- •2. Комбинаторика. Основы теории групп
- •2.1. Комбинаторика
- •2.1.1. Задачи комбинаторики
- •2.1.2. Типы выборок
- •2.1.3. Основные правила комбинаторики
- •2.1.4. Размещения с повторениями
- •2.1.5. Размещения без повторений
- •2.1.6. Перестановки без повторений
- •2.1.7. Перестановки с повторениями
- •2.1.8. Сочетания
- •2.1.9. Сочетания с повторениями
- •1.5.10. Решение задач 2,3 контрольной работы № 2
- •2.1.11. Бином Ньютона
- •2.1.12. Свойства биномиальных коэффициентов
- •2.1.13. Приближенные вычисления с помощью бинома Ньютона
- •2.1.14. Контрольные вопросы и упражнения
- •2.2. Группы подстановок
- •2.2.1. Понятие группы
- •2.2.2. Группа подстановок
- •2.2.3. Изоморфизм групп
- •2.2.4. Самосовмещения фигур
- •2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения
2.2.4. Самосовмещения фигур
Обширный и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы “самосовмещений” геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.
Мы уже познакомились с одной из простейших групп самосовмещений, а именно с группой поворотов правильного треугольника на плоскости и показали, что она изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок . Аналогичным образом можно построить группы самосовмещений других геометрических фигур и показать их изоморфизм с подгруппой группы.
Задача. Построить группу симметрий квадрата.
Решение. Занумеруем вершины квадрата и оси симметрий (рис. 2.4). Обозначим O – центр симметрии квадрата.
В группу самосовмещений войдет тождественное перемещение – поворот вокруг точки O на 0; повороты вокруг этой точки на 90, на 180 и на 270; повороты относительно четырех осей симметрии. Итого, получаем восемь элементов группы симметрий.
Тождественное перемещение описывает тождественная подстановка . Вращения на 90, на 180 и на 270 - подстановки ,исоответственно.
Поворот относительно оси I описывает подстановка ; относительно осиII – подстановка ; осиIII - ; осиIV - .
Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений квадрата:
S8 =
.
2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения
1. Что такое группа?
2. Дано множество . Проверить, является ли данное мно-жество группой относительно операции умножения.
3. Что такое подгруппа?
4. Привести пример подстановки, которая является полным циклом.
5. Объяснить процедуру разложения подстановки в произведение независимых циклов.
6. Чему равен порядок подстановки ?
7. Какие группы называются изоморфными?
8. Приведите примеры самосовмещений геометрических фигур.