опред-интеграл-stud
.pdfГлава III Интегральное исчисление.
6. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
I. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью OX, с боков прямыми x = a, x = b, сверху кривой y = f(x).
Поставим задачу найти площадь этой трапеции.
Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xi < xi+1 < : : : < xn = b. Для каждого i = 0; n 1 рассмотрим отрезок [xi; xi+1]. Длины этих отрезков xi = xi+1 xi. На каждом отрезке выберем точку i 2 [xi; xi+1], проведем через эту точку перпендикуляр к оси OX до пересечения с графиком функции y = f(x). Длины перпендикуляров равны f( 1); f( 2); : : : ; f( n).
На каждом участке построим прямоугольник с основанием xi
сотой f( i). Получили ступенчатую фигуру.
y
6
f( i)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
a |
|
|
|
|
|
xi i xi+1 |
|
|
|
b |
x |
Площади прямоугольников равны Si = f( i) xi. Поэтому площадь
n 1
P
полученной ступенчатой фигуры равна n = f( i) xi.
i=0
Обозначим = maxf x1; x2; : : : ; xng. Будем увеличивать число точек деления отрезка (n ! 1) так, чтобы ! 0.
За величину площади трапеции S принимают предел площади ступен- чатой фигуры при ! 0.
|
|
n 1 |
|
S = lim n = lim |
Xi |
|
|
f( i) xi: |
(6:1) |
||
!0 |
!0 |
=0 |
|
Рассмотрим площади еще двух ступенчатых фигур sn (фигура, вписан-
1
ная в трапецию) и Sn (фигура, описанная около трапеции). Имеем
( |
|
i) = |
n 1 |
n 1 |
|
n 6 |
n 6 |
n |
|
|
P |
P |
|
||||||
sn |
= lim |
f(ci) xi, Sn = lim f(di) xi, ãäå |
f(ci) = |
min f(x), |
|||||
|
|
!0 i=0 |
!0 i=0 |
|
|
|
x2[xi;xi+1] |
||
f d |
|
max |
f(x). Тогда для данного разбиения |
s |
|
|
|
S . Кроме |
|
|
|
x2[xi;xi+1] |
sn ! n, Sn ! n è Sn sn ! 0. |
|
|
|
|
||
òîãî ïðè ! 0 |
|
|
|
|
II. Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный по оси OX на
отрезке [a; b]. Пусть (x) плотность стержня. Разобьем отрезок [a; b]
на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xi < xi+1 < : : : < xn = b. Äëÿ
каждого i = 0; n 1 рассмотрим отрезок [xi; xi+1]. Обозначим длину i-го отрезка xi = xi+1 xi. На каждом отрезке выберем точку i 2 [xi; xi+1], Будем считать, что на каждом из отрезков [xi; xi+1] плотность стержня постоянна и равна ( i). Масса i-того отрезка равна ( i) xi. Обозначим= maxf x1; x2; : : : ; xng. Будем увеличивать число точек деления
отрезка (n ! 1) так, чтобы ! 0. Тогда за массу стержня принимают
n 1
P
предел суммы n = f( i) xi ïðè ! 0:
i
=0 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
M = lim n = lim |
Xi |
|
|
f( i) xi: |
(6:2) |
||
!0 |
!0 |
=0 |
|
III. Пусть функция u = f(t) описывает изменение производительности труда с течением времени. Найдем объем продукции, произведенной за промежуток времени [0; T ].
Заметим, что если f(t) = const, то объем продукции u, произведенной за промежуток времени t вычисляется по формуле u = f(t) t, где (t 2 [t0; t0 + t]).
В общем случае приближенное равенство u = f( ) t ( 2 [t; t + t]) тем точнее, чем меньше t.
Разобьем отрезок [0; T ] на промежутки времени точками 0 = t0 < t1 < : : : < ti < ti+1 < : : : < tn = T . Объем продукции, произведенной за промежуток времени [ti; ti+1] равен приближенно ui = f( i) ti, ãäå
2
ti = ti+1 ti è i 2 [ti; ti+1]. Тогда
n 1 n 1
XX
u ui = |
f( i) ti: |
( ) |
i=0 |
i=0 |
|
Обозначим = maxf tig. Если ! 0, то равенство (*) становится все
i=1;n
более точным. Поэтому объем произведенной продукции
|
n 1 |
|
|
Xi |
|
u = lim |
f( i) ti: |
(6:3) |
!0 |
=0 |
|
IV. Пусть функция u = f(t) описывает постуаление денег в банк в момент времени t. Требуется определить количество денег D, поступивших в банк за промежуток времени [0; T ].
Если f(t) = c (c постоянная), то количество денег, поступивших в банк D = cT .
Пусть f(t) кусочно-непрерывная функция, определенная на отрезке
[0; T ].
Разобьем отрезок [0; T ] на промежутки времени точками 0 = t0 < t1 <
: : : < ti < ti+1 < : : : < tn = T . Количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [ti; ti+1] равно приближенно Di = f( i) ti, ãäåti = ti+1 ti è i 2 [ti; ti+1]. Тогда
n 1 n 1
XX
D |
Di = f( i) ti: |
( ) |
i=0 |
i=0 |
|
Обозначим = maxf tig. Если ! 0, то равенство (**) становится все
i=1;n
более точным. Поэтому количество денег, поступивших в банк
|
n 1 |
|
|
Xi |
|
D = lim |
f( i) ti: |
(6:4) |
!0 |
=0 |
|
Заметим, что выражения (6.1), (6.2), (6.3) и (6.4) имеют одинаковую структуру. И это не случайно.
3
7. Определение определенного интеграла.
Пусть f(x) произвольная функция, определенная на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xi < xi+1 < : : : < xn = b. Для каждого i = 0; n 1 рассмотрим отрезок [xi; xi+1]. Длины этих отрезков xi = xi+1 xi. На каждом отрезке вы- берем точку i 2 [xi; xi+1], вычислим значения функции в этих точках
f( 1); f( 2); : : : ; f( n) и составим сумму
n 1 |
|
Xi |
|
n = f( i) xi: |
(7:1) |
=0 |
|
n называется интегральной суммой.
Обозначим = maxf x1; x2; : : : ; xng. Будем увеличивать число точек деления отрезка (n ! 1) так, чтобы ! 0.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы n, если он не зависит от спосо-
ба разбиения отрезка и выбора точек, при единственном условии |
! |
||||||
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
b |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
( ) = !0 |
|
|
|
|
||
|
n |
!0 i=0 |
i |
i |
|
||
a |
f x dx lim |
|
X |
f( ) x : |
(7:2) |
||
|
|
= lim |
f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx подинтеграль-
ным выражением, x переменной интегрирования, a нижним пре-
делом, b верхним пределом интегрирования . Функция, для которой
определенный интеграл существует, называется интегрируемой. Рассмотрим еще две интегральные суммы sn è Sn
( |
n 1 |
i |
n 1 |
|
i)P |
P |
f(di) xi, |
||
sn = lim |
f(ci) xi, Sn = lim |
|
||
!0 i=0 |
!0 i=0 |
|
||
ãäå f c |
= |
min f(x), f(d ) = |
max f(x). |
|
|
|
x2[xi;xi+1] |
|
x2[xi;xi+1] |
Суммы sn è Sn называют нижней суммой Дарбу è верхней сум-
мой Дарбу соответственно. Очевидно, что для заданного разбиения
sn 6 n 6 Sn.
4
Интеграл, определенный выше, называют интегралом Римана1. Доказано, что для существования определенного интеграла необхо-
димо и достаточно, чтобы при ! 0 разность Sn sn ! 0. Тогда |
||
lim sn = lim n = lim Sn. |
||
!0 |
!0 |
!0 |
Заметим, что несмотря на сходство в названии, обозначении и терминологии неопределенный и определенный интегралы это различные понятия. Определенный интеграл это число, неопределенный интеграл это семейство функций.
Не для всякой функции на заданном интервале существует определенный интеграл. Функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], если выпол-
няется одно из условий: a) f(x) непрерывна на [a; b]; b) f(x) ограничена и кусочно-непрерывна на [a; b] (f(x) имеет на [a; b] конечное число то- чек разрыва первого рода); c) f(x) определена и монотонна на [a; b]. Из
этих условий следует, что любая интегрируемая на отрезке [a; b] функция
ограничена на этом отрезке.
Из определения определенного интеграла получаем его геометриче- ский смысл: определенный интеграл от положительной функции f(x) на
отрезке [a; b] площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу
осью OX, с боков прямыми x = a, x = b, сверху кривой y = f(x).
Физический смысл определенного интеграла: масса неоднородного стержня с плотностью (x), расположенного вдоль оси OX на отрезке [a; b].
Экономический смысл определенного интеграла: если функция u =
f(t) описывает изменение производительности труда за промежуток вре-
мени [0; T ], то интеграл от функции f(t) по заданному промежутку равен
объему продукции, произведенной за промежуток времени [0; T ].
|
b |
|
Из определения интеграла вытекает, что |
Ra |
1dx = b a. |
1Георг Фридрих Бернхард Риман (Georg-Friedrich-Bernhard Riemann) (1826-1866) немецкий математик, механик, физик. За свою короткую жизнь он преобразовал сразу несколько разделов математики. Исследования Римана относятся к теории функций комплексного переменного, геометрии, теории дифференциальных уравнений, математической и теоретической физике. Риман высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от тр¸хмерной евклидовой. Риман является создателем геометрического направления теории аналитических функций. Он вв¸л носящие его имя поверхности (римановы поверхности). Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и вв¸л сво¸ определение интеграла Римана, развил общую теорию тригонометрических рядов.
5
Задания для самостоятельного решения
Задание 7.1. Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислите
6 |
p |
|
|
4 |
|
3 |
|
a) R6 |
|
dx; |
á) R1 |
|
â) R1 |
|
|
36 x2 |
(2x + 2) dx; |
(11 2x) dx. |
8. Свойства определенного интеграла.
1) Интеграл не зависит от буквы, которой обозначается переменная
интегрирования;
a
R
2)f(x)dx = 0;
a |
|
b |
a |
RR
3)f(x)dx = f(x)dx, то есть при перестановке пределов интегри-
a |
b |
рования интеграл меняет знак (в самом деле, при перестановке пределов интегрирования приращения аргумента меняет знак x0 = x);
4) |
b |
|
|
b |
|
c |
fb |
|
b |
f(x)dx |
|
|
c 2 (a; b), òî Ra |
fb(x)dx = Ra |
(x)dx + Rc |
|
|||||||
|
åñëè |
|
= Ra |
f(x)dx + Ra |
|
|
|
; |
|||
5) |
Rab |
(f(x) + g(x)) b |
g(x)dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
RR
6) |
kf(x)dx = k f(x)dx; |
a |
a |
|
b |
R
7) åñëè a < b è f(x) > 0, òî f(x)dx > 0;
a
bb
RR
8) åñëè a < b è f(x) > g(x), òî f(x)dx > g(x)dx;
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
9) (формула оценки интеграла) если a < b, то ab f(x)dx |
6 ab |
jf(x)jdx; |
||||||||||
|
10) åñëè a < b è m |
6 |
f(x) |
6 |
M (функция f(xR) ограниченаR |
íà [a; b]), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11) åñëè m |
b |
|
|
M, то существует |
|
|
|
|
|
|||
|
Raf(x) |
|
|
|
[m; M] такое, что |
||||||||
òî m(b a) 6 |
f(x)dx |
6 M(b |
a); |
|
|
|
|
|
|||||
b |
6 |
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Ra |
f(x)dx = (b a); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
12) (первая формула о среднем значении ) если функция f(x) непре-
рывна на отрезке [a; b], то существует точка c 2 [a; b] такая, что
Za |
b |
|
f(x)dx = f(c)(b a); |
(8:1) |
Геометрический смысл формулы о среднем значении состоит в том, что существует точка c 2 [a; b] такая, что площадь прямоугольника с
основанием [a; b] и высотой f(c) равна площади криволинейной трапеции
с тем же основанием, ограниченной сверху графиком функции y = f(x).
1 |
b |
|
|
|
|
öèè f(x) на отрезке [a;Rb]. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то |
||
Величина f = b a |
a |
f(x)dx называется средним значением функ- |
èз первой формулы о среднем вытекает, что среднее значение функции f = f(c) для некоторой точки c 2 [a; b].
13) если m 6 f(x) 6 M, то существует 2 [m; M] такое, что
b |
14) (первая |
b |
R |
R |
|
|
f(x)g(x)dx = g(x)dx; |
|
a |
|
a |
обобщенная формула о среднем значении ) если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка c 2 [a; b] такая,
÷òî |
b |
|
b |
|
|
|
|
||
|
Za |
f(x)g(x)dx = f(c) Za |
g(x)dx; |
(8:2) |
15) (вторая формула о среднем значении или формула Боне ) если на отрезке [a; b] функция g(x) монотонна, функция f(x) интегрируема, то то существует точка c 2 [a; b] такая, что
|
b |
c |
b |
|
Za |
f(x)g(x)dx = g(a) Za |
f(x)dx + g(b) Zc |
f(x)dx; |
(8:3) |
16) если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то функция jf(x)jr, где r любое положительное число, также интегрируема на этом
отрезке.
7
17) (неравенство Минковского) если положительные функции f(x) и
g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], то для любого числа p > 1 справедливо неравенство
ab(f(x) + g(x))pdx!1=p 6 |
ab fp(x)dx!1=p + |
ab gp(x)dx!1=p ; |
||||
R18) (неравенство Гельдера)Rесли функции |
|
R |
è |
g(x) |
интегрируемы на |
|
|
|
f(x) |
|
|
отрезке [a; b], то для любых чисел p > 1 и q > 1, связанных соотношением
1 |
|
1 |
= 1 справедливо неравенство |
|
||
p |
+ q |
b jg(x)jqdx!1=q ; |
||||
|
b |
f(x)g(x)dx |
6 |
b jf(x)jpdx!1=p |
||
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
a |
19) |
если функцияa f(x) нечетная,aòî |
a |
f(x)dx = 0; |
||
|
|
|
|
a Ra |
a |
|
|
20) |
если функция f(x) четная, то |
Ra f(x)dx = 2 R0 |
f(x)dx. |
9. Интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a; x] [a; b]. Очевидно, что для раз-
личных значений x величина интеграла
x |
|
|
(x) = Za |
f(t)dt |
(9:1) |
будет различной. Введенную таким образом функцию (x) называют
интегралом с переменным верхним пределом .
y |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
a |
x x + x b |
x |
Геометрически, если f(x) > 0, функцию (x) можно рассматривать как площадь S(x) криволинейной трапеции, построенной на отрезке [a; x].
8
Если функция f(t) непрерывна на [a; b], то она непрерывна на любом
отрезке [a; x] [a; b], поэтому (x) существует для всех x 2 [a; b], причем
a
R
(a) = f(t)dt = 0.
a
Рассмотрим свойства функции (x).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то функция (x)
1. непрерывна на отрезке [a; b]; 2. дифференцируема в каждой точке
интервала (a; b), причем производная интеграла по верхнему пределу равна значению подинтегральной функции в точке дифференцирования,
òî åñòü |
0(x) = |
0 x f(t)dt10 |
= f(x): |
(9:2) |
|
|
|
Z |
A |
|
|
|
|
@a |
|
|
Доказательство. Пусть x и x + x 2 [a; b]. Найдем приращение (x): (x) =
|
x+x |
x |
x |
x+x |
|
x |
|
|
x+x |
|
|
|
R |
R |
R |
|
R |
R |
|
|
R |
|
|
(x+ x) (x) = |
a |
f(t)dt a f(t)dt = a f(t)dt+ |
x |
f(t)dt a f(t)dt = |
x |
f(t)dt. |
|||||
Применив вторую теорему о среднем, получим |
|
= f(c) x, c |
2 |
[x; x + x]. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
1. Докажем непрерывность функции. Вычислим |
lim (x) = |
lim f(c) x = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
x!0 |
|
|
(воспользовались ограниченностью непрерывной функции f(x) на [a; b]). По определению функция (x) непрерывна.
2. Из формулы (x) = f(c) x следует f(c) = |
(x) |
|
|
||||||||||
x |
. Тогда |
||||||||||||
0(x) = lim |
|
(x) |
= |
lim f(c) = f(x) (åñëè x |
! |
0, òî c |
! |
x). |
|||||
0 |
x |
|
|||||||||||
x |
! |
|
x |
! |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из доказанного утверждения получаем, что Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция имеет на этом отрезке первообразную.
10. Формула Ньютона Лейбница.
Вычисление определенных интегралов по определению достаточно сложно. Даже для простых функций эти вычисления приводят к длинным выкладкам и сложным доказательствам. Возникает задача найти простой и удобный способ вычисления определенного интеграла. Поворотным моментом в развитии интегрального исчисления явилось открытие связи между неопределенными и определенными интегралами.
9
Именно эта связь легла с основу метода вычисления определенных интегралов.
Теорема 10.1. (Ньютона-Лейбница.) Если функция f(x) непрерывна
на отрезке [a; b], функция F (x) ее первообразная на этом отрезке, |
|||||||
òî |
Za |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f(x)dx = F (b) F (a): |
|
(10:1) |
||||
[a; b]. По теореме о связи первообразных |
x |
|
(x) = F (x) + C. Òàê êàê (a) = |
||||
R |
|
||||||
Доказательство. 1 способ. Функция (x) = |
f(t)dt первообразная для f(x) на |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
[a; b] |
F (x) |
|
R2 способ. Пусть функция f(x) интегрируема |
R |
|
|||||
= a |
f(t)dt = F (a) + C = 0, то C = F (a). Тогда a |
f(x)dx = (b) = F (b) F (a): |
|||||
|
|
|
|
íà |
è |
|
ее первообразная. |
Разобьем отрезок [a; b] точками a = x0; : : : ; xi; xi+1; : : : ; xn = b на части. На каж-
дом отрезке [xi; xi+1] |
функция F (x) непрерывна, поэтому для нее выполнены усло- |
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iP |
||||
вия теоремы Лагранжа. Применив ее, получим F (b) F (a) = |
|
=0 F (xi+1) F (xi) = |
||||||||||||
= |
|
F 0( i) xi = |
f( i) xi. Последняя сумма есть интегральная сумма для функ- |
|||||||||||
|
Pf(x) |
|
|
|
|
P[a; b] |
|
|
|
f(x) |
|
|||
|
i=0 |
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
öèè |
|
на отрезке |
|
, которая в силу интегрируемости |
|
|
на этом отрезке при |
|||||||
! 0 стремится к интегралу. |
|
b |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
F b |
F a |
lim n 1 f x |
|
f x dx: |
|
|
|
|||||||
|
( ) ( ) = |
|
! |
0 |
iP |
( i) i = |
Ra |
|
|
|
||||
|
|
=0 |
( ) |
|
|
|
Формулу (10.1) называют формулой Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к вычислению первообразной (неопределенного интеграла). Для удобства вычислений договорились записывать вид первообразной явно, то
b |
b |
есть писать a |
f(x)dx = F (x) a = F (b) F (a): |
R |
|
|
|
11. Вычисление определенных интегралов.
I. Замена переменной.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a; b]. Рассмотрим
функцию x = '(t), удовлетворяющую следующим условиям:
10