решение 18 вариант

Задание 1.

18.На 10 карточках написаны различные цифры от 0 до 9. Найти вероятность того, что наудачу образованное с помощью карточек трехзначное число делится на 50.

Решение. Чтобы трехзначное число, образованное с помощью карточек, делится на 50, оно должно оканчиваться на 50 (других вариантов нет, так карточек с цифрой 0 – одна и она должна стоять последней)

Формируем трехзначное число слева направо: вероятность того, что первая цифра не 5 или 0 8/10, вероятность того, что вторая цифра 5 – 1/9,

вероятность того, что третья цифра 0 – 1/8.

Тогда искомая вероятность равна

p 108 19 81 901

Аналогичный результат получаем, если начинаем формировать число справа налево, вероятности в этом случае будут равны 1/10, 1/9, 1, а искомая вероятность

p 101 19 1 901

Ответ: 1/90

Задание 2.

18.Цех производит 95 % стандартных изделий, причем 90 % из них первого сорта.

Найти вероятность того, что среди трех случайно отобранных изделий хотя бы одно первого сорта.

Решение. Пусть событие А – деталь первого сорта, событие A - деталь не первого сорта. Вероятность того, что деталь первого сорта равна p(А)

=0,95 0,90=0,855 или 85,5%, тогда вероятность того, что деталь не первосортная q=Р( A )= 1-p=0,145.

Найдем вероятность события B= A A A - того, что среди трех случайно отобранных изделий нет ни одного первого сорта. Так как события независимы, то

P(B)=Р( A A A )=Р( A )Р( A )Р( A )=0,1453 0,00305

Событие C, состоящее в том, что среди трех случайно отобранных изделий хотя бы одно первого сорта, противоположно событию В. Тогда его вероятность равна равна

P(C) = 1 - P(B) = 0,99695

Ответ: вероятность того, что среди трех случайно отобранных изделий хотя бы одно первого сорта

0,99695.

Задание 3.

18. На склад поступают детали с трех станков. Вероятность выпуска брака на первом станке 0,03, на втором 0,02, на третьем 0,01.

Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а третьего в два раза больше второго. Найти вероятность того, что:

1)наудачу взятая со склада деталь будет бракованной;

2)она произведена на втором станке.

Решение.

Введем обозначения событий: А – наугад выбранная единица -

бракованная.

Введем следующие предположения(гипотезы) об изготовлении детали:

В1 – произведенная деталь изготовлена 1-м станком, В2 – произведенная деталь изготовлена 2-м станком, В3 – произведенная деталь изготовлена 3-м

станком. Если второй станок производит х деталей, то первый - 3х деталей, а

третий -2х деталей. Поскольку всего имеется три гипотезы, вероятность первой три раза больше, чем во второй, а третей в 2 раза больше чем второй,и

сумма вероятностей гипотез равна единице(так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна соответственно

Р(В1) = 3/6=1/2, Р(В2) = 1/6, Р(В3) = 2/6=1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованной, если она изготовлена 1-м станком, PB1 (A) =0,03.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованной, если она изготовлена 2-м станком, PB2 (A) =0,02.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованной, если она

изготовлена 3-м станком, PB3 (A) =0,01.

1)Вероятность того, что наугад выбранная единица окажется бракованной, по формуле полной вероятности равна

=1/2 0,03+1/6 0,02+1/3 0,01= 60013 =0,0217

2)Вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной и изготовлена на втором станке по формуле Бейеса равна

Ответ: 1) 0,0217; 2) 0,154.

Задание 4.

18. Батарея дала 14 выстрелов по военному объекту с вероятностью

попадания в него, равной 0,2. Найти

1)наивероятнейшее число попаданий и его вероятность;

2)вероятность разрушения объекта, если для этого требуется не менее

4 попаданий.

Решение. По условию, n = 14,р = 0,2, q = 1-p=0,8.

1) Найдем наивероятнейшее число ko из двойного неравенства np - q k0 < nр + р.

Подставив данные задачи, получим

14 0,2- 0,8 k0 < 14 0,2 + 0,2, или 2 k0 <3.

Так как k0—целое число и поскольку между числами 2 k0 <3

заключено одно целое число, а именно 2, то искомое наивероятнейшее число k0=2.

2)Число испытаний небольшое. Воспользуемся формулой Бернулли для нахождения вероятности 0, 1,2 и 3 попаданий. Суммируя эти значения, получим вероятность не разрушения объекта, а

вероятность противоположного события и даст вероятность разрушения объекта

Вероятность того, что в объект будет произведено менее 4

попаданий равно 0,6982. Тогда вероятность того, что в объект будет произведено не менее 4 попаданий равно 0,3018

Ответ: 1) 2; 2) 0,3018.

Задание 5.

В технической системе дублированы не все, а только некоторые

(наименее надежные) узлы. Надежности (вероятности безотказной работы)

узлов проставлены на рисунках. Найти надежность всей системы.

1 2

Решение. Рассмотрим части системы, соединенные параллельно.

Рассмотрим узел 1 системы. Вероятность выхода из строя этого узла равна произведению вероятностей выхода из строя входящих в него частей и равна (1-0,7)(1-0,6)=0,3 0,4=0,12. Тогда вероятность безотказной работы этого узла равна 1-0,12=0,88.

Аналогично, для узла 2 получаем надежность (вероятности безотказной работы) равную 1-0,1 0,4=0,96

Рассмотрим части системы, соединенные последовательно.

Вероятность безотказной работы в этом случае находится как произведение вероятностей входящих в систему частей и равна

P=0,88 0,7 0,8 0,96=0,473

Ответ: надежность всей системы равна 0,473.

Задание 6.

6.18.а) Найти закон распределения случайной величины Х:

Испытывается устройство, состоящее из трех независимо работающих блоков. Вероятности отказа блоков таковы: р1 = 0.3, р2 = 0,5, р3= 0,6. Х -

число отказавших блоков.

Решение. a) q1=1 - р1 = 0,7, q2=1 - р2 = 0,5, q3=1 - р3= 0,4

Введем обозначения событий: А – первый блок работает без отказов, B– второй блок работает без отказов, С– третий блок работает без отказов.

P(A)=0,3; P(B)=0,5; P(C)=0,6; тогда P( A )=0,7; P( B )=0,5; P( C )=0,4 X=0, это событие ABC. События A, B, C независимы

P(ABC)= P(A) P(B) P(C)=0,3 0,5 0,6=0,09

X=1, это событие A BC+ A B C+ AB C , события A BC, A B C, AB C не совместны.

P( A BC+ A B C+ AB C )= P( A BC) +P(A B C) +P(AB C )= =0,7 0,5 0,6+0,3 0,5 0,6+0,3 0,5 0,4=0,21+0,09+0,06=0,36

X=2, это событие A B C + A B C + A B C, события A B C , A B C , A B C не

совместны.

P(A B C + A B C + A B C)= P(A B C ) +P( A B C ) +P( A B C)= =0,3 0,5 0,4+0,7 0,5 0,4+0,7 0,5 0,6=0,06+0,14+0,21=0,41

X=3, это событие A B C .

P( A B C )=P( A )P( B )P( C )=0,14

Закон распределения случайной величины Х имеет вид

Контроль: 0,09+0,36+0,41+0,14=1

б). Случайная величина Х задана рядом распределения

1) Найти функцию распределения F(х) случайной величины Х и построить ее график.

2) Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X) случайной

величины Х, построить многоугольник распределения.

Значения параметров х1, х2, х3, х4, р1, р2, р3, р4 вычислить по следующим формулам: N- номер варианта;

R=остаток(N/4)+2=4;

х1= N+3=21;х2= х1+ R =25;х3= х2+ R =29;х4= х3+ 2R =37;

Контроль: 1/9+1/7+125/252+1/4=1

1) Найходим функцию распределения F(х) случайной величины Х Если x 21, то F(x)=P(X < x)=0;

eсли 21<x 25, то F(x)=P(X < x)= 1/9;

eсли 25<x 29, то F(x)=P(X < x)= 1/9+1/7=16/63;

eсли 29<x 37, то F(x)=P(X < x)= 1/9+1/7+125/252=189/252; eсли x>37, то F(x)=P(X < x)= 1/9+1/7+125/252+1/4=1

Построим ее график

2) Построим вспомогательную таблицу

Задание 7а. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону

распределения с плотностью f(x). Требуется:

1)найти коэффициент b;

2)найти интегральную функцию распределения F(x);

3)построить графики функций f(x) и F(x);

4)найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и (Х)

случайной величины Х и вероятность попадания CВ Х в интервал (х1, х2).