3.1. Числа с фиксированной точкой

Форма записи числа с фиксированной точкой использовалась в основном на ранних этапах развития вычислительной техники. Запись числа с фиксированной точкой обычно имеет знаковый и цифровой разряды. Фиксированная точка означает, что на этапе конструирования ЭВМ было определено, сколько и какие разряды машинного слова отведены под изображение целой и дробной частей числа. Запятая в разрядной сетке может быть зафиксирована, в принципе, после любого разряда.

Пример. Ячейка с целой и дробной частью.

Как частный случай числа с фиксированной точкой может быть рассмотрена запись целого числа (в этом случае все разряды, кроме знакового, используются для записи целой части).

Пример. Ячейка с записью целого числа.

К достоинствам использования чисел с фиксированной точкой относятся простота выполнения арифметических операций и высокая точность изображения чисел. К недостаткам - небольшой диапазон представления чисел.

3.2 Числа с плавающей точкой

Для представления чисел с плавающей точкой (ЧПТ) используется полулогарифмическая форма записи числа:

 N = ± mq ^{± p}

где q- основание системы счисления, p - порядок числа, m - мантисса числа N.

Положение точки определяется значением порядка p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо. Пример.

 125₁₀=12.5*10¹=1.25*10²=0.125*10³=0.0125*10⁴=...

Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q ≤ | m | < 1. Таким образом в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

Пример.

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка: а) представление чисел в формате полуслова

б) представление чисел в формате слова

Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда). Пример. Число А=-3.5₁₀=-11.1₂=-0.111·10¹⁰

Максимальным числом представимым в формате слова будет A=(0.1111...1·10^1111111)₂(1·2¹²⁷)₁₀.

Таким образом, числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой. При записи числа в формате слова диапазон представимых чисел будет от -1·2¹²⁷ до 1·2¹²⁷ (2¹²⁷10³⁸), а точность определяться мантиссой, состоящей из 23 разрядов. Точность может быть повышена путем увеличения количества разрядов мантиссы. Это реализуется путем представления чисел с так называемой двойной точностью (используется формат двойного слова):

 

3.3. Особенности нормальной формы в ес эвм

Особенностями нормальной формы в ЕС ЭВМ яв­ляются следующие:

1. Смещение числовой оси порядков в область по­ложительных значений для облегчения действий над порядками, не имеющими знака. Обычно 7 разрядов (схема 8) отводится под значение порядка и его знак.

Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне -2⁶ <= Р <= 2⁶-1 или -64 < =Р <= 63 (Р -порядок числа).

Смещенный порядок (называемый характеристи­кой) определяется его смещением на +2⁶ == 64₁₀ =40₁₆. В этом случае характеристика Рх = Р + 40 не имеет знака.

Теперь характеристика может принимать значения в диапазоне

 

и под ее значение, как уже было сказано, отводятся 7 разрядов (максимальное значение порядка 2⁷-1 =127). Очевидно, если Рх = 40, то Р = 0, если Рх < 40,  то порядок отрицательный Р < 0, при Рх > 40 — поря­док положительный Р > 0. Если  Рх < 0 или Рх > 7F, то значение характеристики пропадает и результаты ис­кажаются.

2. Мантиссы и порядки чисел выражаются в шест­надцатиричной системе счисления в двоичном виде, что обеспечивает увеличение диапазона представле­ния чисел, так как изменение характеристики на 1 при­водит к сдвигу мантиссы на одну шестнадцатиричную цифру, т. е. сразу на одну двоичную тетраду. Действи­тельно, если в формулу (1.7) подставить s = 16, то

 

Таким образом, значение порядка увеличилось в 4 раза.

Представим в 32 разрядной сетке формата два числа (знак обозначает равенство чисел в разных системах счисления):

 

Для этого найдем нормализованные мантиссы и характеристики:

 m_A= 0,7D08,8, P_xа = 40 + 4 = 44;

m_B = -0,7D08,8, p_xb = 40 + 4 = 44 (схема 1). Здесь так же, как и при естественной форме хра­нения числа, его знак определяется по первой шестна­дцатиричной цифре кода.

Таким образом две первые шестнадцатиричные цифры кода числа с плавающей запятой определяют характеристику Рх с учетом знака числа (0 или 1 в стар­шем разряде первой двоичной тетрады). Для положи­тельных чисел две первые шестнадцатиричные цифры кода числа образуются как сумма Рх + 00₍₁₆₎, а для отри­цательных - Рх + 80₍₁₆₎.

 

Схема 1. Представление чисел А и В

Схема 2. Представление чисел С и D

 

Представим в разрядной сетке (см. схему 2) два других числа: С₍₁₀₎= 0,015625 ~ С₍₁₆₎ = 0,04 и D₍₁₀₎ = -0,015625 ~ D₍₁₆₎ = 0,04

Для этого найдем нормализованные мантиссы, по­рядки и характеристики этих чисел:

m_C == 0,4; Р_c = -1; P_хс ⁼ 40-1 = 3F; с учетом знака P_хс + 00₍₁₆₎ = 3F;

m_D = -0,4; P_D = -1; P_xd ⁼⁼ 40-1 = 3F; с учетом знака P_xd + 80₍₁₆₎ = BF.

По шестнадцатиричному коду числа с плавающей запятой нетрудно определить и само десятичное число. Рассмотрим примеры кодов чисел, представленных на схемах 1 и 2.

Код числа A₍₁₆₎ = 447D0880.

Характеристика с учетом знака = 44, первая ци­фра 4 < 8. Поэтому, число положительное, характе­ристика P_ха ⁼ 44₍₁₆₎-00₍₁₆₎ = 44₍₁₆₎, порядок числа Р_A =- 44₍₁₆₎=40₍₁₆₎ – 40₍₁₆₎, а мантисса числа т_A = 0,7D088₍₁₆₎. Таким образом, число А₍₁₆₎ = т_A • 16^PA = 0,7D088•16⁴ = = 7D08,8. Следовательно,

А₍₁₀₎ = 7 • 16³ + 13 • 16² + 8 • 16⁰ + 8 • 16^-1 =

= 28672 + 3328 + 8 + 0,5 == 32008,5.

Код числа B₍₁₆₎ = C47D0880.

Характеристика с учетом знака = С4, первая цифра С > 7. Поэтому, число отрицательное, ха­рактеристика Pхв = C4₍₁₆₎-80₍₁₆₎ = 44(16), порядок чи­сла Р_B = 44_(16)-40₍₁₆₎ = 4₍₁₆₎, а мантисса числа m_B == = -0,7D088₍₁₆₎. Вычисления аналогичны, следователь­но, B₍₁₆₎ = -7D08,8, a B₍₁₀₎ = -32008,5.

Код числа C₍₁₆₎ = 3F4400000.

Характеристика с учетом знака == 3F, первая ци­фра 3 < 8. Поэтому, число положительное, характе­ристика Р_XC== 3F₍₁₆₎-00₍₁₆₎ = 3F₍₁₆₎ , порядок числа Рс == = 3F₍₁₆₎-40₍₁₆₎ = -1₍₁₆₎, а мантисса числа т_C = 0,4₍₁₆₎. Та­ким образом, число C₍₁₆₎ = т_C•16^Pc = 0,4- 16^-1 == 0,04₍₁₆₎. Следовательно, С₍₁₀₎ = 4 • 16^-2 =  0,015625.

Код числа  D₍₁₆₎ = BF4400000.

Характеристика с учетом знака = ВF, первая ци­фра В > 7. Поэтому, число отрицательное, характери­стика P_xd = BF₍₁₆₎-80₍₁₆₎ = 3F₍₁₆₎, порядок числа Р_D = = 3F₍₁₆₎-40₍₁₆₎ = -l₍₁₆₎, а мантисса числа т_D = -0,4₍₁₆₎. Таким образом, число D₍₁₆₎ = m_D • 16^PD = -0,4 • 16^-1 = ⁼ -0,04₍₁₆₎.

Следовательно, D₍₁₆₎ = -4 • 16^-2 = -0,015625.