неопред-интеграл-stud

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задание 2.4. Вычислите интегралы

cos x dx; á)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

363.16 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Глава III Интегральное исчисление.

Введение.

Интегральное исчисление вторая часть математического анализа. Понятие интеграла, наряду с понятие производной, является фундаментальным понятием математического анализа.

Это понятие возникло, с одной стороны, из потребности решать задачи на вычисление площади фигуры, объема тела, работы переменной силы, нахождение центра тяжести фигуры или тела и т.д. с другой из необходимости восстанавливать функции по их производным. В соответствии с этим возникли понятия определенного и неопределенного интегралов.

Задача дифференциального исчисления: по известной функции найти ее производную. Поставим обратную задачу: по данной функции f(x) найти такую функцию F (x), что F 0(x) = f(x). Отыскание функции по ее производной является основной задачей интегрального исчисления.

1. Понятие неопределенного интеграла.

Функция F (x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a; b], если для любого x 2 [a; b] справедливо условие F 0(x) = f(x)

èëè dF (x) = f(x)dx.

Первообразная для функции определяется неоднозначно. Например, (x3)0 = 3x2, (x3 +1)0 = 3x2. Следовательно, функции x3 è x3 +1 являются

первообразными для функции 3x2.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если функция F (x) первообразная для f(x) на отрезке [a; b], то F (x) + C также первообразная для f(x) на [a; b].

Доказательство. По определению первообразной F 0(x) = f(x) для всех x 2 (a; b). Но тогда и (F (x) + C)0 = f(x) на [a; b]. Значит, F (x) + C также первообразная для

f(x) íà [a; b].

2. Если F (x) и G(x) две первообразные для функции f(x) на отрезке

[a; b], òî G(x) F (x) = C.

Доказательство. По определению первообразной F 0(x) = f(x) è G0(x) = f(x) на [a; b]. Тогда (G(x) F (x))0 = f(x) f(x) = 0. Значит, G(x) F (x) = C согласно условию постоянства функции.

3. Любые две первообразные функции f(x) на отрезке [a; b] связаны

соотношением G(x) = F (x) + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на отрезке [a; b]

называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом

отрезке Z

f(x)dx = F (x) + C: (1:1)

знак интеграла, f(x) подинтегральная функция, f(x)dx подин-

тегральное выражение.

Çíàê (вытянутая буква S), введенный Лейбницем1, происходит от

латинского слова "Summa" (сумма).

Нахождение первообразной (неопределенного интеграла) называется интегрированием. Так как интегрирование действие обратное дифференцированию, то проверку правильности вычисления интеграла осуществляют, вычисляя производную от найденной первообразной.

Возникает вопрос: какие функции имеют первообразную? Справедливо утверждение, если функция f(x) непрерывна на некотором проме-

1Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716) немецкий математик, физик, философ. Основной заслугой Лейбницa в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц дал определение дифференциала и интеграла, вывел правила дифференцирования, поиска экстремумов и точек перегиба, показал взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования, вывел правила дифференцирования трансцендентных функций, положившие начало интегрированию рациональных дробей. Лейбницу принадлежат термины "функция "переменная "постоянная "дифференциальное исчисление "дифференциальное уравнение "алгоритм". Лейбниц сделал немало открытий и в других областях математики: в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителей), в геометрии, в логике. Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления. В языкознании Лейбницу принадлежит теория происхождения языков. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России и проект учреждения Петербургской академии наук.

жутке, то для нее на этом промежутке первообразная существует . Это утверждение будет доказано позднее (в x 9).


	R		Свойства неопределенного интеграла.
1.		f(x)dx		0 = f(x);	d f(x)dx = f(x)dx;
2.			0(x)dx = F (x) + C;		R	R	( ) =			( ) +
3.	R (f(x) g(x))dx = f(x)					dF x			( )	F x C;
	F			R
	R				dx	R		g x dx;

4. af(x)dx = a f(x)dx;

Все свойства доказываются, исходя из определения неопределенного интеграла.

Таблица неопределенных интегралов.

1: R	1 dx = x + C;
2: R						x +1
	x		dx =				+ C;
						+ 1
3: R	åñëè				6= 1;
		dx
		x	= ln jxj + C;
4: R	sin xdx = cos x + C;
5: R	cos xdx = sin x + C;
6:		dx			= tg x + C;
		dx
7: R					= ctg x + C;
8: R		cos2 x
		axdx		= ax ln1a + C;
9: R		sin2 x
	exdx = ex + C;
R

arctg x + C

10: R

= ( arcctg x + C

;

1 + x2

11:

= (

arcsin x + C

arccos x + C

1 x2

R p

(

+ C

12:

a arctg a

a2 + x2

a1 arcctg xa + C

arcsin x + C

13:

= (

arccosax + C

p dx

= ln x + p

14:

15:

+ a

+ C;

16: R

sh xdx = ch x + C;

17: R

ch xdx = sh x + C:

;

+ C;

Для проверки формулы 3 рассмотрите случаи, когда x > 0 и x < 0.

Рассмотрим механический смысл неопределенного интеграла.

Пусть задан закон зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени v = v(t). Требуется найти величину пути, пройденного

телом за время t. Так как скорость тела v(t) = s0(t), то задача нахож-

дения пройденного пути сводится к задаче вычисления первообразной

s(t) = f(t)dt + C. Если считать, что при t = 0 путь s = 0, то можно

определить константу C.

Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла сводится к следующему. Соотношение y0 = f(x) показывает, что график первооб-

разной функции (интегральная кривая) это кривая, касательная к которой при любом значении x имеет направление, определяемое угловым коэффициентом y0 = f(x). Если одна интегральная кривая y = F (x) уже построена, то любая другая кривая, полученная параллельным переносом на вектор (0; C) также будет интегральной кривой. Следовательно,

уравнение семейства интегральных кривых имеет вид y = F (x) + C.

Для того чтобы выделить одну интегральную кривую, достаточно задать на ней точку (x0; y0). Тогда y0 = F (x0) + C èëè C = y0 F (x0), и уравнение искомой кривой имеет вид y = F (x) + (y0 F (x0)).

Нахождение первообразных не всегда просто. Доказано, что существуют достаточно простые элементарные функции, интегралы от которых в

элементарных функциях не выражаются. Например,

sin x

dx èíòå-

cos x

гральный синус,

dx интегральный косинус,

интеграль-

ный логарифм,

dx и другие. Доказательство

ln x

этих утверждений до-

статочно

сложно и выходит за рамки читаемого курса.

2. Методы интегрирования.

I. Непосредственное интегрирование выполняется тогда, когда интеграл при помощи алгебраических преобразований сводится к сумме табличных интегралов.

II. Внесение функции под знак фифференциала. Пусть x

g(x)dx подинтегральное					R	g(x)dx =
независимая переменная и					f(x)dx = F (x) + C. Пусть в интеграле
R( )	= (	)		выражение можно представить в виде		R	( )

f u du, ãäå u	u x		некоторая дифференцируемая функция и			f u du

подведением функции под знак дифферен-

является табличным. Тогда сложная функция F (u(x)) будет первообразной для подинтегральной функции.Так как g(x)dx = f(u(x))u0(x)dx = = f(u)du, òî (F (u(x)))0x = Fu0(u(x)) u0(x) = f0(u(x))u0(x) = g(x).

Таким образом,

Z	Z
g(x)dx =	f(u(x))u0(x)dx = (F (u(x)) + C:	(2:1)

Этот прием называется

циала.

Для овладения этим приемом нужно хорошее знание таблицы производных и умение применять ее в обе стороны, то есть в подинтегральном выражении находить функцию и ее производную.

Частный случай формулы подведения под знак дифференциала линейная зависимость аргумента.

Z f(ax + b)dx = a F (ax + b) + C;		(2:2)
	1
где F (x) первообразная для f(x) на заданном промежутке.
÷òî x = '(t), ãäå '(t)	R
III. Метод подстановки.	f(x)dx можно упростить, если считать

некоторая дифференцируемая функция. Тогда R f(x)dx = R f('(t))'0(t)dt и в правой части стоит табличный интеграл.

Для доказательства этой формулы найдем производные по t от правой и левой

частей равенства. Имеем

f(x)dx t0 =		f(x)dx x0 x0(t) = f(x) x0(t),
R f('(t))'0(t)R		t =	f	( ( )) 0(	) =	f	(	)	x	0( )
R	dt	0	f	' t ' t		f		x	x	t .
R				R	0
функции, а R				R
Выражения	f(x)dx и f('(t))' (t)dt являются первообразными для одной и той же

значит, неопределенные интегралы от этих функций совпадают. Итак,

Z	Z
f(x)dx =	f('(t))'0(t)dt:	(2:3)

IV. Интегрирование по частям. Пусть u(x) и v(x) две дифференцируемые функции. Тогда d(u x) = u dv+v du или u dv = d(u v) v du.

Следовательно,	Z	Z
	u dv = u v	v du:	(2:4)

Формула (2.4) называется формулой интегрирования по частям.

Пример 2.1. Вычислите интеграл R	x3	x2	+ 1 + p
				x
		2	x		dx.

Решение . Поделим почленно числитель на знаменатель и получим сумму таблич-

ных интегралов R

1 1

dx = R

dx 2 R xdx + R

+ R x

1=2

2x + x

dx =

=x3 x2 + ln x + 2px + C. 3

Пример 2.2. Вычислите интеграл

dx.

2x + 1

2x + 1 d(2x)

2(2x + 1)3=2 + C =

Решение .

2 + 1

= R

3 .

3p(2

+ 1) +

Пример 2.3.

Вычислите

интеграл

+ 4 dx

1=2

+ 4

(

+ 4)

Решение .

+ 4 dx =

d(x

+ 4) =

d(x

+ 4) =

(

4)3=2 +C =

C. (Сделали замену t

, тогда dt

= 3

x2dx

(

+R4) +

t1p=2dt =

1 2t3=2 + C =

x3 + 4

dx =

(x3

+ 4)3

+ C.)

sin x

Пример 2.4. Вычислите интеграл R

dx.

cos6 x

sin x

Решение .

dx =

cos

x d(cos x) =

5 cos

x + C. (Сделали замену

cos6 x

тогда

sin x

t 5

t = cos x

dt = sin xdx

R cos6 x

dx =

R t dt =

5 + C = 5 cos5 x + C

Пример 2.5. Вычислите интеграл

x dx.

Решение . Пусть

, тогда

. Имеем

x = sin t

dx = cos tdt

1 + cos 2t

1 x

dx =

cos

t dt =

dt =

dt +

cos 2t dt =

4 sin 2t + C =

arcsin x

1 x2

+ C. (Из формулы замены переменной x = sin t слeдует, что

t = arcsin x. Кроме того sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin tp

= 2xp

. )

1 sin2 t

1 x2

Пример 2.6. Вычислите интеграл R x ln x dx.

Решение . Этот интеграл будем брать по частям.

Пусть u = ln x, dv = xdx. Тогда du =

x , v =

xdx =

2 . Имеем

x ln xdx =

2 ln x

2x dx =

2 ln x

2 ln

4 +

Пример 2.7.

Вычислите интеграл R

(

a2 + x2

x 0

Решение .

= a

= a arctg a

+ C:

+ x

1 +

R 1 +

Пример 2.8. Вычислите интеграл R

(a > 0).

a2 x2

a2 + b2

Решение .

2 2

= arcsin a + C.

В этих примерах вывели формулы табличных интегралов 12 и 13. Пример 2.9. Вычислите интегралы R eax sin bx dx è R eax cos bx dx.

Решение . Эти интегралы циклические. Взяв интеграл дважды по частям, придем к уравнению относительно этого интеграла.

dv = e

dx.

du = b cos bx dx; v = ae

I = ae

sin bx a

cos bx dx

Обозначим

eax sin bx dx

= I. Интегрируем

ïî

частям. Пусть

sin bx;

Тогда

ax. Имеем

1 ax

Снова интегрируем по частям. Пусть u1 = cos bx; dv1 = eaxdx. Тогда du1 R= b sin bx dx;

axa

= b2a .

sin

a a

cos

+ a R

sin

èëè

1eax. Имеем

1eax

eax

bx dx

I = ae

sin bx

cos bx a2 I

Решая это уравнение относительно I, найдем интеграл.

+ b2

eax sin bx dx =

a sin bx

b cos bx

eax + C:

Аналогично выводится формула

eax cos bx dx = a cos bx + b sin bx eax + C:

dx.

Пример 2.10. Вычислите интеграл

x2 + a

Решение . Обозначим

. Интегрируем по частям. Пусть

+ a ;

+ a dx = I

u =

xRdx

dx = xp

x2 dx

dv = dx. Тогда du =

; v = x. Имеем

x2 + a

px2 + a

px2

+ a

(x2 + a

a) dx

= xpx2

= xpx2 + a

px2 + a

+ a

dx.

px2 + a

Таким образом,

I = x x + a I + a ln x + x + a .

Решая это уравнение относительно I,

найдем интеграл.

Z px2 + a dx =

+ C:

2 xpx2 + a + a ln x + px2 + a

Задания для самостоятельного решения

Задание 2.1.

Âû÷èслите интегралы

à) R

3xex

+ px

dx;

á) R

cos 2x

dx;

â) R

ctg

x dx.

sin2 x cos2 x

Задание 2.2. Вычислите интегралы

à) R p3x + 2 dx;

á) R e

dx;

â) R p4x 5 dx; ã) R

0; 5x + 3

Задание 2.3. Вычислите интегралы

à) R x

2 p

ln4 x

;

á)

; â)

;

ã)

+ 5 dx

x4 + 1 dx

Задание 2.5. Вычислите интегралы

à) R

sin x

á) R

cos x

dx;

â)

cos7 x

sin5 x

Задание 2.6.

Вычислите интегралы

sin3 x

x dx

;

á)

;

à) R sin x cos

cos x dx

Rx4+ x3 dx; x + 4

R sin42x dx; cos 2x

ã)

R 2x + x3 dx. p

x4 + 4

R tg3 x + 1 cos2 x dx.

â) R sin3 x cos4 x dx.

Задание 2.7. Вычислите интегралы

6x3 + 5x

à) R

x + 4

á) R

x 1

x + 3

dx;

4x + 3

dx; â)

x4 + 1

dx;

ã)

dx.

x2 + 1

1 x2

Задание 2.8.

à) R ln3 x + x2 x

Вычислите интегралы		dx;	â) R	p1 x2 .
dx; á) R 5	x2 + 1
	x + arctg3 x			(3x 2)dx

Задание 2.9. Вычислите интегралы

à)

(5x + 2)dx

;

á)

8xp

dx;

x3 dx

;

ã)

(x3

3)dx

2x + 5

â)

p2x 3

x2 + 1

x2 + 4

Задание 2.10. Вычислите интегралы

à) R x sin 2x dx;

á) R x2ex dx;

â) R ln(x2 + 1) dx;

ã) R x2 cos 2x dx.

Задание 2.11. Вычислите интегралы

à)R

ln x

n2 x

â) R x arctg x dx;

ã) R x

dx; á)

16p4lx5

dx;

ln(x + 3) dx.

Задание 2.12. Вычислите интегралы

à) R

4x)e

á) R

x+ln x

x 4 arccos 2x

dx;

â) R 3 + 1 4x2

dx.

Задание 2.13.

Вычислите интегралы

(x2 2x)dx

à)

(3x5 6x3

+ 5x)dx ;

á)

(x2 + 2x)dx

;

â)

x6 3x4 + 5x2 7

+ 3x2 + 1

3x2 + 1

Теорема 3.1.

3. Интегрирование рациональных функций.

Самый важный класс функций, интегралы от которых выражаются в элементарных функциях, это дробно-рациональные функции


f(x) =	P (x)	=	a0xm + a1xm 1 + : : : + am 1x + am				:	(3:1)

	Q(x)		b0xn + b1xn 1 + : : : + bn 1x + bn
Будем считать, что дробь				P (x)		P (x)
				Q(x)	правильная. Дробь Q(x)			называ-

åòñÿ правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (m < n). Если дробь неправильная, то разделив столбиком числитель на

знаменатель, выделим целую часть и правильную дробь. Интегрирование правильных дробей основано на следующей теореме.

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена, причем единственным способом, в виде суммы конечного

числа простых дробей следующих четырех типов: I. A B

x a; II. (x a)k ;

III.	Mx + N	;	IV.	Mx + N		x	2	+ px + q > 0 äëÿ âñåõ x 2 R
	x2 + px + q			(x2 + px + q)l , ãäå

(квадратный трехчлен не имеет действительных корней).

Из алгебры известно, что любой многочлен степени n > 2 единствен-

ным образом разлагается в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов с действительными коэффициентами, не имеющих действительных корней.

Q(x) = b0(x a1)k1 : : : (x as)ks (x2 + p1x + q1)l1 : : : (x2 + prx + qr)lr ,

ãäå k1 + : : : + ks

l1 : : : + lr

= n.

P (x)

Если x = a простой корень многочлена Q(x), то в разложении

Q(x)

на простые дроби ему соответствует одна простая дробь

x a

Если x = a корень кратности

k (k > 2) многочлена Q(x), то ему в

разложении соответствует сумма

k простых дробей

+ : : : +

x a

(x a)2

(x a)k .

Если множитель x

+ px + q в разложении Q(x) на множители имеет

первую степень, то ему соответствует одна дробь вида

Mx + N

x2 + px + q

Если множитель x2 + px + q

имеет степень l (l > 2), то ему соответ-

ствует сумма

M1x + N1

M2x + N2

+ : : : +

Mlx + Nl

+ px + q)

l .

+ px + q (x

Рассмотрим интегрирование простых дробей.

dx =

d(x a) = A ln jx aj + C.

x a

Adx

II.RÅñëè k = 1,

òî

a) dx =

= A

1 +C.

1 k (x a)

Mx + N

выделим в знаме-

III. Для вычисления интеграла

R x2 + px +pq

нателе полный квадрат

+ px + q

= x + 2

+ q

4 . Òàê êàê

> 0 (D дискриминант квадратного трехчлена), то

обозначим 4q p2

= a2

. Введем новую переменную

t = x + p

2. Тогда

+ N

dx =

dt =

dt +

dt =

px + q

2 2

+ a

2 2

t + a

M+

d(t2 + a2)

R M

ln(t

+ a ) +

t2 + a2

arctg

+ C.

Возвращаясь к переменной

x, получим

2x + p

dx =

ln(x

+ px + q) +

arctg

+ C.

+ px + q

4q p2

IV. Интеграл четвертого типа находится с использованием реккурент-

ных формул. Имеем

Mx + N

dx = M

2x + p

dx +

dxR (

+ px + q)

+M)

(

dx = 2

(x2 + px + q)l

1 l

(x2 + px + q)l 1

, где интеграл

x +

вычисляется по реккурентной формуле

2l 3

Il =

Il 1.

2(l 1)

(x2 + px + q)l

(2(l 1)

Таким образом, интеграл от рациональной функции есть элементарная функция, выраженная через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.201924.48 Кб0наука и техника.docx
#
11.05.20151.32 Mб31НГ лекции.pdf
#
18.11.2019283.65 Кб2НДС.doc
#
13.09.201926.81 Кб6немецкая классическая философия.docx
#
27.08.2019195.07 Кб8Немецкое наставление по борьбе с партизанами.doc
#
11.05.2015363.16 Кб7неопред-интеграл-stud.pdf
#
11.05.201598.82 Кб19Никифоров для ВКИЭМа.doc
#
11.05.2015882.12 Кб25НИРС, Карташев, лекции.pdf
#
11.05.20151.71 Mб9новая версия христ..doc
#
11.05.2015260.1 Кб20Ноосфера и основы ее развития.doc
#
28.09.2019502.78 Кб1Нравственная культура в системе ноосферного обр...doc