А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ”
А.В. ШАТИНА
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА 2012
2
ББК 22.18 Ш 28
УДК 519.6
Рецензенты: д.ф.-м.н. В.Г. Вильке, к.ф.-м.н. Т.П. Краснослободцева.
Ш 28 Шатина А.В. Методы оптимизации. Практические занятия: Учебное пособие / Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики”.- М., 2012. – 194 с.
Учебное пособие создано на основе курса «Методы оптимизации», предназначенного для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», «Информационные системы и технологии».
Материал изложен в форме 14 занятий и включает в себя следующие разделы: конечномерные гладкие экстремальные задачи, элементы выпуклого анализа, задачи линейного программирования, задачи классического вариационного исчисления, задачи оптимального управления.
Табл. 56. Ил. 15. Библиогр.: 10 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.
ISBN 978-5-7339-0892-2 |
© А.В. Шатина, 2012 |
© МГТУ МИРЭА, 2012
|
3 |
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Занятие 1. |
Гладкие конечномерные задачи без ограниче- |
|
|
ний ......................................................................... |
4 |
Занятие 2. |
Гладкие конечномерные экстремальные зада- |
|
|
чи с ограничениями типа равенств .................... |
12 |
Занятие 3. |
Гладкие конечномерные экстремальные зада- |
|
|
чи с ограничениями типа равенств и нера- |
|
|
венств .................................................................... |
24 |
Занятие 4. |
Элементы выпуклого анализа. Выпуклые за- |
|
|
дачи ....................................................................... |
35 |
Занятие 5. |
Графический метод решения задач линейного |
|
|
программирования ............................................... |
47 |
Занятие 6. |
Симплекс–метод решения задач |
линейного |
|
программирования ............................................... |
57 |
Занятие 7. |
Транспортная задача ........................................... |
77 |
Занятие 8. |
Простейшая задача классического вариацион- |
|
|
ного исчисления ................................................... |
95 |
Занятие 9. |
Задача Больца ....................................................... |
109 |
Занятие 10. |
Изопериметрическая задача ............................... |
122 |
Занятие 11. |
Задача с подвижными концами .......................... |
133 |
Занятие 12. |
Задача Лагранжа ................................... |
............... 146 |
Занятие 13. |
Задача оптимального управления ...................... |
160 |
Занятие 14. |
Задача оптимального управления (продолже- |
|
|
ние) ........................................................................ |
172 |
|
Ответы к задачам для самостоятельного реше- |
|
|
ния.......................................................................... |
182 |
|
Библиографический список................................. |
193 |
4
Занятие 1. Гладкие конечномерные задачи без ограничений
Пусть f : X R – функция n действительных переменных,
X R |
n |
– множество, на котором функция определена, |
R |
n |
– |
n - |
|
|
мерное арифметическое евклидово пространство, элементами ко- |
||
торого являются упорядоченные совокупности |
n |
действительных |
чисел x x1,..., xn . |
|
|
В пространстве R |
n |
вводятся операции сложения и умноже- |
|||||
|
|||||||
ния на число: |
|
|
|
|
|
|
|
x y x1 |
y1,..., xn yn |
|
|
x, y X |
, |
||
x x1,..., xn |
x R |
n |
, |
R . |
|
||
|
|
Расстояние между элементами в
R |
n |
|
вводят следующим об-
разом:
x, y
n xi
i1
y |
|
|
|
|
2 |
|
i |
|
. Это расстояние называют евкли-
довым. Если в |
R |
||
|
n |
то x, |
|
x |
2 |
||
xi |
|||
|
i1 |
|
|
n |
ввести норму элемента |
|
y x y .
x
по формуле
|
Постановка задачи состоит в нахождении экстремума функ- |
||||||
ции |
f x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
f x extr. |
|
|
|
з |
|
|
|
ˆ |
называется точкой абсолютного |
||||
|
Определение. Точка x X |
||||||
или |
глобального |
минимума |
(максимума) |
функции |
|||
f : xˆ absmin f xˆ absmax f , |
если |
x X выполнено неравен- |
|||||
ство |
f x f xˆ f x f xˆ . |
Величина |
f xˆ |
называется чис- |
|||
ленным значением задачи и обозначается |
Smin |
Smax . Если экс- |
тремум не достигается, то следует указать последовательность |
||
точек xn , на которой f xn Smin Smax при n . |
▲ |
|
Определение. Точка xˆ X |
называется точкой локального |
|
минимума (максимума) функции |
f : xˆ locmin f xˆ locmax |
f , |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 такое, |
что для любой точки |
x X |
, |
удовлетворяющей |
||||||||||
условию x xˆ |
|
, выполнено неравенство |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f x f xˆ f x f xˆ . |
|
|
|
|
▲ |
|||||||
Теорема 1. (Необходимые условия локального экстремума |
||||||||||||||
1-го порядка) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если xˆ xˆ1,..., xˆn – точка локального экстремума функции |
||||||||||||||
n переменных |
f x f x1 |
,..., xn |
и функция |
f |
дифференцируема |
|||||||||
|
||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке x , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f xˆ |
0,..., |
f xˆ |
0 . |
|
■ |
||||
|
f xˆ 0 |
|
x |
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки xˆ , в которых f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
xˆ 0, называются стационарными. |
|||||||||||||
Теорема 2. (Необходимые условия локального экстремума |
||||||||||||||
I-II порядка) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция f от |
n |
переменных определена в некоторой |
||||||||||||
окрестности точки |
xˆ xˆ1 |
,..., xˆn |
и имеет непрерывные частные |
|||||||||||
производные до 2-ого порядка включительно в точке |
ˆ |
|||||||||||||
x . Если |
||||||||||||||
xˆ locmin f |
ˆ |
|
|
|
f , |
то |
f xˆ 0 |
, |
f xˆ h, h 0, |
|||||
|
x locmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
f xˆ h, h 0 ,
h R |
n |
|
где
f xˆ h, h |
n |
|
2 |
f xˆ |
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
x |
x |
h h |
|
||
|
i, j1 |
j |
|
|||
|
|
i |
|
|
.
■
Теорема 3. (Достаточные условия локального экстремума
I-II порядка) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция |
f |
от |
n |
переменных определена в некоторой |
||||||||
окрестности точки |
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
и имеет непрерывные частные |
||||||
x |
x1 |
,..., xn |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
производные до 2-ого порядка включительно в точке x . Если |
||||||||||||
1) |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
n |
|
2) |
f |
h, h h |
|
f |
|
|
h R и некото- |
|||||
xˆ |
|
xˆ h, h h |
|
|||||||||
ром 0 , то |
ˆ |
|
|
f |
ˆ |
|
|
|
|
■ |
||
x locmin |
|
x locmax f . |
|
|
Условие 2) теоремы 3 является условием положительной
6
(отрицательной) определенности квадратичной формы
f xˆ h, h
с матрицей
Axˆ
|
2 |
f xˆ |
|
|
|
|
|
x |
x |
j |
|
|
i |
|
n . При практическом i, j 1
применении теоремы 3 возникает вопрос, будет ли квадратичная форма положительно или отрицательно определенной. Критерием положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы является критерий Сильвестра.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Критерий |
Сильвестра. |
Квадратичная |
форма |
|
a |
ij |
h h |
j |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||
aij a ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j1 |
|
|
|
|
|
положительно определена |
|
все главные миноры |
|||||||||||||||||||
|
A a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицы |
|
|
|
ij |
n |
положительны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
0, |
|
|
|
11 |
12 |
0,..., |
|
|
det A 0. |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
aij a ji отрицательно |
||||||||
Квадратичная |
форма |
|
aij hi h j |
i, j 1
определена
k |
|
|
0, |
1 |
k |
||
|
|
|
k
1,2,...,
n
.
■
Теорема 4. (Достаточные условия локального экстремума I-II порядка для функции двух переменных)
Пусть функция |
f |
двух переменных определена в некоторой |
||
|
||||
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
окрестности точки x x1 |
, x2 , имеет непрерывные частные про- |
|||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
изводные до 2-го порядка включительно в точке x и |
f x 0 . |
а) Если 1 б) если 1 в) если 2
г) если 2
0, 2 |
0 |
ˆ |
|
f ; |
|
, то x locmin |
|||||
0, 2 |
0 |
|
ˆ |
locmax |
f ; |
, то x |
0 , то xˆ locextr f ;
0, то требуется дополнительное исследование. ■
При исследовании вопроса о достижении функцией абсолютного максимума или минимума часто используется теорема Вейерштрасса и следствие из нее.
7
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства достигает своих абсолютных максимума и мини-
мума. |
|
■ |
Следствие. Если функция f |
непрерывна на Rn |
и |
lim |
f x |
x |
|
|
|
|
, то она достигает своего абсо- |
lim |
f x |
||
|
x |
|
|
лютного минимума (максимума) на любом замкнутом подмноже-
стве пространства R |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1. |
f x , x |
2 |
|
3x2 x |
2 |
x3 |
12x 15x |
2 |
3 extr. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|||
Выпишем |
необходимые |
условия локального экстремума |
||||||||||
1-го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
6x x |
|
12 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3x2 |
3x2 |
15 0. |
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая полученную систему уравнений, находим стационарные точки:
P |
1;2 , |
P2 2;1 , |
P3 1; 2 , P4 2; 1 . |
|
1 |
|
|||
Для исследования стационарных решений составим матрицу |
||||
вторых производных функции |
f |
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
A x , x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
2 |
f |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Для точки |
P |
1; 2 : |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1;2 |
|
, |
|
|
12 0, |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
6 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для точки P2 2;1 :
|
2 |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
||
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
6x |
2 |
6x |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||
2 f x |
|
6x |
6x |
|
|
||||||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 108 0 P1 1;2 locmin f .
8
6 |
12 |
|
|
|
6 0, |
|
|
108 0 P 2;1 locextr f . |
A 2;1 |
|
, |
1 |
2 |
||||
|
6 |
|
|
|
|
2 |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Для точки P3 1; 2 :
A 1; 2
Для точки
P4
12 |
6 |
|
|
12 0, |
|
|
, |
||
6 |
12 |
|
1 |
|
|
|
|
||
P 1; 2 locmax |
||||
|
3 |
|
|
|
2; 1 : |
|
|
|
f
2 108 0
.
|
6 |
12 |
|
A 2; 1 |
|
|
, |
|
12 |
6 |
|
|
|
||
|
P |
||
|
|
4 |
|
|
6 0, |
1 |
|
2; 1 locextr |
f
2 |
108 0 |
|
.
Далее,
f n, n f n,0
4n3 27n 3 при12n 3 при n
n .
;
Поэтому
S |
min |
, S |
max |
|
|
.
Пример 2.
f
x |
, |
1 |
|
Ответ: |
1;2 locmin |
|||||||
|
|
|
|
S |
min |
, |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
x6 |
x6 |
x x |
2 |
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
f |
; 1; 2 locmax |
max . |
|
3 |
extr. |
|
f |
; |
●
Необходимые условия локального экстремума 1-го порядка имеют вид:
|
f |
|
6x15 3 x1 x2 2 0, |
|
|
|
|
||
x1 |
||||
|
|
|
||
|
f |
|
6x25 3 x1 x2 2 0. |
|
|
|
|||
|
|
|||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
Решая ные точки:
полученную |
||||||
P |
|
|
|
|
|
P |
1 |
3 |
2; |
3 |
2 |
, |
2 |
|
|
систему уравнений, найдем стационар-
0;0 .
Для проверки условий 2-го порядка выпишем матрицу вторых производных функции f :
9
|
2 f x |
2 f x |
|
|
|
x12 |
x1 x2 |
|
|
|
|
|
||
A x1, x2 |
2 f x |
|
|
|
|
2 f x |
|
||
|
x2 x1 |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
30x4 6 x x |
6 x x |
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
. |
|
6 x x |
2 |
|
30x4 |
6 x x |
2 |
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
С помощью теоремы 4 проведем исследование полученных стационарных точек.
|
Для точки |
1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2; |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
48 |
|
12 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||||||
2; |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0, |
|
|
4 0 |
|||||
A |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
, |
48 |
2 |
2160 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P locmin
1
f
.
Для точки |
P2 0;0 имеем: |
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
0, 2 |
0 |
|
критерий Сильвестра не да- |
A 0;0 |
|
|
, 1 |
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ет ответа на вопрос об экстремуме функции |
f |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим окрестность точки P2 0;0 |
|
в пространстве |
R |
2 |
. |
|
|
При h 0 |
имеют место соотношения: |
f h; h 2h |
6 |
0 |
|
f 0;0 , |
f h;0 h |
6 |
h |
3 |
0 |
|
|
|
|
f
0;0
.
Откуда следует, что
P |
0;0 locextr |
2 |
|
f
.
|
|
Для решения вопроса об абсолютном экстремуме, вычислим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
предел |
|
|
|
|
|
lim |
f x . |
|
Перейдем |
|
к |
|
полярным |
координатам: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
r 0; , t 0; 2 . Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x1 |
r cos t, |
|
|
x2 r sin t, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
r, |
f x r6 cos6 t sin 6 t r3 cos t sin t 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
r |
6 |
1 0,75sin |
2 |
2t 2 |
2r |
3 |
sin |
3 |
t 4 |
1 |
r |
6 |
2 |
2r |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
f x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Согласно |
|
|
следствию |
|
|
|
|
|
теоремы |
|
|
|
Вейерштрасса |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
absmin |
|
|
|
f |
3 |
|
|
|
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
P |
2;3 |
|
2 |
f , |
S |
min |
2;3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Ответ:
3 |
2; |
3 |
2 |
absmin |
|
|
f
;
S |
min |
8, S |
max |
|
|
. ●
Пример 3.
f x |
; x |
2 |
|
1 |
|
|
x x |
2 |
12 x |
|
2 |
|||
1 |
1 |
x |
|
2 |
|
extr
.
Необходимые условия 1-го порядка имеют вид:
f |
|
x2 12 2x |
x |
|
0, |
||||||
x |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f |
|
|
24 2x |
|
|
|
|
0. |
||
|
x x |
|
3x |
|
|||||||
x |
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим стационарные точки:
1 |
3; |
6 |
, |
2 |
0;12 , |
3 |
t |
;0 |
, |
t ; |
. |
|
P |
|
P |
P |
|
|
|
|
Для проверки условий рых производных функции
2-го порядка выпишем матрицу вто- f :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f x |
|
|
2 |
f x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
A x , x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 f |
x |
|
2 f x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
24x |
|
4x x |
|
3x |
2 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
||||
|
|
24x |
|
|
4x x |
|
3x |
2 |
|
24x |
2x |
2 |
|
6x x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
В точке |
P |
3;6 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
72 |
36 |
|
|
|
72 0, |
|
|
|
|
2592 0 |
||||||||||||||||||
A 3; 6 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
36 |
54 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3;6 locmax f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке P2 0;12 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
288 |
144 |
|
|
288 0, |
|
|
|
|
0 1442 0 |
||||||||||||||||||||||
A 0;12 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
144 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
P2 0;12 locextr |
f . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Для точки |
|
P3 t;0 , |
t ; : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|