Краткий курс математического анализа. Том 2
.pdf
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
2013
УДК 517 ББК 22.161.1
К88
Ку д р я в ц е в Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Диф-
ференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: Учебник. — 4-е изд., перераб. и доп. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. — 467 с. — ISBN 978-5-9221-1454-7.
Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных, гармонический анализ. В конце тома помещен краткий исторический очерк развития понятий математического анализа. Нумерация параграфов и рисунков продолжает нумерацию первого тома.
Предыдущее 3-е, переработанное издание учебника вышло в 2005 г. В 4-м издании переработан параграф, посвященный функциональным пространствам, добавлены контрольные вопросы и исправлены найденные опечатки. В список контрольных вопросов включены «Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленные Л.Д. Кудрявцевым и изданные МФТИ в 1994 г. По остальным темам вопросы подготовлены Н.Л. Кудрявцевым.
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.
Ил. 88.
Р е ц е н з е н т ы:
заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин; профессор МФТИ, академик С.М. Никольский
ISBN 978-5-9221-1454-7 |
(T. 2) |
c ФИЗМАТЛИТ, 2010, 2013 |
ISBN 978-5-9221-1452-3 |
|
|
|
c Н. Л. Кудрявцев, Д. Л. Кудрявцев, 2013 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функций многих
переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . 7 |
|
§ 33. |
Многомерные пространства . . . . . . . . . . |
. . . . . . . |
. . . . . . . . . 7 |
|
33.1. Определение n-мерного пространства (7). |
33.2. Сходи- |
|
|
мость последовательностей точек в n-мерном пространстве (13). |
||
|
33.3. Различные типы множеств (20). 33.4. Компакты (28). |
||
§ 34. |
Предел и непрерывность отображений . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . 35 |
|
34.1. Функции многих переменных (35). |
34.2. Предел отобра- |
|
|
жений (36). 34.3. Непрерывность отображений в точке (40). |
||
|
34.4. Свойства пределов отображений |
(42). |
34.5. Предел |
|
и непрерывность композиции отображений (43). |
34.6. Повтор- |
|
|
ные пределы (45). |
|
|
§ 35. |
Непрерывные отображения множеств . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . 46 |
35.1. Непрерывные отображения компактов. Равномерная непрерывность отображений (46). 35.2. Непрерывное отображение линейно связных множеств (49). 35.3. Непрерывные отображения: общие свойства (51).
§ 36. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
36.1.Частные производные (53). 36.2. Дифференцируемость функций многих переменных (55). 36.3. Дифференцирование сложной функции (63). 36.4. Инвариантность формы первого дифференциала (65). 36.5. Геометрический смысл частных производных и дифференциала (66). 36.6. Производная по направлению. Градиент (68).
§37. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . . 71
37.1.Частные производные высших порядков (71). 37.2. Дифференциалы высших порядков (73).
§ 38. Формула Тейлора для функций многих переменных. . . . . . . . . |
74 |
38.1.Формула Тейлора для функций двух переменных (74).
38.2.Формула Тейлора для функций любого числа переменных (77).
4 |
Оглавление |
|
§ 39. Экстремумы функций многих переменных . . . . |
. . . . . . . . . . . 80 |
|
|
39.1. Необходимые условия экстремума (80). 39.2. Достаточные |
|
|
условия экстремума (82). |
|
§ 40. Неявные функции. Отображения . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . 87 |
|
|
40.1. Неявные функции, задаваемые одним уравнением (87). |
|
|
40.2. Декартово произведение множеств (94). |
40.3. Неявные |
|
функции, задаваемые системой уравнений (95). 40.4. Свойства |
|
|
якобианов отображений (100). 40.5. Непрерывно дифференци- |
|
|
руемые отображения (101). |
|
§ 41. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 41.1. Прямой метод отыскания точек условного экстремума (105). 41.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (107). 41.3. Достаточные условия для условного экстремума (110).
Г л а в а 5. Интегральное исчисление функций многих пере- |
|
менных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . 115 |
§ 42. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . 115 |
42.1. Объем (мера) в n-мерном пространстве |
(115). 42.2. Мно- |
жества меры нуль (132). 42.3. Разбиение |
измеримых мно- |
жеств (135). 42.4. Интегральные суммы. Определение кратного |
|
интеграла (137). 42.5. Неполные интегральные суммы (139). |
|
42.6. Существование кратного интеграла (143). 42.7. Свойства |
|
кратных интегралов (145). |
|
§ 43. Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . . . . . . . . . 152 43.1. Сведение двойного интеграла к повторному (152). 43.2. Сведение интеграла произвольной кратности к повторно-
му (158). 43.3. Объем n-мерного шара (160). 43.4. Независимость меры от выбора системы координат (161). 43.5. Формулы Ньютона–Лейбница и Тейлора (163).
§ 44. Замена переменных в кратных интегралах . . . . . . . . . . . . . . . 166 44.1. Линейные отображения (166). 44.2. Дифференцируемые отображения (169). 44.3. Формула замены переменного в кратном интеграле (179). 44.4. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения (185). 44.5. Криволинейные координаты (187).
§ 45. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 45.1. Криволинейный интеграл первого рода (191). 45.2. Криволинейный интеграл второго рода (194). 45.3. Интеграл второго рода как предел интегральных сумм (198). 45.4. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода (201). 45.5. Формула Грина (205). 45.6. Формула для площадей (210). 45.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области (211).
Оглавление |
5 |
§ 46. Элементы теории поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 46.1. Основные определения (214). 46.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (218). 46.3. Первая квадратичная форма поверхности (221). 46.4. Длина кривых на поверхности (222). 46.5. Площадь поверхности (222). 46.6. Ориентация поверхности (224).
§ 47. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 47.1. Определения поверхностных интегралов (228). 47.2. Формулы для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла (231). 47.3. Некоторые специальные случаи поверхностных интегралов второго рода (232).
§ 48. Скалярные и векторные поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 48.1. Основные понятия (235). 48.2. Формула Гаусса–Остро- градского (238). 48.3. Геометрическое определение дивергенции (241). 48.4. Формула Стокса (242). 48.5. Геометрическое определение вихря (247). 48.6. Соленоидальные векторные поля (248). 48.7. Потенциальные векторные поля (249).
§ 49. Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 49.1. Равномерная сходимость по параметру семейства функций (255). 49.2. Свойства интегралов, зависящих от параметра (258).
§ 50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . 262 50.1. Равномерно сходящиеся интегралы (262). 50.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра (268). 50.3. Интегралы Эйлера (271). 50.4. Интеграл Дирихле (273).
Г л а в а 6. Гармонический анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
276 |
§ 51. Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
276 |
51.1. Основные понятия (276). 51.2. Приближение функций ступенчатыми функциями (280). 51.3. Теорема Римана. Стремление коэффициентов Фурье к нулю (284). 51.4. Интеграл Дирихле. Принцип локализации (286). 51.5. Сходимость ряда Фурье в точке (290). 51.6. Суммирование рядов Фурье методом сред-
них арифметических |
(295). |
51.7. Приближение непрерывных |
|||
функций многочленами (300). |
|
|
|
||
§ 52. Функциональные пространства . . . . . . . |
. . . . . |
. . . . . . . . . . . 302 |
|||
52.1. Метрические пространства (302). |
52.2. Линейные про- |
||||
странства (314). 52.3. Нормированные и полунормированные |
|||||
пространства (316). |
52.4. Гильбертовы |
пространства (324). |
|||
52.5. |
Фактор-пространства |
(335). |
52.6. |
Пространство |
|
CL2 |
(338). 52.7. Лебеговы пространства L1 и L2 |
(340). |
|||
§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . 349 53.1. Ортогональные системы (349). 53.2. Полные системы (352). 53.3. Ряды Фурье (355). 53.4. Дифференцирование
6 |
|
Оглавление |
|
тригонометрических рядов Фурье и порядок убывания их |
|||
коэффициентов |
(367). |
53.5. Скорость сходимости триго- |
|
нометрических |
рядов |
(369). |
53.6. Ряды Фурье функций |
с произвольным |
периодом (371). 53.7. Запись рядов Фурье |
||
в комплексной форме (372).
§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 373 54.1. Представление функций интегралом Фурье (373). 54.2. Главное значение интеграла (380). 54.3. Преобразование Фурье (381). 54.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций (385).
§ 55. Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 55.1. Пространства D и D (390). 55.2. Дифференцирование обобщенных функций (394). 55.3. Пространство S (397). 55.4. Преобразование Фурье обобщенных функций (401).
Краткий очерк развития математического анализа . . . . . . . . . . . . . 406 Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Г л а в а 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§33. Многомерные пространства
33.1.Определение n-мерного пространства. Если на плоскости R2 фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (x, y) (x и y — координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если
впространстве задана аналогичная система координат, то между точ-
ками пространства и их координатами — всевозможными тройками (x, y, z) — также существует взаимно однозначное соответствие. С по-
мощью координат точек на плоскости, используя теорему Пифагора, можно выразить расстояние ρ между двумя точками M1 = (x1, y1)
и M2 = (x2, y2) формулой
|
|
ρ = ρ(M1, M2) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 . |
(33.1) |
В пространстве R3 формула для расстояния ρ между точками
M1 = (x1, y1, z1) и M2 = (x2, y2, z2) имеет аналогичный вид:
ρ = ρ(M1, M2) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 . |
(33.2) |
Пары (x, y) и тройки (x, y, z) чисел можно рассматривать также и как координаты векторов на плоскости и в пространстве. Как известно, различные операции над векторами можно описывать в терминах их координат. Например, координаты линейной комбинации
λa + μb векторов a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, x2) являются соответствующими линейными комбинациями координат данных векторов:
λa + μb = (λx1 + μx2, λy1 + μy2, λz1 + μz2), |
(33.3) |
в частности, |
|
a + b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2), |
(33.4) |
a − b = (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2). |
(33.5) |
Скалярное произведение (a, b) векторов a и b выражается через
их координаты следующим образом: |
|
(a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2, |
(33.6) |
8Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
а для длины |a| вектора a имеет место формула |
|
|a| = (a, a) = x12 + x22 + x32 . |
(33.7) |
Из (33.7) видно, что расстояние (33.2) между точками M1 = (x1, y1, z1) и M2 = (x2, y2, z2) есть не что иное, как длина вектор а с началом в одной из этих точек и концом в другой, т. е. длина разности (33.5) векторов a = (x1, y1, z1) и b = (x2, y2, z2):
ρ(M1, M2) = |a − b|. |
(33.8) |
Нам понадобится понятие n-мерного пространства (n — натуральное число), элементами x которого являются упорядоченные множества n действительных чисел
x = (x1, x2, ..., xn), xk R, k = 1, 2, ..., n.
Эти элементы по аналогии с обычным пространством можно рассматривать и как точки, и как векторы (n-мерного пространства). В первом случае для них определяется понятие расстояния, во втором — соответствующие векторные операции.
Линейная комбинация с коэффициентами λ и μ двух элементов
x = (x1, x2, ..., xn) и y = (y1, y2, ..., yn) по аналогии с формулой (33.3) определяется равенством
def |
, λx2 |
+ μy2, ..., λxn + μyn). |
(33.9) |
λx + μy = (λx1 + μy1 |
|||
В частности, |
|
|
|
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn), |
(33.10) |
||
x − y = (x1 − y1, x2 − y2, ..., xn − yn), |
(33.11) |
||
λx = (λx1 |
, λx2 |
, ..., λxn). |
(33.12) |
Скалярное произведение элементов x и y определяется равенством
def |
+ x2y2 |
+ ... + xnyn. |
(33.13) |
(x, y) = x1y1 |
Подчеркнем, что в случае n = 1, 2, 3 формулы (33.9) и (33.13) доказываются с помощью свойств геометрии трехмерного пространства, а в случае n > 3 они принимаются за определение.
О п р е д е л е н и е 1. Множество всех упорядоченных систем x = = (x1, x2, ..., xn) n действительных чисел, для которых определены ли-
нейные комбинации (33.9) и скалярное произведение (33.13), называется n-мерным арифметическим евклидовым векторным пространством и обозначается Rn. Его элементы x = (x1, ..., xn) называются
векторами, а числа x1, x2, ..., xn — их координатами.
Отметим, что для простоты записи векторы в n-мерном пространстве при произвольном n обычно обозначаются светлым шрифтом.
§ 33. Многомерные пространства |
9 |
Вектор 0 = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором.
def |
|
|
Для любого вектора x вектор −x = (−1)x называется противопо- |
||
ложным вектору x. Очевидно, что x + (−x) = 0. |
n |
имеет |
Скалярное произведение (33.13) векторов пространства R |
|
|
следующие свойства. |
|
|
1◦. Симметричность: (x, y) = (y, x). |
|
|
2◦. Линейность: (λx + μy, z) = λ(x, z) + μ(y, z). |
|
|
3◦. (x, x) 0. |
|
|
4◦. Если (x, x) = 0, то x = 0. |
|
μ R. |
Все это верно для любых x Rn, y Rn, z Rn и λ R, |
||
Свойства 1◦–4◦ непосредственно следуют из определения (33.13). Длина |x| вектора x пространства Rn по аналогии с формулой
(33.7) определяется равенством
|
|
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, x) , |
|
|
|
||||
следовательно, |
|
|x| = |
|
|
(33.14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
|
x2 |
+ x2 + |
... |
+ x2 . |
(33.15) |
||||
| |
| |
(33.13) |
1 |
2 |
n |
|
||||
Очевидно, что длина |x| вектора x равна нулю тогда и только тогда, когда x = 0.
Длина вектора обладает тем свойством, что для любого числа λ
имеет место равенство |
(33.16) |
|λx| = |λ||x|. |
В частности, | − x| = |x|.
Л е м м а 1. Для скалярного произведения векторов x Rn и y Rn
справедливо неравенство |
|
|(x, y)| |x||y|. |
(33.17) |
Это неравенство называется неравенством Коши–Шварца 1).
Если x = 0, то неравенство (33.17) очевидно, так как обе части обращаются в нуль.
Пусть x = 0. Для любого t R согласно свойству 3◦ скалярного произведения выполняется неравенство
(tx + y, tx + y) 0. |
(33.18) |
|
С другой стороны, в силу 1◦ и 2◦ |
|
|
(tx + y, tx + y) = (x, x)t2 + 2t(x, y) + (y, y), |
(33.19) |
|
поэтому |
0, |
|
(x, x)t2 + 2t(x, y) + (y, y) |
|
|
|
(33.18),(33.19) |
|
1) Г. Шварц (1843–1921) — немецкий математик.