chast_2_elektr_i_magnet
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА 2005
3
Часть I. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО ВВЕДЕНИЕ
С древних времен известно, что янтарь, если его потереть о мех, способен притягитвать легкие предметы. В 1600 г. английский врач Джилберт исследовал это явление и нашел, что аналогичным свойством обладают другие вещества
Подобные явления назвали электризацией (от греческого электрон − янтарь), а тела, обладающие способностью притягивать легкие предметы после того, как их потерли о мех (стекло о шелк), стали называть наэлектризованными.
Исследования показали, что существует два вида электричества. Условились, что на янтаре, потертом о мех, возникает отрицательное электричество, а на стекле, потертом о шелк − положительное.
Было найдено, что наэлектризованные тела вступают между собой во взаимодействие. Для количественной оценки степени электризации ввели понятие заряда.
Физическая величина, характеризующая свойство тел вступать при определенных условиях в электрическое взаимодействие, называется электрическим зарядом.
В международной системе физических величин (СИ) в качестве единицы электрического заряда выбран 1 кулон (Кл). Это не основная единица. Заряд в 1 Кл определяется как заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за одну секунду при силе тока в нем в 1 А.
Сейчас ясно, что микроскопическими носителями зарядов могут являться заряженные частицы и ионы. Они могут нести заряды разных знаков. Исследования показали, что заряд любого тела по числовому значению всегда кратен эелементарному заря-
ду е
|е|≈1,6 10−19 Кл.
Носителями элементарного заряда являются частицы, называемые элементарными. Существует лишь несколько элементарных частиц, обладающихэлектрическим зарядом, с бесконечным временем жизни (электрон, протон и их античастицы).
4
В настоящее время принимается, что электроон − точечная бесструктурная частица с зарядом −е массой me≈9,1 10−31 кг.
Протон − носитель заряда +е, и он имеет сложную структуру, т.е. состоит из отдельных частиц − кварков.
Элементарные заряды не могут бесследно исчезать и возникать вновь, однако, могут исчезать и рождаться заряды противоположных знаков. Эта особенность поведения электрических зарядов сформулирована в виде одного из основных законов природы − закона сохранения заряда.
Суммарный заряд изолированной системы не может изменяться.
Исследования показали, что величина заряда, измеренная в различных инерциальных системах отсчета, одинакова. Это означает, что электрический заряд является релятивистски инвариантным.
1.ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.1.Закон Кулона
Точечным зарядом называется заряженное тело, размером которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от этого тела до других тел, несущих электрические заряды.
В 1785 г. французский ученый Шарль Кулон экспериментально установил, что для силы взаимодействия двух точечных зарядов выполняется следующее соотношение:
F = k q1q2 , r2
т.е. сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
В более общем виде закон Кулона можно записать
Fr |
= k |
q1q2 |
rr |
и F = −F |
||
r3 |
||||||
21 |
|
12 |
21 |
12 |
||
|
12 |
|
|
|
5
F12 |
|
|
|
F21 |
|
r12 |
|||
|
|
|
q2 |
|
|
q1 |
Рис.1.1
рующая сила будет
Опыт показывает, что сила взаимодействия двух зарядов не меняется, если вблизи них поместить еще какой−нибудь заряд. Таким образом, если на заряд qi действует N зарядов q1,q2,…,qN, то результи-
Fr |
N |
|
= ∑Frji |
(1.1) |
|
|
j=1 |
|
Внастоящее время доказано, что закон Кулона выполняется
вдиапазоне расстояний между зарядами от 10−16 до 107 м.
Всистеме СИ закон Кулона имеет вид
Fr |
= |
1 |
|
|
q1q2 |
rr |
, |
(1.2) |
4πε |
|
r3 |
||||||
21 |
|
0 |
|
12 |
|
|
||
|
|
|
12 |
|
|
|
здесь ε0 ≈ 8,85 10−12 Кл2/(Н м2) − электрическая постоянная.
1.2. Понятие об электрическом поле. Напряженность электрического поля
1.2.1.Напряженность электрического поля
До первой половины XIX века в теории электромагнетизма господствовала теория дальнодействия, т.е. считалось, что заряды действуют друг на друга без посредников, и изменение положения или величины одного из зарядов мгновенно приводит к изменению силового воздействия данного заряда на другие.
Только в начале XIX века Фарадеем была высказана гипотеза о том, что действие одного тела на другое может осуществляться либо непосредственным соприкосновением, либо передаваться через промежуточную среду. В случае электрического взаимодействия такой промежуточной средой является электрическое поле.
Пусть заряд q создает электрическое поле. Поместим малый пробный заряд qпр в какую−либо точку этого поля, заданную радиус−вектором r. Согласно закону Кулона (1.2) на заряд qпр будет действовать сила
|
|
6 |
|
|
|
|
r |
|
1 |
|
q |
|
|
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
3 |
||
F = qпр |
4πε0 |
|
r |
r |
||
|
|
|
|
|
|
r |
F |
|
|
Мы видим, что |
E = |
|
не зависит от свойств пробного заряда |
|
qпр |
||||
|
|
|
(даже от его знака), т.е. может являться характеристикой поля, создаваемого зарядом q. Эта величина называется напряженностью электрического поля.
Напряженость электрического поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд, находящийся в данной точке поля.
Для точечного заряда в вакууме Er = 4πε1 0 rq3 rr.
1.2.2.Принцип суперпозиции
Если электрическое поле создается N точечными зарядами, то, согласно (1.1), сила, действующая на пробный заряд со стороны всех N зарядов, будет равна векторной сумме сил, действующих со стороны каждого заряда по отдельности. Следовательно, напряженность результирующего электрического поля будет равна
Er |
N |
|
|
= ∑Eri |
, |
(1.3) |
|
|
i=1 |
|
|
т.е. для напряженностей, также как и для сил, выполняется принцип суперпозиции.
Напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности.
1.2.3.Графическое изображение полей
Для графического изображения электрических полей используются силовые линии.
Силовая линия (линия напряженности) − линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с напрвлением вектора Е (рис.1.2).
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Густота силовых линий та- |
||
Е1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
кова, что количество линий, пе- |
|||
|
Е2 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ресекающих площадку |
единич- |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ной площади, |
ориентированную |
|
|
|
|
|
|
перпендикулярно линиям чис- |
||
|
|
|
|
Е3 |
|||
|
|
|
|
ленно равна модулю напряжен- |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
Рис.1.2 |
|
|
|
ности электрического поля. |
||
|
|
|
|
Силовые |
динии |
электро- |
статического поля начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицателных зарядах или уходят в бесконечность.
|
Математическое отступление 1 |
|
|
||||||||
|
Поток векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если имеется поле некоторого вектора А, то потоком векторного по- |
|||||||||||
ля через элементарную поверхность dS называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dФA=(A,dS), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где под dS понимается ndS, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведение |
вектора единич- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
||
ной нормали к поверхности на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Аn |
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
площадь поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нормаль |
определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
||||
dS |
|
|
|
|
|
|
|
||||
неоднозначно. |
Для замкнутой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности можно ввести по- |
Рис.1.2 |
|
ложительную нормаль (направ- |
||
|
||
ление наружу). |
|
dФA=(A,dS)=AndS=AdScosα.
Поток сквозь замкнутую поверхность
ФА = ∫∫(АdS )= ∫∫ АndS .
SS
1.3.Теорема Гаусса
1.3.1.Теорема Гаусса в интегральной форме
Найдем поток ФЕ сквозь замкнутую поверхность, внутри которой заключен единственный точечный заряд q.
а). Поверхность S − сфера радиуса r, центр которой совпадает с точечным зарядом.
В силу симметрии на поверхности сферы E=const и ориентация векторов E и n совпадает, тогда
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
ФЕ = ∫∫ЕndS =∫∫ЕdS = Е∫∫dS = Е4πr2 = |
1 q2 4πr2 |
= q . |
|||||||||
S |
|
S |
S |
|
|
|
|
4πε0 r |
|
ε0 |
|
б). S − произвольная выпуклая замкнутая поверхность. |
|
||||||||||
Поток dФЕ через малую площадку dS равен |
|
|
|
||||||||
dФ = Е |
dS = EdS cosα = |
1 |
q dS cosα , |
|
|
||||||
|
Е |
n |
|
|
|
4πε0 |
r2 |
|
|
|
|
где α−угол между векторами Е |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
||||
и n, dSn-=dScosα−проекция |
|
|
|
|
|
dSn |
Е |
||||
площадки dS на поверхность, |
|
|
|
|
|
|
α |
||||
перпендикулярную r (рис1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
Но dSn=r2dΩ, где dΩ − телес- |
|
|
|
|
|
r |
|
||||
ный угол, опирающийся на dS. |
|
dΩ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dФ = |
qdΩ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Е |
4πε0 |
|
|
q |
|
|
Рис.1.3 |
|
|
||
таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
q |
|
|
|
q . |
|
|
|
||
|
|
ФЕ = ∫∫dФЕ = |
|
∫dΩ = |
|
|
|
||||
|
|
|
S |
4πε0 |
|
|
ε0 |
|
|
|
|
в). S − произвольная поверхность (рис.1.4). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
dS3 |
|
Каждая |
из |
площадок |
||||
|
|
|
dS1, dS2 и dS3 вносит в общий |
||||||||
|
|
|
dΩ |
|
поток одинаковый по величи- |
||||||
|
|
|
|
не вклад, т.к. им соответству- |
|||||||
|
|
|
|
|
ет один и тот же телесный |
||||||
|
dS1 |
|
|
|
угол dΩ, но знак этого вклада |
||||||
|
|
dS2 |
|
разный (два с “+” и один с |
|||||||
|
|
|
|
|
“−”). Следовательно, общий |
||||||
q |
|
|
|
|
вклад будет таким же, |
как и |
|||||
|
|
|
|
для поверхности без складок, |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
т.е. таким же, как и в случае |
||||||
|
Рис.1.4 |
|
|
б) |
|
|
|
= q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
(1.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
ε0 |
|
|
г). Заряд q лежит вне замкнутой поверхности S (рис.1.5). |
|
|
|
9 |
|
|
|
В этом случае прямая, исходящая из заряда q либо совсем |
||||
не пересекает замкнутую поверхность S, либо пересекает ее чет- |
|||||
ное число раз, т.е. вклады в общий поток площадок dS1 и dS2 |
|||||
компенсируется. Поэтому полный поток ФЕ равен нулю. |
|||||
|
Допустим теперь, что поле Е |
|
dS2 |
||
является суперпозицией полей Е1, |
|
||||
|
|
||||
Е2, … точечных зарядов q1, q2, … |
|
|
|||
Согласно принципу суперпозиции |
|
dS1 |
|||
(1.3) суммарное поле Е=∑Еi. Ум- |
|
|
|||
ножая это соотношение скалярно на |
|
|
|||
dS |
и |
проинтегрировав |
получим |
q |
|
Ф=∑ФI, |
а для каждого из потоков |
Рис.1.5 |
|||
Фi выполняется либо (1.4), либо (ес- |
|
||||
|
|
||||
ли заряд qi находится снаружи поверхности S) он равен нулю. |
|||||
Следовательно, получается следующее фундаментальное соот- |
|||||
ношение |
ЕndS = 1 ∑qi , |
|
|||
|
|
∫∫ |
(1.5) |
||
|
|
S |
ε0 |
|
|
называемое электростатической теоремой Гаусса. |
|||||
|
Поток вектора напряженности электрического поля |
||||
сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме за- |
|||||
рядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0. |
1.3.2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Формула Пуассона
Соотношение (1.5) связывает значение напряженности электрического поля в точках некоторой замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри данной поверхности, т.е. связывает величины, относящиеся к разным точкам электрического поля. Это неудобство можно устранить.
Несложно доказать,что если в некоторой точке с координатами x, y, z объемная плотность заряда ρ(x,y,z), то напряженность электрического поля в этой же точке может быть найдена из соотношения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂E |
|
∂Ey |
|
|
∂E |
|
|
|
|
1 |
ρ( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
r |
1 |
|
|
|||||||||
|
x + |
|
|
+ |
|
|
|
z |
= |
|
|
|
|
или, |
divE = |
|
ρ( x, y,z ) (1.6) |
||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
∂z |
|
|
ε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где введено обозначение |
|
∂E |
|
|
∂Ey |
|
|
∂E |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE = |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂z |
|
|
|
|||||
Соотношение (1.6) называется формулой Пуассона. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.4. |
|
Применение теоремы Гаусса |
|
||||||||||||||||||||
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
σ = lim |
|
|
q |
= dq |
− |
|
поверхностная плотность |
заряда, |
|||||||||||||||||||||
|
|
S→∞ |
|
|
S |
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q−заряд на элементе поверхности |
S; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
λ = lim |
|
q |
= dq |
− линейная плотность заряда, q−заряд на |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
l→∞ |
|
l |
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
линейном участке длиной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ρ = lim |
|
|
q |
= |
dq |
|
− объемная плотность |
заряда, |
q−заряд, |
||||||||||||||||||||
|
|
V |
dV |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
V →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
заключенный внутри объема V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
С учетом определения ρ теорему Гаусса можно сформули- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ровать в следующем виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ЕndS = 1 ∫∫∫ρdV |
|
|
(1.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
ε0 |
|
V |
|
|
|
|
|
|
а). Поле тонкой бесконечно длинной прямой нити, несущей заряд с линейной плотностью λ.
В качестве гауссовой поверхности возьмем цилиндр с радиусом r и высотой h, ось которого совпадает с заряженной нитью.
Всю поверхность цилиндра разобьем на три части: S1 и S2 − поверхности торцов и Sбок − боковая поверхность. В силу симметрии в любой точке поверхности S вектор Е должен быть перпендикулярен заряженной нити и, кроме того, на боковой поверхности Е должен быть постоянен по модулю. Выберем произвольные точки на поверхностях S1, S2 и Sбок, вектора n1, n2, n3 и
11
Е1, Е2, Е3 − нормали к поверхностям и напряженности электриче-
ского поля в выбранных точках (рис 1.6). |
|
|
|||
|
|
|
Т.к. вектора n1, E1 и n2, E2 |
||
|
n2 |
взаимно |
перпендикулярны, то, |
||
E2 |
очевидно, |
должны |
выполняться |
||
r |
следующие равенства |
|
|||
|
n3 |
∫∫Еn dS = ∫∫ЕndS + ∫∫ЕndS + ∫∫ЕndS |
|||
|
S |
S1 |
S2 |
Sбок |
|
|
|
||||
|
E3 |
= ∫∫ЕndS = ∫∫ЕdS = Е ∫∫dS = Е2πrh |
|||
|
|
Sбок |
Sбок |
Sбок |
E1 n1
Рис.1.6
Полученное выражение − левая часть формулы (1.5). Но заряд, заключенный внутри поверхности S, очевидно, равен λh. Откуда
Е = |
λ |
(1.8) |
|
2πε0 r |
|||
|
|
б). Поле бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ=const.
n2 |
E2 |
|
|
Ввиду |
симметрии |
|
E3 |
вектор Е должен |
быть |
||||
|
|
перпендикулярен |
этой |
|||
|
|
|
||||
|
|
n3 |
плоскости. Он направ- |
|||
|
|
лен |
от плоскости, |
если |
||
|
|
|
ее заряд положителен, и |
|||
|
|
|
к плоскости, если она |
|||
|
|
|
заряжена отрицательно. |
|||
|
|
|
В |
качестве |
гауссовой |
|
n1 |
|
|
поверхности |
выберем |
||
E1 |
|
цилиндр с основаниями, |
||||
Рис.1.6 |
|
симметрично |
располо- |
|||
|
женными по разные сто- |
|||||
|
|
|
роны от плоскости, и с образующей, перпендикулярной к ней (рис.1.6). Если S−площадь основания, то поток вектора Е через оба основания будет 2ЕS. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. на ней вектора Е и n взаимно перпенди-