Если же у клиента имеется сумма в 120000 руб., то два вклада по 60000 руб. принесут доходность, меньшую, чем один вклад в 120000 руб. В этом случае результат зависит от способа вложения средств и мы вступаем в область нелинейных закономерностей.

Примером применения принципа линейности в физике является принцип суперпозиции, который формулируется в различных разделах физики. В разделе динамики это принцип независимости действия сил: "Если на тело действует несколько сил, то каждая из них сообщает ему такое же ускорение, что и при отсутствии других сил". В разделе электростатики существует принцип наложения полей: "Напряжённость электрического поля системы зарядов в некоторой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности. Для вычисления напряжённости поля сложной системы зарядов эту систему зарядов необходимо представить как

7

совокупность точечных зарядов и находить искомую напряжённость как сумму напряжённостей поля точечных зарядов".

Среди скалярных функций скалярного аргумента есть одна линейная функция y(x) = kx, k = const, которая является линейным оператором. Чтобы убедиться в этом, подставим в качестве аргумента x выражение αx1 + βx2:

y(αx1 + βx2) = k(αx1 + βx2) = αkx1 + βkx2 = αy(x1) + βy(x2).

А вот функция y(x) = kx + b, если следовать определению, линейным оператором не является:

y(αx1+βx2) = k(αx1+βx2)+b = αkx1+βkx2+b = αkx1+αb−αb+βkx2+βb−βb+b =

= α(kx1 + b) − αb + β(kx2 + b) − βb + b = αy(x1) + βy(x2) + b(1 − α − β).

Очевидно, что при произвольных α и β

αy(x1) + βy(x2) + b(1 − α − β) ≠ αy(x1) + βy(x2).

Обратим внимание, что в средней школе линейной называли именно функцию y = kx + b. В этом случае термин "линейная" подчёркивает, что графиком функции y = kx+b является прямая. Приведённый пример разъясняет отличие

тором, то все выражения для координат линейны, т. е. имеют вид:

y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn,

. . .

ym = am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn,

где коэффициенты aik (i = 1, 2, . . . , m, k = 1, 2, . . . , n) являются вещественными числами. Таким образом, линейный оператор полностью определяется матри-

Поэтому при изучении линейных операторов широко применяется матричный аппарат.

Одним из важнейших является раздел линейной алгебры, посвящённый решению систем линейных уравнений. В этом случае также активно используют

8

матрицы. Матричная форма записи систем линейных уравнений позволяет в компактной форме исследовать систему и находить её решение. Продемонстрируем это на примере. Дана система:

Представим систему уравнений с помощью матрицы. Выпишем в первый столбец матрицы коэффициенты при x, во второй — при y, в третий — при z, в четвёртый — свободные члены. Каждая строка матрицы при этом будет представлять одно уравнение системы: первая строка — первое уравнение, вторая строка — второе уравнение, третья строка — третье уравнение.

Матрица C называется расширенной матрицей системы.

В средней школе при решении систем линейных уравнений с двумя неизвестными использовали способ подстановки и способ сложения. В курсе линейной алгебры решение систем уравнений происходит в процессе работы над расширенной матрицей системы. Решим записанную систему уравнений, рассматривая школьный способ подстановки параллельно с действиями над расширенной матрицей системы.

Видим, что действия по исключению неизвестного z равносильны тому, что в третьем столбце расширенной матрицы системы, соответствующем z, получены нули во второй и третьей строках. Единственным отличием в этих методах является то, как записано первое уравнение системы. В матрице оно осталось

9

неизменным, а в методе подстановки вместо первого уравнения можно записать выражение z через x и y. На следующем шаге решения будем писать первое уравнение системы одинаково в обоих методах. Это позволит яснее увидеть связь между системой уравнений и её расширенной матрицей.

Следовательно, действия по исключению неизвестного y равносильны тому, что во втором столбце расширенной матрицы системы, соответствующем y, получен нуль в третьей строке. При этом в третьем уравнении системы остаётся только неизвестное x. Далее процесс решения обоими методами не отличается. Из третьего уравнения системы получим x = 1. Подставляя x = 1 во второе уравнение, получаем y = 2. Теперь подставим x = 1 и y = 2 в первое уравнение и получим z = 3.

Рассмотрим решение этой же системы школьным способом сложения параллельно с действиями над расширенной матрицей системы.

10

Видим, что действия по исключению неизвестного x методом сложения равносильны тому, что в первом столбце расширенной матрицы системы, соответствующем x, получены нули во второй и третьей строках. Далее исключим неизвестное y.

Отметим, что полученная матрица полностью соответствует преобразованной системе. Далее из третьего уравнения системы получим z = 3. Подставляя z = 3 во второе уравнение, получаем y = 2. Теперь подставим z = 3 и y = 2 в первое уравнение и получим x = 1.

Приведённые примеры показывают, что преобразования, проводимые при решении систем уравнений, можно свести к действиям с расширенной матрицей системы. При этом решение становится компактным и универсальным. Сопоставляя оба метода решения, можно сказать, что действия с матрицей полностью соответствуют действиям с уравнениями системы. Единственное различие в том, что в матрице не пишут неизвестные, а только коэффициенты при них.

Обратим внимание на то, что подстановку неизвестных тоже можно проводить, не записывая уравнения явно, а выполняя действия над матрицей системы. Для этого элементы третьей строки матрицы поделим на (−2):

Третью строку полученной матрицы прибавим ко второй строке. Третью строку умножим на (−1) и прибавим к первой строке:

00 1 3

Вторую строку полученной матрицы умножим на 2 и прибавим к первой строке:

Легко находим x = 1, y = 2, z = 3. Мы нашли решение (1, 2, 3).

В процессе решения систем уравнений возникает одно из основных понятий линейной алгебры — понятие определителя. Чтобы показать, как это происходит, рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: