Лекции НГ 2

18

5. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ

5.1. Проекции отрезка прямой линии

Известно, что две точки определяют прямую. Следовательно, чтобы изобразить прямую на чертеже, необходимо иметь проекции определяющих её точек.

Существует свойство параллельного проецирования: прямая линия проецируется в виде прямой (кроме того случая, когда направление прямой совпадает с направлением проецирования, тогда проекцией прямой на плоскости проекций является точка).

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А (a', a ) и В (b', b ). Соединим фронтальные проекции а' и b', а также горизонтальные проекции а и b прямыми линиями (рис. 5.1), получаем проекции отрезка АВ: фронтальную а' b' и горизонтальную а b.

5.2. Частные случаи расположения прямой линии относительно плоскостей проекций

В пространстве различают следующие положения прямой:

1) Прямую, не параллельную не одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

2) Прямую, параллельную одной или двум плоскостям проекций, – прямой частного положения.

Всего существует 12 случаев частного положения прямых:

1) 3 случая: прямая параллельная одной из 3 плоскостей проекций;

2) 3 случая: прямая перпендикулярна одной из 3 плоскостей проекций;

3) 3 случая: прямая принадлежит одной из 3 плоскостей проекций;

4) 3 случая: прямая совпадает с одной из 3 осей координат;

5.2.1. Прямая параллельна одной плоскости проекций.

Прямые линии, параллельные плоскостям проекций, называют соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной прямыми. Их также называют линиями уровня.

5.2.2. Прямая параллельна двум плоскостям проекций.

Е сли прямая параллельна двум плоскостям проекций, то она перпендикулярна третьей плоскости проекций и проецируется на эту плоскость в точку, а на две другие плоскости проекций в отрезки, равные самому отрезку. Такие прямые называют проецирующими прямыми. прямой.

Прямые перпендикулярные Н – горизонтально-проецирующие и т.д.

5.3. Точка на прямой. Следы прямой

Существует свойство параллельного проецирования: если точка принадлежит линии, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям этой линии.

На рис. 5.4 дан чертеж некоторой прямой общего положения АВ (a' b', ab ). Если известно, что точка С принадлежит этой прямой и что горизонтальная проекция этой точки находится в точке с , то фронтальная проекция с' определится так, как показано на рис. 5.4.

Из множества точек, принадлежащих некоторой прямой, можно выделить следы прямой. Следами прямой называют точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций. Точку пересечения прямой линии с горизонтальной плоскостью проекций называют горизонтальным следом. Точку пересечения прямой линии с фронтальной плоскостью проекцией V называют фронтальным следом. На рис. 5.6 показана пространственная модель построения следов отрезка АВ (a' b', ab ) прямой линии. Здесь прямая пересекает горизонтальную плоскость проекций Н в точке М (m', m ) и фронтальную плоскость проекций в точке N (n', n ).

Г оризонтальный след (точка М) имеет здесь и горизонтальную проекцию m, т.е. М m

( - знак совпадения ); а так как координата z точки М равна нулю, то фронтальная проекция m' будет на оси проекций x.

Фронтальный след ( N ) и его фронтальная проекция совпадают , т.е. N n' ; горизонтальная проекция n будет на оси проекций x. Координата y точки N равна нулю.

На рис. 5.7 показано построение следов отрезка АВ на чертеже. Чтобы построить проекции точки М - горизонтального следа, нужно продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью х, получится точка m', через точку m' провести перпендикуляр к оси x до пересечения с продолжением горизонтальной проекции ab. Точка m - горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с самим следом.

Для построения проекций точки N - фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию отрезка до пересечения с осью x; получится горизонтальная проекция фронтального следа - точка n; через точку n проводим перпендикуляр к оси x до пересечения с продолжением фронтальной проекции отрезка. Точка n' - фронтальная проекция фронтального следа. Она совпадает с самим следом.

Любая прямая общего положения пересекает три плоскости проекций, т.е. имеет фронтальный, горизонтальный и профильный следы.

Дом.задание: Проецирование прямых углов

5.4. Взаимное положение двух прямых

Прямые линии в пространстве могут занимать различные положения: они могут быть взаимно параллельны, пересекаться и быть скрещивающимися.

5.4.1 Параллельные прямые.

Согласно свойству параллельного проецирования одноименные проекции двух параллельных прямых линий параллельны, находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков и являются проекциями одного направления. Т.е. проекции прямых параллельны между собой или совпадают. Для определения по проекциям прямых их взаимного положения в пространстве для прямых общего положения достаточно двух проекций этих прямых.

5.4.2. Пересекающиеся прямые.

Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися. На чертеже (рис. 5.12) прямые a' b', ab и c'd ', cd пересекаются в точке k, k '.

С огласно свойству параллельного проецирования одноименные проекции этих прямых пересекаются и точки их пересечения являются проекциям одной точки пространства, т.е. принадлежат одной линии связи (рис. 5.12). Угол между пересекающимися прямыми общего положения не проецируется в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций.

5.4.3. Скрещивающиеся прямые.

Прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

На рис. 5.15 показан пример двух скрещивающихся прямых ab, a' b' и cd, c' d '.

Проекции двух скрещивающихся прямых могут пересекаться, но точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи, т.е. каждая из точек пересечения проекций прямых является проекцией двух точек пространства, они лежат на одном проецирующем луче. Такие точки называются конкурирующими.

Точки E (е', е ) и F (f ', f ) (рис. 5.15) лежат на одном проецирующем луче по отношению к плоскости V ; они одинаково удалены от плоскости H, т.е. координаты z этих точек одинаковы, а по координатам y этих точек можно определить, что точка F ближе к наблюдателю, чем точка Е.

Точки K (k', k ) и Q (q', q ) (рис. 5.15) лежат на одном проецирующем луче по отношению к плоскости H.

У этих точек одинаковые координаты y, а координата z точки K больше координаты z точки Q , значит, точка K "закрывает" точку Q , т.е. точка K ближе к наблюдателю, чем точка Q.

У Козловой Л.А.

1.7. Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные положения:

• пересекаться, т.е. иметь одну общую точку:

• быть параллельными, если точка их пересечения удалена в бесконечность;

• скрещиваться, т.е. не иметь общих точек.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку K, которая лежит на перпендикуляре к оси их разделяющей (рис.1.9, рис.1.10). Проекции их пересекаются, причем проекции k и k точки пересечения лежат на одном перпендикуляре к оси их разделяющей.

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Параллельные прямые. Одноименные проекции таких прямых параллельны между собой (рис.1.11, рис. 1.12). Тогда, если две проекции прямых общего положения параллельны, то прямые а пространстве параллельны. Если же прямые параллельны какой-либо плоскости проекций, то об их параллельности можно судить по проекциям на той плоскости, которой они параллельны.

Рис.1.11 Рис.1.12

Скрещивающиеся прямые. Если прямые в пространстве не пересекаются, а скрещиваются (рис.1.13, рис.1.14), то на чертеже их одноименные проекции могут и пересекаться, но точки пересечения проекций не лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси, их разделяющей.

Рис.1.13 рис.1.14

Сравнивая положение таких точек 1,2,3,4 (они называются конкурирующими), определяют, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе к наблюдателю.

1.8. Проецирование плоских углов

Любой линейный угол образуется двумя пересекающимися прямыми. На плоскости проекций он проецируется в общем случае с искажением, но если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения, т.е. в истинную величину.

Однако, прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна (рис.1.15)

Рис. 1.15

Сторона ED прямого угла KED параллельна плоскости H, сторона EK ей не перпендикулярна. Через прямую EK проведена плоскость Q, перпендикулярная плоскости H. Прямая ED перпендикулярна плоскости Q, так как угол KED прямой. Тогда (это видно по изображению), как бы не располагалась сторона EK (EK ₁) угол ked всегда будет прямым.