51

++1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. Множества и операции над ними

1.1.1. Понятие множества

Теория множеств опирается на три первичных понятия:

1) множество;

2) элемент;

3) принадлежность.

Строгого определения этим понятиям не дается, описывается только их применение. Для этих понятий используются обозначения: “”- элементапринадлежит множествуА; “”элементсне принадлежит множествуА.

Говоря о некотором множестве, мы требуем его:

1) целостности, т.е. возможности рассматривать его как отдельный объект;

2) различимости его элементов;

3) неупорядоченности элементов.

Поэтому записи иопределяют одно и то же множество.

1.1.2. Способы задания множеств

Множество можно задать, перечислив все его элементы: , . Порядок записи элементов множества произволен. Часто задают множество, указав его характеристическое свойство, которое для каждого элемента позволяет выяснить, принадлежит он множеству или нет.

Например,

– целый корень уравнения,

– целое}.

В дальнейшем для известных числовых множеств будут использоваться обозначения:

 = { 1,2,3,…} – множество натуральных чисел;

Z = { …, -2,-1,0,1,2,…} – множество целых чисел;

Q– множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

1.1.3. Основные определения

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента, т.е. для любого элементаxвыполняется .

Универсальным называется множествоUвсех элементов, рассматриваемых в данной задаче.

Пример.ПустьU=Zи требуется найти все решения уравнения . МножествоМрешений этой задачи есть пустое множество:М= .

Пусть теперь U=R. Тогда множествоМрешений уравненияне пусто:М = .

Будем говорить, что множество Авключается во множествоВ , если каждый элемент множестваАявляется элементом множестваВ( говорят также, чтоАявляется подмножеством множестваВ). Из определения включения следуют свойства:

1. для любого множестваА;

2. Если и , то;

3.  для любого множестваА;

4. Uдля любого множестваА.

Подмножество называется собственным подмножеством множестваВ(- строгое включение), еслиАне пусто и не совпадает сВ. Например, имеют место строгие включения:NZQR.

Определим понятие равенства множеств:А=В тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения и, т.е. каждый элемент множестваАявляется элементом множестваВи каждый элемент множестваВявляется элементом множестваА:

Свойства равенства множеств:

1) для любого АсправедливоА=A;

2) если А=В, то иВ=A;

3) если А=ВиВ=C, тоA=C.

1.1.4. Диаграммы Эйлера – Венна

Эти диаграммы применяются для наглядного изображения множеств и их взаимного расположения.

U

A B

Рис. 1.1 Диаграмма Эйлера-Венна

Универсальное множество Uизображается в виде прямоугольника, а произвольные множества – подмножества универсального – в виде кругов (рис. 1.1).

При этом возможны следующие случаи взаимного расположения двух множеств А иВ:

1) одно из множеств строго включается в другое (или);

2) множества равны;

3) множества не имеют общих элементов;

4) множества находятся в общем положении, т.е. не подходит ни один из вышеперечисленных случаев, и множества расположены как на рис. 1.1.