17.2. Способы предоставления общественных благ
Производство и распределение частных благ являются Парето-эффективными, если предельная норма субституции любой их пары одинакова у всех потребителей и равна предельной норме продуктовой трансформации этих благ. Для определения эффективности производства1 общественных благ используем ту же алгебраическую модель
В хозяйстве, состоящем из двух индивидов (I,II), производится один вид частного блага (z) и один вид общественного блага (у). Известны индивидуальные функции полезности:
Ui =UI (Qz,I,Qy),
UII = UII(Qz,II,Qy),
Где Qz,I – количество частного блага, потребляемого i-тым потребителем;
Qy – количество общественного блага, одинаковое для каждого потребителя.
Технология производства обоих благ представлена трансформационной функцией:
T(Qz,Qy) = 0
Производство общественного блага является Парето-эффективным, если при заданном значении функции полезности индивида II функция полезности индивида I достигает максимума, так как в этом случае нельзя повысить благосостояние одного из индивидов, не снижая благосостояние другого. Формально это записывается так:
UI (Qz,I,Qy) → max при UII(Qz,II,Qy) = U^ и T(Qz,Qy) = 0
Функция Лагранжа в данном случае принимает вид
L= UI (Qz,I,Qy) – λ[UII(Qz,II,Qy) - U^] – μ[T(Qz,Qy) – 0].
У
δUI δT
δQz,I μ δQz (1)
δUI δUII
δQy δQy λ + δT δQy μ (2)
δUII δQz,II μ λ - δT δQz (3)
И
δUI δQy δUI δQz,I δUII δT
з
условий (1) и (2) следует
δQy λ δT δQz μ + δQy δT δQz (4)
С учетом условия (3) выражение (4) можно представить в виде
+ = δUI δQy δUI δQz,I δUII δQy δUII δQz,II δT δQy δT δQz (5)
Что соответствует MRSy,zI + MRSy,zII = MRTPy,z .
Таким образом, производство общественных благ является Парето-эффективным, если сумма индивидуальных предельных норм субституции частного блага общественным благом равна предельной норме продуктовой трансформации этих благ.
Приведем также упрощенное доказательство от противного.
Допустим, что MRSy,zI + MRSy,zII < MRTPy,z .
Пусть MRSy,zI = 0.25, MRSy,zII = 0.5, а MRTPy,z = 1.
Это означает, что благосостояние потребителя I не изменится, если ему взамен 1 ед. общественного блага дать 0.25 ед. частного блага, а благосостояние потребителя II сохранится на прежнем уровне, если взамен 1 ед. общественного блага он получит 0.5 ед. частного блага. В соответствии с существующей технологией за счет сокращения производства общественного блага на единицу можно на единицу увеличить производство частного блага, что на 0.25 ед. больше, чем требуется для компенсации обоим потребителям.
Следовательно, при MRSy,zI + MRSy,zII < MRTPy,z можно добиться улучшения по Парето за счет перевода части ресурсов из производства общественного блага в производство частного блага.
На основе аналогичных рассуждении можно убедиться, что при
MRSy,zI + MRSy,zII > MRTPy,z
к улучшениюнию по Парето приведет обратное перераспределение производственных ресурсов.
Наглядно эффективная аллокация при производстве частного и общественного блага представлена на рис. 17.1.
В верхней его части изображены кривая производственных возможностей (кривая трансформации TT) обоих благ и фиксированный уровень благосостояния потребителя II в виде одной из его кривых безразличия (U^II). Она представляет все возможные сочетания различных количеств частного и общественного блага, которые обеспечивают заданный уровень благосостояния потребителя II. Если из всего объема произведенных благ вычесть то их количество, которое соответствует U^, то узнаем, сколько благ остается потребителю I. Поэтому разность между кривыми ТТ и U^II образует в нижней части рисунка кривую потребительских возможностей (CC) индивида I.
В данных условиях потребитель I максимизирует свою функцию полезности, если выберет такую комбинацию обоих благ, которая соответствует точке касания его кривой потребительских возможностей с наиболее отдаленной кривой безразличия, т. е. комбинацию Q*z,I и Q*у. Второй индивид, заданный уровень благосостояния получает за счет потребления Qz,I , Q*у - Парето-эффективную аллокацию представляет комбинация Q*z, Q*у
Рис. 17.1. Парето-эффективность при производстве общественных благ
По рис. 17.1 можно заметить, что, как правило, Парето-эффективный объем производства общественного блага меняется с изменением распределения благосостояния между индивидами. Так, в случае перераспределения благосостояния в пользу индивида II кривая U^II сдвигается от начала координат; вследствие этого при заданной технологии кривая потребительских возможностей индивида I опустится вниз, и ее точка касания с более низкой кривой безразличия потребителя I может указать на другой, чем Q*у, объем производства общественного блага. Исключением из этого правила является случай квазилинейности предпочтений потребителей, при котором карта безразличия индивидов образуется в результате параллельного сдвига кривой безразличия. В этом случае точка касания кривой потребительских возможностей с кривой безразличия потребителя I всегда будет иметь одну и ту же координату на оси абсцисс. Следовательно, при квазилинейных предпочтениях потребителей, и заданной технологии эффективный объем производства общественного блага однозначно определен.
Для дальнейшего анализа условие (5) целесообразно представить в другом виде. Допустим, что частное благо представлено деньгами. В этом случае MRSiy,z, есть максимальная сумма денег, которую i-тый потребитель согласен заплатить за дополнительную единицу общественного блага, т. е. его цена спроса на это благо – MRSiy,z, = РyD,i; а MRTPy,z, показывает, сколько денег надо затратить для производства дополнительной единицы общественного блага, т. е. предельные затраты его производства – МСу.
Функция цены спроса на общественное благо выводится так же, как функция цены спроса или объема спроса на частное благо, если в бюджетном уравнении индивида учесть расходы, возлагаемые на него в связи с производством общественных благ:
М = РzQz + РyQy,
где Рy – затраты на единицу производства общественного блага, возлагаемые на индивида.
В этом случае уравнение бюджетной линии принимает вид
Qz = М/Рz+ РyQy/Рz.
С изменением Рy бюджетная линия будет поворачиваться вокруг точки, соответствующей значению М/Рz на оси ординат, и переводить индивида с одной кривой безразличия в пространстве Qz,Qy на другую.
В результате этого, можно построить, индивидуальную кривую цены спроса на общественное благо. Используя понятие функции цены спроса на общественное благо, запишем условие достижения Парето-эффективной аллокации при производстве общественного блага
РyD,I + РyD,II = МСу (6)
Сумма индивидуальных цен спроса на общественное благо должна равняться предельным затратам его производства. В графическом виде условие (6) изображено на рис. 17.2.
Рис. 17.2. Парето-оптимальное производство общественных благ
Парето-эффективный объем общественного блага определяется пересечением кривой, полученной в результате вертикального сложения линий индивидуальных цен спроса, с кривой предельных затрат производства общественного блага.