2799-up_ch2

71

На рисунке 5.4 приведен график АЧХ фильтра-прототипа с параметрами:

граничная частота полосы пропускания п по уровню 0,707 составляет

п = 0,374 ;

верхняя частота, определенная по уровню 0,1, равна в = 2,655 ;

на частоте заграждения з , равной удвоенной граничной частоте

полосы пропускания 2 п , коэффициент передачи аналогового фильтра-прототипа равен K 2 п 0,437 , т.е. подавление составляет

7,2 дБ.

1

|K(Ω)| 0,707

Рисунок 5.4 – АЧХ аналогового фильтра-прототипа ФЧХ цепи определим следующим образом:

Фазочастотная характеристика АФП приведена на рисунке 5.5.

2

Рисунок 5.5 – ФЧХ аналогового фильтра-прототипа

5.3.3 Расчет и построение временных характеристик ЛЭЦ

Расчет переходной характеристики h(t) выполним по формуле

t

Рисунок 5.6 – Переходная характеристика фильтр-прототипа Расчет импульсной характеристики g(t) выполним по формуле

73

g t 5 e 0,38 t e 2,62 t , при t 0.

На рисунке 5.7 приведена нормированная импульсная характеристика фильтра-прототипа.

g t

Рисунок 5.7 – Импульсная характеристика фильтра-прототипа

Для проверки полученных результатов можно воспользоваться предельными соотношениями, связывающими передаточную функцию и переходную характеристику цепи.

lim K p lim h t 0,

p t 0

АЧХ анализируемого ФНЧ быстро затухает, следовательно, интегрирующие свойства цепи довольно высоки.

Необходимо обратить внимание на то, что ФЧХ цепи изменяется от 0о до -180о. Этот факт скажется на виде АЧХ синтезируемого цифрового фильтра методом инвариантности импульсных характеристик.

74

5.4Пример синтеза цифрового фильтра методом инвариантности импульсных характеристик

Необходимо ясно представлять себе, что получение цифрового фильтра с точной копией АЧХ аналогового фильтра-прототипа невозможно. Дело в том, что частотная характеристика синтезируемого цифрового фильтра является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации. Поэтому существует несколько методов синтеза ЦФ по заданному аналоговому фильтру-прототипу.

Метод инвариантности импульсных характеристик базируется на предположении о подобии импульсных характеристик фильтра-прототипа и цифрового фильтра, т.е. импульсная характеристика ЦФ представляет собой выборку из импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

Наиболее простым является тот случай, когда число отсчетов дискретизированной импульсной характеристики конечно. При этом реализуется трансверсальный ЦФ (КИХ-фильтр, т.е. фильтр с конечной импульсной характеристикой). При рассмотрении бесконечного числа отсчетов импульсной характеристики получается рекурсивный ЦФ (БИХфильтр, т.е. фильтр с бесконечной импульсной характеристикой).

5.4.1 Дискретизация импульсной характеристики ЛЭЦ

Для дискретизации импульсной характеристики g(t) необходимо непрерывный аргумент t заменить на дискретный – nTд. Затем пронормировать полученное выражение относительно Tд:

где в – частота, на которой коэффициент передачи аналогового фильтрапрототипа (рисунок 5.4) достигает уровня 0,1 от своего

величина, т.к. частотная ось проградуирована в долях ).

Рисунок 5.8 – Дискретизированная импульсная характеристика

5.4.2Расчет системных функций трансверсального и рекурсивного ЦФ

Системная функция трансверсального ЦФ представляет собой сумму следующего вида:

M

К z an z n ,

n 0

где an g nTд Tд .

Трансверсальный ЦФ имеет конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтр).

Для реализации КИХ-фильтра необходимо взять конечное число М нормированных отсчетов импульсной характеристики. Для определения порядка фильтра воспользуемся пороговым критерием. Коэффициенты аn

76

соответствуют значениям отсчетов импульсной характеристики, т.е. аn=gn и приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Коэффициенты аn трансверсального ЦФ пятого порядка

коэффициентов уменьшаются. Начиная с n = 6 значения коэффициентов не превышают уровня 0,1 от максимального. Поэтому порядок M трансверсального фильтра равен 5. Структура КИХ-фильтра приведена на рисунке 5.9.

Работа трансверсального ЦФ пятого порядка описывается алгоритмом yn 0,314xn1 0,214xn2 0,137xn3 0,088xn4 0,056xn5 .

Цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХфильтр) реализуется при учете в дискретной импульсной характеристике бесконечного числа слагаемых.

yn

Рисунок 5.9 – Структурная схема трансверсального цифрового фильтра

Сворачивая бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим системную функцию ЦФ канонического вида:

Трансверсальная часть ЦФ описывается числителем системной функции, а рекурсивная – знаменателем. Коэффициенты an и bn цифрового фильтра приведены в таблице 5.2

Таблица 5.2 – Коэффициенты an и bn рекурсивного ЦФ

Структура БИХ-фильтра приведена на рисунке 5.10.

a1 yn

Рисунок 5.10 – Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра

Работа рекурсивного БИХ-фильтра описывается алгоритмом

yn 0,314xn 1 0,683yn 1 0,029yn 2 .

5.4.3 Расчет АЧХ трансверсального и рекурсивного ЦФ

Чтобы от системной функции цифрового фильтра перейти к его амплитудно-частотной характеристике, достаточно в K z сделать замену следующего вида:

78

z e j Tд .

На рисунке 5.11 приведена АЧХ трансверсального цифрового фильтра пятого порядка с параметрами:

1,2

1

0,8

K

0,6

0,4

0,2

Рисунок 5.11 – АЧХ трансверсального цифрового фильтра

На рисунке 5.12 приведена АЧХ рекурсивного цифрового фильтра с параметрами:

д 5,31 ; п 0,383 ; д п 13,9 .

1,2

1

K 0,8

0,6

0,4

0,2

Рисунок 5.12 – АЧХ рекурсивного цифрового фильтра

79

На рисунках 5.11 и 5.12 пунктиром изображены АЧХ аналогового фильтра-прототипа, частота среза которого по уровню 3 дБ составляет

п 0,374 .

Периодичность АЧХ ЦФ стала результатом дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа и представляет собой наложенный вариант частотной характеристики аналогового фильтра. Если шаг дискретизации достаточно мал, то эффект наложения минимален. На рисунках 5.11 и 5.12 в точке в описанный выше эффект проявляется в двукратном увеличении коэффициента передачи относительно исходного. В точках = n д, где n = 0, 1, 2, … эффект наложения также присутствует. Однако в результате того, что комплексные коэффициенты передачи, складываемые в этих точках, находятся в разных четвертях комплексной плоскости, эффект проявляется в уменьшении коэффициента передачи относительно исходного.

Пульсации АЧХ трансверсального фильтра объясняются ограничением импульсной характеристики во времени (конечным числом отсчетов gn).

АЧХ рекурсивного фильтра, полученного методом инвариантности импульсных характеристик, более точно повторяет частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа. Однако рекурсивный фильтр необходимо проверять на устойчивость.

5.5Пример синтеза ЦФ методом билинейного Z- преобразования по заданной ЛЭЦ

5.5.1 Расчет системной функции цифрового фильтра

Данный метод позволяет с помощью билинейной замены (5.2) установить однозначное непрерывное отображение из р-плоскости в z- плоскость.

Эта связь имеет следующий вид:

При такой подстановке изменится масштаб АЧХ ЦФ. В области малых частот АЧХ ЦФ и аналогового фильтра-прототипа практически совпадают. При в происходит сжатие АЧХ аналогового фильтра-прототипа по закону (5.3):

Используя билинейную замену, преобразуем передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа следующим образом:

Параметр Тд определим точно так же, как в п. 5.3.2:

Тд ,в

где в – частота, на которой коэффициент передачи аналогового фильтрапрототипа достигает уровня 0,1 от своего максимального значения.

Трансверсальная часть ЦФ описывается числителем системной функции, а рекурсивная – знаменателем.

Таблица 5.3 – Коэффициенты an и bn рекурсивного ЦФ канонического вида