Краткий курс математического анализа. Том 2

130 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Из неравенств (42.55) и (42.63) вытекает равенство (42.57), т. е. свойство 4.

Отметим, что как нижняя, так и верхняя меры множества не обладают свойствами аддитивности. Это видно уже в одномерном случае. Например, если X1 — множество рациональных, а X2 — иррациональных точек отрезка [0, 1], то

μ X1 = μ X2 = 0, μ (X1 X2) = μ [0, 1] = 1 = 0 = μ X1 + μ X2, μ X1 = μ X2 = 1, μ (X1 X2) = μ [0, 1] = 1 = 2 = μ X1 + μ X2.

З а м е ч а н и е 11. Добавление к измеримому множеству множества меры нуль или вычитание его из измеримого множества не нарушает измеримости исходного множества (это следует из свойства 3 меры, поскольку множества меры нуль измеримы) и не меняет его меры (а это следует непосредственно из свойства 4 меры). В частности, если X — измеримое множество, то измеримы его замыкание X и множество Xint его внутренних точек, причем

По теореме 1 имеем μ∂X = 0, поэтому

μ(X \ Xint) = μ(X \ X) = 0,

и, следовательно, имеет место равенство (42.64). В частности, если μX = 0, то μX = 0.

З а м е ч а н и е 12. Замыкание измеримого множества, как и замыкание всякого ограниченного множества, является компактом. Таким образом, замыкание измеримого множества есть измеримый компакт.

С в о й с т в о 5. Мера множества не меняется при параллельном переносе.

Прежде чем доказывать это утверждение, докажем еще одну лемму.

Л е м м а 5. Если

Xk X Yk,

Xk, Yk — измеримые множества, k = 1, 2, ..., и

lim μ(Yk \ Xk) = 0,

k→∞

то множество X также измеримо и

μX = lim μXk = lim μYk.

k→∞ k→∞

= lim μ(Yk \ Xk) = 0.

k→∞

Из включений X X Yk , Xk Xint имеем ∂X = X \ XintYk \ Xk. Поэтому имеет место неравенство μ ∂X μ(Yk \ Xk),

откуда при k → ∞ получаем μ ∂X = 0, а значит, и μ∂X = 0. Это согласно теореме 1 означает измеримость множества X. (Ограниченность множества X, которая требуется в условиях теоремы 1, следует из включения X Yk и ограниченности множества Yk, как всякого измеримого множества.)

Далее, X \ Xk Yk \ Xk, Yk \ X Yk \ Xk, поэтому

μ(X \ Xk) μ(Yk \ Xk), μ(Yk \ X) μ(Yk \ Xk),

X + a = {x + a : x X}. Если Q — n-мерный куб с ребрами длины h и параллельными осям координат, то множество Q + a также является кубом того же вида и, следовательно, измеримым множеством, причем (см. замечание 4)

μ(Q + a) = μQ = hn.

Для каждого натурального k множества Xk = sk(X) + a, Yk = = Sk(X) + a измеримы, так как являются объединением конечного числа измеримых множеств вида Q + a, где Q — куб ранга k, и

μXk = μsk(X), μYk = μSk(X),

ибо меры множеств Xk и Yk равна сумме мер (как в формуле (42.6)), составляющих их кубов.

Поскольку

Xk X + a Yk

и

5*

132 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

то согласно лемме 5 множество X + a измеримо и

μ(X + a) = lim μXk = lim μsk(X) = μX.

k→∞ k→∞

З а м е ч а н и е 13. Рассмотрим (n + 1)-мерное пространство Rn+1 как произведение n-мерного Rn и числовой оси R:

Rn+1 = Rn ×R.

Если X Rn, [a, b] R, то множество X × [a, b] точек (x1, ..., xn, y),

(x1, ..., xn) X, y [a, b], называется цилиндром с основанием X

(см. п. 40.2) и образующей [a, b].

Можно доказать, что если X — измеримое в смысле n-мерной меры множество, то цилиндр X × [a, b] измерим в смысле (n + 1)-мерной

У п р а ж н е н и е 2. Доказать утверждения замечания 13.

42.2. Множества меры нуль. Укажем два типа множеств, мера Жордана которых всегда равна нулю (на подобные множества нередко удается разбить границу рассматриваемых множеств и тем самым доказать их измеримость).

Т е о р е м а 2. График всякой непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана, равную нулю.

Пусть X Rn, X — компакт, y = f (x) — непрерывная на X функция, x X, y R и

Y= {(x, y) : x = (x1, ..., xn) X, y = f (x)} Rn+1

—график функции f. Покажем, что (n + 1)-мерная мера множества Y равна нулю.

Из компактности множества X следует его ограниченность. Поэтому существует n-мерный куб Qn(m) вида

содержащий множество X:

X Qn(m).

Обозначим через Qn(m + 1) куб, определяемый аналогично (42.66) с заменой m на m + 1. Тогда ясно, что

т. е. Sk(Y ) можно представить в виде объединения столбиков Pkn,+i 1.

Обозначим через h(kn,i) высоту столбика Pkn,+i 1, тогда

(kn,i)μnQnk,i, i = 1, 2, ..., ik.

(42.70)

Пусть ωk,i(f ) — колебание функции f на пересечении X ∩ Qnk,i компакта X с кубом Qnk,i, т. е. верхняя грань разностей f (x ) − f (x), когда x, x X ∩ Qnk,i (см. (35.2)). Тогда (см. рис. 23, n = 1, X = [a, b])

Зададим теперь произвольно ε > 0. Поскольку функция f непрерывна на компакте X, то она и равномерно непрерывна на нем (теорема 2 из п. 35.1). Следовательно, существует такое δ > 0, что для любого множества E X, diam E < δ, колебание ω(f ; E) функции f на множестве E удовлетворяет неравенству ω(f ; E) < ε. Поэтому, если ранг k таков, что диаметр 10−k√n куба ранга k меньше δ, то колебание ωk,i(f ) функции f на пересечении X ∩ Qnk,i меньше ε,

так как

diam X ∩ Qnk,i diam Qnk,i < δ.

Второе слагаемое в правой части неравенства (42.71) стремится

134 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Поскольку ε > 0 было выбрано произвольно, а μnQ(m + 1) — фиксированное число, то

lim μn+1Sk(Y ) = 0.

k→∞

Это и означает, что μn+1Y = 0.

Из теоремы 2 следует, что если граница подмножества n-мерного пространства представима как объединение конечного числа графиков непрерывных на некоторых компактах функций n − 1 переменных, то это подмножество измеримо по Жордану, так как его граница имеет n-мерную меру Жордана, равную нулю.

Простейшими примерами таких множеств являются n-мерные параллелепипеды и шары. Отметим, что при n = 2 к множествам этого типа относятся и криволинейные трапеции (см. п. 28.1), а при n = 3 тела вращения, рассмотренные в п. 28.5. Этим и объясняется то, что при определении площадей и, соответственно, объемов этих множеств мы обошлись лишь понятием внутренней меры μ (см. п. 27.1 и п. 27.2).

Те о р е м а 3. Всякая плоская спрямляемая кривая имеет двумерную меру (площадь), равную нулю.

Пусть Γ = {r = r(t), a t b} — плоская спрямляемая кривая (r(t) — точка плоскости R2) и S — ее длина. Разобьем кривую Γ

точками r(ti), a = t0 < t1 < ... < ti < ... < tm = b,

на m равных по длине дуг Γi = {r = r(t), ti−1t ti}, i = 1, 2, ..., m: длина Γi равна

Мы воспользовались здесь равенством μ Ki = μKi. Справедливость его вытекает из того, что круг — измеримое множество, так как его границу можно представить в виде объединения двух полуокружностей, каждая из которых является непрерывной на отрезке функцией

и, следовательно, по теореме 2 имеет меру нуль. Поэтому круг, согласно теореме 1, — измеримое множество.

Из (42.74) имеем μ Γ = 0. Это и означает (см. замечание 1 в п. 42.1), что μΓ = 0.

Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно представить в виде конечного объединения гладких кривых (п. 17.2).

Как известно (п. 17.3), всякая гладкая кривая спрямляема, поэтому спрямляемы и кусочно-гладкие кривые. Отсюда, согласно теореме 3, следует, что всякое ограниченное множество на плоскости, граница которого состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, является квадрируемым.

З а м е ч а н и е 1. Аналогично теореме 3 доказывается, что n-мер- ная мера спрямляемой кривой, лежащей в n-мерном пространстве, равна нулю. Для этого в доказательстве теоремы 3 достаточно круги, которыми покрывается рассматриваемая кривая, заменить соответствующими шарами.

следует из формулы (42.65).

42.3. Разбиение измеримых множеств. Пусть X — измеримое по Жордану множество, лежащее в пространстве Rn. Конечная

где diam Xj — диаметр множества Xj , называется мелкостью разбиения τ .

Если τ = {Xj }jj==j1τ и τ = {Xi }ii==i1τ — два разбиения множества X и для каждого Xi τ существует такое Xj τ , что Xi Xj , то го-

ворят, что разбиение τ вписано в разбиение τ (или, что разбиение τ

следует за разбиением τ ), и пишут τ τ или, что то же самое, τ τ .

С в о й с т в а р а з б и е н и й.

1◦ (т р а н з и т и в н о с т ь). Если τ τ и τ τ , то τ τ . Это непосредственно вытекает из определения следования одного

разбиения за другим (ср. с соответствующим свойством разбиения

отрезка на отрезки в п. 23.1).

2◦ (ф и н а л ь н о с т ь). Для любых двух разбиений τ и τ множества X существует его разбиение τ , следующее и за τ , и за τ :

τ τ , τ τ .

136 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

За элементы разбиения τ можно взять всевозможные пересечения элементов разбиений τ и τ .

Л е м м а 6. Если τ = {Xj }jj==j1τ — разбиение множества X, то

jτ

μX = μXj .

j=1

Пусть X — объединение всевозможных попарных пересечений различных множеств Xj τ (эти пересечения по определению разбиения имеют меру нуль), т. е.

X = Xi ∩ Xj .

i=j

Сумма конечного множества множеств меры нуль также имеют меру нуль:

Обозначим через Xj множество, получающееся из множества Xj удалением из него точек множества X :

Xj = Xj \ X .

Если из множества вычесть множество меры нуль, то его мера не изменится. Поэтому

Множества Xj попарно и с множеством X не пересекаются. Очевидно, имеет место равенство

причем слагаемые его правой части не пересекаются. Поэтому, используя аддитивность меры, получим

Л е м м а 7. У всякого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости.

Пусть X — измеримое множество, X Rn. Обозначим через Xk,j , j = 1, 2, ..., jk, всевозможные непустые пересечения кубов ранга k

138 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

а точки ξ(j,m) выбраны произвольным образом в множествах Xj(m):

ξ(j,m) Xj(m), j = 1, 2, ..., jm, m = 1, 2, ...

Этот предел, если он существует, называется интегралом Римана от функции f по множеству X и обозначается

f (x) dx.

X

Таким образом,

X

Условие (42.79) равносильно тому, что существует число, обозначаемое f (x) dx, которое удовлетворяет следующему условию:

Доказательство эквивалентности условий (42.79) и (42.80) проводится аналогично доказательству эквивалентности определения предела функции в терминах последовательности и в терминах окрестностей (см. п. 6.4).

У п р а ж н е н и е 3. Доказать эквивалентность условий (42.79) и (42.80).

Выполнение условия (42.79), или, что равносильно, условия

X

и говорят, что интеграл f (x) dx является пределом интегральных

X

сумм στ при |τ | → 0.

Множество X, по которому производится интегрирование, часто называют областью интегрирования.

Вместо «функция, интегрируемая по Риману», и «интеграл Римана» будем для краткости говорить просто «интегрируемая функция»

и «интеграл». Если n > 1, то интеграл f (x) dx называется кратным

... f (x1, ..., xn) dx1... dxn.

X

В случае n = 2 он называется двойным, в случае n = 3 — тройным интегралом, а в случае произвольного n N — n-кратным.

З а м е ч а н и е 1. Интегральные суммы являются функциями, аргументами которых являются разбиения τ и точки ξ(j), j = 1, 2, ..., jτ , лежащие в элементах этих разбиений. Однако предел интегральных сумм это не предел функции, а принципиально новое понятие. При переходе к пределу интегральных сумм их аргументы τ и ξ(j), j = 1, 2, ..., jτ , изменяются, но ни к чему не стремятся, и здесь нельзя, как в случае предела функции, указать «точку» (τ , ξ(1), ..., ξ(jτ )),

вкоторой берется предел интегральных сумм.

За м е ч а н и е 2. Можно показать, что в случае n = 1 и X = [a, b] (т. е. когда X — отрезок) определения интеграла по отрезку в смысле ранее данного определения в п. 32.1 (т. е. когда рассматривались интегральные суммы, соответствующие только разбиению отрезка на отрезки) и в смысле определения этого пункта (т. е. когда рассматриваются интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка на произвольные измеримые множества) равносильны, т. е. приводят к одному и тому же понятию интеграла.

З а м е ч а н и е 3. В дальнейшем нам не раз придется встречаться с пределами типа (42.81) в несколько более простой ситуации, а именно, когда задана некоторая функция F (τ ), определенная на множестве всех разбиений τ некоторого измеримого множества X (таким образом, здесь F (τ ) зависит только от τ , в отличие от интегральных

сумм, которые зависят еще от точек ξ(j), j = 1, 2, ..., jτ ).

Будем говорить, что число a является пределом функции F (τ ) при

если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех разбиений τ мелкости |τ | < δ имеет место

|F (τ ) − a| < ε.

У п р а ж н е н и е 4. Сформулировать в предположениях замечания 3 определение предела функции F (τ ) при |τ | → 0 в терминах пределов последовательностей так, чтобы оно было равносильно определению (42.82).

42.5. Неполные интегральные суммы. Введем еще обозначения, которые мы будем неоднократно использовать.