Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

5.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

181

x	Если		C
	3t	2	D t
ˆ			1
1

к противоречию.

		ˆ		ˆ
0 ,	то		ˆ		ˆ
		u	6 x2	6 x2	6t D1 x1
D2	. Используя краевые условия задачи, придем

Если речию.

, то

p		t 0 u 6
	2	ˆ
	2

и опять придем к противо-

Рассмотрим случай C 0 . Тогда функция

p2 t убывает на

отрезке

0;2

и принимает неотрицательные значения. При этом

график функции

y p2

обязательно должен пересечь прямую

y 12

в некоторой точке

на интервале

0;2

(рис 14.1), иначе

t 12 ,

, и краевые условия снова не выполняются. То-

гда

C t 2

,t 0; ;

, t 0; ;

u x

t ;2 .

D ,

t ;2 .

t 2

t 0; ;

D t D ,

D t

t ;2 .

Рис. 14.1

182

вых

Найдем неизвестные величины C, D1,	D2 , D3 ,
условий задачи и непрерывности функций		ˆ
условий задачи и непрерывности функций		x1
:	;
x2 0 0 C D1 0	;
ˆ

D	,
4

ˆ		ˆ
, x	2	,u
	2

из крае- в точке

Решая

12, D1

x1 0 0

C D3 0;

2 17 12 2D2 D4 17

;

C 2

;

C 2 2

6 D2 ;

C 2

D D

D D .

полученную

систему

уравнений, находим:

12, D2

3, D3

8, D4

1, 1. Откуда получаем

0;1 ;

x t

3t 1, t 1;2 .

С помощью непосредственной проверки покажем, что полу-

доставляет в задаче абсолютный минимум.

ченная функция x t

Рассмотрим допустимую функцию

h t . В силу

x t x t

ограничений задачи получим условия на функцию h :

h 0 0, h 0 0, h 2 0, x h 6.

0 при t

1;2 .

В частности h

Оценим разность B x

h B x :

B x h B x

h dt

2xh h

2xh

hdt

dt .

12h 2 12h 0 12 hdt h

dt 12 h 2 h 1 h

183

Справедливо равенство:

s h s ds 2 h 2 h 2 .

Учитывая, что h 2 0

и полагая

1, получим:

h 1

s 1 h s ds h 2

h 2 h 1

1 h s ds 0 .

Следовательно,

B x

B x 0 и

x t absmin з .

Ответ:

t 3

6t 2 ,

t 0;1 ;

absmin з .

x t

3t 1, t 1;2 .

Задачи для самостоятельного решения

Решить экстремальные задачи:

14.1.T inf;

1 x 3, x 0 1, x 0 x T 0, x T 1.

14.2.

T inf;

x 2, x 1 1,

x 1 x T 0, x T 1.

dt min;

x 24, x 0 11, x 1 0, x 1 0 .

14.3. x

1, x 0

0, x 1

min;

14.4. x

, x 0 0 .

14.5. Найти допустимую экстремаль:

dt min;

1, x 0 0, x T 2 .

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1.1. 1;0 absmin

f , Smax

1.2. 5; 2 locmin

f , Smin

, Smax

1.3.

;

;1 absmin

f , Smin

, Smax

●

184

1.4.	2; 4 absmin			f , Smin 8, Smax
1.5.	1; 1 absmin				f , Smin 2, Smax .
1.6.	0;0 locextr			f ,	Smin , Smax .
1.7.	1;1 locmax			f ; 0;0 , 0;3 , 3;0 locextr				f ,
					Smin , Smax .
		1				9	; 0;0 locmax
1.8.		2	; 1 absmin f , Smin			8

		1				Smax .
		2	;0 , 0; 1 locextr f ,			Smax .
		2
1.9.	2;3 locmax			f	; 0; t locmax f		при t 0	и t
	0; t locmin			f	при 0 t 6;
	0;0 , 0;6 , t;0 locextr					f ;
	Smin		, Smax		.
1.10. 1;0 absmax					f ; 0;0 absmin		f ;

f ;

;

		0; 1 locextr	f ; Smax					2	; Smin 0.
								e

1.11. 1;3 absmin f , Smin 10 18ln 3, Smax .
1.12.		t;1 2t absmin			f , t ; , Smin 0, Smax					.
1.13.		2;0 absmin		f ,		Smin 2 e, Smax .
1.14. 1; 2 absmin f , Smin 7 10ln 2, Smax .
1.15. 4;4;2 locmax			f ;			Smin , Smax .
2.1.	3; 4 absmin з,		Smin 20;						3; 4 absmax з;	Smax 30
	1; 0 locmin з,			1		1
2.2.				3	;	3	locmax з, Smin , Smax .

	3		3			absmax з, Smax						e	9 4			0 .
2.3.		;												; Smin
2.3.	2	;	4											; Smin
	2		4
	1						3
	1						3
2.4.					;					absmin з, Smin					2;

		2
		2						2
			1				3
			1				3				absmax з; Smax
						;									2 .

				2
				2					2

185

2.5. 5; 2 locmin з,	5; 2 locmax з,				Smin , Smax .
2.6. 0;0; 1 absmin з, Smin 1;		2		2		1	absmax з;	Smax
2.6. 0;0; 1 absmin з, Smin 1;		3	;	3	;	3	absmax з;	Smax
		3		3		3

	1		1		1	absmin	f , Smin	1	, Smax	.
2.7.	3	;	3	;	3	absmin	f , Smin	3	, Smax	.
	3		3		3			3

2.8.	1	;	1	;	1	locmax з;	t;0;1 t locmax з	при
2.8.		;		;		locmax з;	t;0;1 t locmax з	при
	6		3		2

t;0;1 t locmin з при t ;0 1; ;

0;0;1 , 1;0;0 , t;1 t;0 locextr з;		Smin ;
0;0;1 , 1;0;0 , t;1 t;0 locextr з;
2.9. 4;1 locmin з,	4; 1 locmax з,	Smin ,
2.10. 3; 2 absmin	з, Smin 50;

t 0;1 ;

Smax .

						3		absmax з;					Smax					425
	4;					2		absmax з;					Smax					4	.
						2												4
2.11.	1;0 absmin з,											Smin	1, Smax .
		5		5		2		2		5		5	5		2		5	absmin з,		Smin	50
2.12.		3	;	3	;		,		;	3	;	,	3	;	3	;		absmin з,		Smin	27	,
		3		3		3		3		3		3	3		3		3				27

1;1;2 , 2;1;1 , 1;2;1 absmax з ,

Smax 2.

2.13.

1;0 absmin з,

Smin

1; 3;0 absmax з;

Smax 9 .

2.14.

6;12;18 locmin

з,

Smin ,

Smax .

2.15. 6;4;3 absmin з, Smin

156, Smax

2.16.

absmax з, Smax a ,

absmin з, Smin

a .

2.17.

b a,

, Smin

a, b

b, a

1 2

2.18.

Smin

3.1.

;

absmin з, Smin

;

5 3

									186
	1			1						1
			;			absmax з;		Smax			.

	2									2
	2				2					2

	1			2								2
3.2.	1	;		2			absmin з, S					2	;
3.2.		;					absmin з, S		min				;
	3			3					min		3	3
	3			3							3	3

		1	;	2	absmax з; S				2	,
							max
		3		3				3		3

	t;0 locmax з					при t 1;0 ;
	t;0 locmin з					при t 0;1 ;			0;0 locextr
3.3.	1;0 absmax з, Smax e 1;								0;1 absmin

з . з,

3.4.

3.5.

Smin e			1	1; 0;0 locextr з .
Smin e				1; 0;0 locextr з .										1;1 absmin з, S
3;0 , 0;3 absmax з,								S	max		6;			1;1 absmin з, S		min	1.
									max							min
	1			1		1		1			1		1
		;			;		,			;		;			,


	3			3		3			3		3		3

1	;	1			1			1		1	;	1		absmin
				;					;
				;			,		;
3		3			3			3		3		3
1		1			1			1		;	1		1
	;		;									;
	;		;			,						;		,
3		3			3			3			3		3

Smin

	1

3	3

;

1	;	1	;	1		1		1	;	1	absmax
							;
					,		;
3		3		3		3		3		3

Smax 313 ; t;0;0 , 0;t;0 , 0;0;t locextr з t 1;1 .

3.6.	1		1			1		1
		;		;			absmin з, Smin		;
	6		6		6			12

	3		1	locmax з;	Smax
0;	4	;	4	locmax з;	Smax
	4		4

		1		;	1			3		3		1		locextr з .
0;						,			;		;
0;						,			;		;
		4			4			8		8		4
	5
3.7.			;	0;20			absmin з, Smin										52,5; Smax		.
3.7.	2		;	0;20			absmin з, Smin										52,5; Smax		.
	2
													2		174		24
3.8. 1;0;3 locmax з;														;		;		locmin з;
3.8. 1;0;3 locmax з;														;		;		locmin з;
													7		35		5

187

1;6; 3 locextr з ;

3.9. A 22, x, y 58;5 .

min

; Smax

	3	absmin
3.10. 2;		absmin
	2

3.11. 4;2 absmin

4.1. Да, f x x.

з, Smin

	4	;	3	absmax з;
6,25;		;		absmax з;
	5		5

32; 1; 2 absmax з;	S
	max

Smax

4.2.Да,

4.3.Да,

	3,		x 0,

	3;1 , x 0,

f x		0	x 2,
f x	1,	0	x 2,

			x 2,
	1;3 ,		x 2,

	3,	x 2.

	2x,		x 1 или

	2;1 , x 1,
f x
f x		1 x 2,
	1,	1 x 2,

			x 2.
	1;4 ,		x 2.

x 2,

4.4. Не является выпуклой.

1, x 12,

4.5. Да, f x 1;1 , x 1 2 ,

1, x 12.

							x							0,											x			0,
		2;0 ,				x	x				2			0,								x			x		2	0,
						1					2												1				2
						x	x							0,								x			x			0,
		0;2 ,				x	x				2			0,								x			x		2	0,
						1					2												1				2
		2	2		;2 2							2		,						2		0;1 , если										x		x		2		0,
			2									2								2												1				2
							x		x									0,							x	x					0,
		0; 2 ,					x		x						2			0,							x	x			2		0,
4.6.								1							2										1				2
4.6.	f x						x		x									0,							x	x					0,
	f x	2; 0 ,					x		x								2	0,							x	x				2	0,
								1									2								1					2
					2; 2													,						0;1 , если										x	x					0,
		2	2		2; 2											2		,					2	0;1 , если										x	x				2	0,
			2													2							2											1					2
		2	1	;2			1	2 ,											1		0;1 , если											x	x				2		0,
			1				1						,						1		0;1 , если											1					2
					2;2																											x	x						0,
		2			2;2																											x	x						0,
			1							1									1													1					2

1 2 1 2 1 2 1 2

Вточке 0;0 субдифференциал представляет собой квадрат

свершинами в точках 2;0 , 0;2 , 2;0 , 0; 2 .22 , , xx 02; 22 0;1 , если

																					188
				a,		если a, x							b 0,
							если a, x b 0,
4.7.	f x a,						если a, x b 0,
																				если a, x b 0.
				2 1 a, 0;1 ,																если a, x b 0.

				1;1 ,			если x				a , x							2			a				2	,
									1						1			2							2
								если x					a ,						x				a					,
				1; 1 ,				если x					a ,						x		2		a				2	,
											1					1					2						2
				1; 2			2	1 ,				2	0;1 ,								если x									a , x					2		a			2		,
							2					2																	1		1				2					2
								если x					a ,						x				a					,
				1;1 ,				если x					a ,						x		2		a				2	,
											1					1					2						2
4.8.
4.8.	f	x		1; 1 ,					если x							a				,	x		2		a				2	,
	f	x		1; 1 ,					если x							a				,	x				a					,
													1					1
									1 ,							0;1 ,								если x							a			, x				a							,
				1; 2				2	1 ,					2		0;1 ,								если x							a			, x			2	a					2		,
								2						2		0;1 , если x														1	1						2						2
				2		1	1;1 ,				1					0;1 , если x														a , x			2			a			2		,
						1					1				0;1 ,													1			1		2						2
							1; 1 ,															если x									a	, x						a						,
				2		1	1; 1 ,						1									если x									a	, x				2		a				2		,
						1							1																	1	1					2						2
							1; 2				1 ,								,					0;1 ,							если x							a						, x			a		.
				2		1	1; 2			2	1 ,						1		,			2		0;1 ,							если x							a						, x		2	a	2	.
						1				2							1					2														1						1				2		2
	В точке				a1; a2				субдифференциал представляет собой квад-
рат с вершинами в точках															1;1 ,					1; 1 , 1;1 , 1; 1 .
4.9.	1; 1 absmin з, Smin													3.
			1	;	2		absmin							з, Smin														1
4.10.			19	;	19		absmin							з, Smin																.
			19		19																						19


	5		5			1

				absmin з, Smin	5
4.11.		;					.
4.11.	10	;	5			4	.
	10		5			4

4.12. Если a							2		a		2		1, то a , a						absmin з,
4.12. Если a									a		2		1, то a , a					2	absmin з,
					1						2					1		2
	если						2				2		1, то
	если					a1				a2			1, то
						a1								a2
						a1						,		a2			absmin з, Smin

				a2				a2						a2	a2
				a2				a2						a2	a2
					1				2				1		2
			5		6				absmin з, Smin											8
4.13.			7	;	7				absmin з, Smin											7	.
			7		7															7
		1			1
		1			1
4.14.				;						absmin з, Smin									4 2 .

			2				2
			2				2
4.15. 0;0; 2							absmin з, Smin										8.

Smin a12 a22 ;

2a12 a22 1.

189

		2			4									8
4.16.			;				absmin з,			Smin						.
4.16.		3	;		3		absmin з,			Smin				9		.
		3			3									9
5.1.	1;1	abs min з, fmin							1.
5.2.	2 3; 2 3 abs min з,								fmin		8 3.
5.3.	2 ; 1 abs max з, 0;1 ,																fmax
5.4.	4 ;1 ;7 2 ;0;3 abs min з,
	0; 2;0;5;7 abs max з, fmax												2 .
5.5.	1;0; 4;0;7 abs min з,									fmin		5		,
	8;0;11;7;0 abs max з,									fmax		12 .
5.6.	0; 2;1;0 abs min з,								fmin		3.
5.7.	2; 28 3 .
5.8. 10500 руб. и 12600 руб.
5.9. (2; 0; 14).
5.10. (3; 6).
6.1.	2;1;0;0 abs max з,									Smax		5 .
6.2.	0; 4;0;0 abs max з,									Smax		4.
6.3.	5;3;0;0;0 abs max з, Smax												8.
6.4.	5;0;3; 4;0 abs max з, Smax												15 .
6.5.	5; 2;0 abs max з,								Smax		13.
6.6.	5;2;0;0 abs min з, Smin										46 .
6.7.	1 2; 0; 6;							3 2; 0 abs max з, Smax
	13			9		11				з, Smin					3
6.8.			;	7	;	14		abs min		з, Smin					7		.
	14			7		14									7

6.9.0;0; 4;13 abs max з, Smax 77 .

		0	3	0	0
7.1.	x	0	0	1	3	, S	min	14.
	ˆ						min
		2	0	3	0
		2	0	3	0
		25		0	40	20
7.2.	x	0		0	0	90		, S	min	520 .
	ˆ								min
		25	100		0	0
		25	100		0	0

3.
0;1 ,	f
	min

6,5.

190

7.3.

7.4.

7.5.

8.1.

8.2.

8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

	ˆ				20			0	0
	ˆ									, Smin 130 .
	x									, Smin 130 .
						10 20
				10		10 20
				120					0	0	0
	ˆ
	ˆ				0			220		0	0	,	Smin	790 .
	x				0			220		0	0	,	Smin	790 .
					10				0	60 70
					10				0	60 70
	ˆ		10				0
	ˆ								, Smin 85 .
	x								, Smin 85 .
					5	15
					5	15
t t				4
t t					absmin з .
		24			absmin з .
		24
	ln		3 t 1
	ln		t		1
			t		1			absmin з .
					3			absmin з .
			ln		3
			ln		2
					2
ln t absmin з .
t 1 cht absmin з .
cos t absmin з .
t cos t absmin з .
	sh 2 t							absmin з .
			sh1					absmin з .
			sh1
1		e t e 1 te t									1 absmin з .
	2	e t e 1 te t									1 absmin з .
xˆ t					C t sin t absmin з									, где	C

- произвольная постоянная.

8.10.

ln t absmin

8.11. две экстремали x t

t 1

, x t

3t 1

9.1. x t cht absmin з .

9.2.

2t 6 absmin з .

x t

9.3.

6 abs max з .

x t t

t 4

9.4. x t

10t 10

absmin з .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.04.2019188.42 Кб3zachet_po_ivt.doc
#
10.05.2015741.01 Кб223Zadachi_po_khimii.pdf
#
10.05.2015785.84 Кб33Zadachi_s_resh.pdf
#
10.05.2015844.92 Кб9zadanie_111.docx
#
10.11.201928.12 Кб3«Бюджетирование» - как метод финансового планир...docx
#
10.05.20155.05 Mб90А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013.pdf
#
25.08.20192.81 Mб7аис-лекц.doc
#
10.05.2015381.01 Кб51Аморфизация поверхности кристалла.docx
#
10.05.20151.36 Mб63Архитектура ВМ и систем.pdf
#
27.08.2019109.42 Кб30БДЗ_Часть_2_МЕНЕДЖЕРЫ.docx
#
10.05.2015282.62 Кб23БЖД_ЛР_1.doc