7

или (4-54)

При воздействии единичного скачка на средство измерений возникает динамическая погрешность ∆y(t) =h(t)-k_номl(t) или ∆x(t)= h(t)-k_номl(t). При таком воздействии погреш­ность ∆х (t) для инерционных средств измерений в момент вклю­чения х (t) достигает значения амплитуды скачка х(t), уменьша­-

Рис 4-13. Переходная (а) и весовая (б) функции звена первого порядка

ясь со временем в зависимости от динамических свойств средств измерений. Текущее значение динамической погрешности ∆х (t) полностью определяется переходной характеристикой рассматри­ваемого динамического звена.

Переходная характеристика h (t) звена первого порядка (рис. 4-13, а), определяемая решением уравнения (4-48) при х (t)=1 (t), имеет вид

(4-55)

Импульсная переходная характеристика g (t) = (рис. 4-13, б) для данного звена

g(t)= (4-56)

Часто для оценки переходного режима определяют время установления t_y. Из выражения (4-55) время установления t_y = , где , ∆h — допускаемая погреш­ность установления выходной величины (см. рис. 4-13, а). Для некоторых электроизмерительных приборов за t_y , принимается время, необходимое для установки указателя на геометрическую середину шкалы с погрешностью ±1% длины шкалы, т. е. = 1/50. В этом случае t_y =4T₁.

Для звена второго порядка вид характеристики h (t) и g (t) зависит от (см. рис. 4-14). Для этого звена рассматривают три режима:

колебательный режим (< 1)

; (4-57)

; (4-68)

Рис. 4-14. Переходная (а) и весовая (б) функции звена второго порядка

критический режим (β=1)

(4-59)

(4-60)

апериодический режим (β>1)

Рис. 4-16. График зави­симости от β приведен­ного первого макси­мального отклонения от установившегося значения для звена второго порядка

Рис. 4-15. График зависи­мости относительного вре­мени установления выход­ного сигнала t_y/Tо от β для звена второго порядка

; (4-61)

(4 - 62)

Критический режим является граничным между колебатель­ным (β<1) и апериодическим (β> 1); он характерен тем, что переходный процесс в таком режиме наиболее быстро и апериоди­чески стремится к установившемуся значению. Однако если вре­мя установления определят с рекомендованной для электроизме­рительных приборов погрешностью установления (см. звено пер­вого порядка), то минимум t_y будет при β=0,8. Для этого случая на рис. 4-15 приведен график зависимости относительного време­ни установления t_y/T₀ от β, где То=2π/w₀.

При колебательном характере переходного процесса в ряде случаев оценивают первое максимальное отклонение ∆h_max выход­ного сигнала (см. рис. 4-14) от установившегося значения h(). Для этого определяют значение первого экстремума пе­реходной характеристики h (t=t_1з)> где t_1з находят из условия g(t=t_1з)=0.

Из уравнений (4-57) и (4-58) получим

(4-63)

График зависимости ∆h_max/k_ном приведен иа рис. 4-16.

Частотные характеристики. Частотные методы анализа осно­ваны на исследовании прохождения гармонических колебаний различных частот через средства измерений. Если на вход линей­ного устройства подать сигнал X (jw) — Х_т (w) e^jwt, то выходной сигнал можно записать в виде У(jw)=У_m(w)e^j[wt+t(w)]=. Отношение

(4-64)

называют амплитудно-фазовой характеристикой. Амплитудно-фазовую характеристику можно получить из дифференциального уравнения (4-44), подставив в него выражения X(jw) и У (jw) и решив полученное уравнение относительно Y_m/X_m:

К (jw)=k_ном/[A_n(jw)ⁿ + A_n-1(jw)^n-1 + …+A₁jw +1]. (4-65)

Следует иметь в виду, что У(jw.) представляет собой частное решение дифференциального уравнения и поэтому амплитудно-фазовая характеристика К(jw) непосредственно определяет только установившийся режим.

На практике широкое распространение получила амплитуд­но-частотная характеристика (АЧХ) K(w) = |K(jw)|=Y_m(w)/X_m(w) и фазово-частотная характеристика (ФЧХ) —.

Из выражения (4-65) получают выражения К (jw), К (w) -и для типовых звеньев.

Идеальное безынерционное звено имеет

K(jw) =k_ном, K(w)=k_ном, =0. (4-66) Звено первого порядка (см. рис. 4-17)

K(jw)=k_ном/(1+jwT₁); (4-67)

K(w) = k_H0M/; (4-68)

= - arctgwT₁. (4-69)

Звено второго порядка (см. рис. 4-18)

K(jw)=k_ном/ (1 - w²/w₀²+j2βw/w₀) ; (4-70)

К (w) =k_ном/ (4-71)

=- arctg (4-72)

Рис. 4-17. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (б) характери­стики звена первого порядка

Для звена второго порядка вид АЧХ и Ф-ЧХ существенно зависит от степени успокоения β, При β=0,6-0,7 в относительно широком диапазоне частот (см. рис. 4-18) К (w) ≈ k_ном. Этот режим важен для многих практических применений средств изме­рений. При β<0,6 наблюдаются резонансные явления для частот w, близких к w₀.

Ясная физическая интерпретация и относительная простота экспериментального определения послужили причиной широкого применения частотных характеристик в измерительной технике.

Рис. 4-18. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (б) характеристики звена второго порядка.

Рис 4.19. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотyая (б) характери­стики некоторого средства измерений

Рассмотрим возможность оценки динамических погрешно­стей по известным АЧХ и ФЧХ средств измерений для сигнала х (t), заданного диапазоном изменения от —х_т до +х_m и частот­ным диапазоном 0—w_m. Предположим, что средство измерений имеет такие АЧХ и ФЧХ, как показано на рис. 4-19. Для частот О —w_Ср характеристики K(w) = k_ном, , где t₃=const — время задержки выходного сигнала. Частоту w_ср называют часто­той среза (на практике К (w)≈k_ном с некоторой заданной по­грешностью) . Для частот w > w_ср характеристика К (w) ≠ k_H0M, а φ (w) имеет нелинейную зависимость от частоты.

Сначала оценим влияние на динамическую погрешность толь­ко АЧХ. Для этого условно примем φ(w) =0. При w_т<w_ср, оче­видно, погрешность не возникает, так как каждая гармоническая составляющая передается с одним и тем же коэффициентом k_ном; при w_m> w_ср они передаются с К (w) ≠k_ном, что приводит к иска­жению y(t), а следовательно, и появлению погрешности. Для каждой гармонической составляющей xi (t) =X_mi sin w_it относи­тельная погрешность

σ_Ai= [X_miK(w_i)—X_mi k_ном]/ (X_mi k_ном) =[K(w_i)-k_ном]/k_ном (4-73)

где K(w_i) — значение АЧХ на частоте w_i (. Можно показать, что для полигармонического сигнала при условии \х(t)|≤ х_m макси­мальная приведенная погрешность будет определяться выраже­нием

max y_A ≤ max [К (w≤w_m) –k_ном]/k_ном, (4-74)

где max [К (w≤w_m) — k_ном]—максимальная разность коэффи­циентов передачи в пределах диапазона частот 0—w_m, определяе­мая по АЧХ средства измерений.

. Теперь рассмотрим влияние ФЧХ на результаты измерений. Примем условно К(w)=k_ном во всем диапазоне рассматривае-

Рис. 4-20. Выходные сигналы реального у (t) и идеального y_и (t) средства измерений

мых частот. При х (t) =Х_т sinwt имеем у_и (t) =k_ном Х_т sin wt, 'y{f)=k_ном X_msin(wt+φ). В тех случаях, когда требуется «жесткая привязка» результатов измерений во времени, возникает погрешность ∆y(t)=y(t)-y_и(t) вызванная фазовым сдвигом.

Из рис. 4-20 видно, что при φ<π эта погрешность максимальна

при wt=φ/2;

max|∆y(t)|=2k_yjv X_msin φ/2. (4-75)

Если X(t) представляет собой сумму N гармонических X_i(t) ≤X_m, то максимально возможная погрешность

max \∆у (t)|

где max|φ_i|— максимальный фазовый сдвиг в диапазоне частот 0—w_m, определяемый по ФЧХ. Отсюда максимальная приведен­ная погрешность

maxY_и=max|∆y(t)|/(2k_номX_m)≤sin[max|φ_i|/2] (4-76)

В некоторых измерительных задачах задержка выходного сигнала во времени несущественна или она может быть учтена в процессе обработки результатов измерений. Важной в таких задачах является точная передача формы сигнала. Так, если сместить сигнал у (t) (см. ряс. 4-20), точно отражающий ха­рактер изменения х (t), на время t₃=φ/w то он полностью совпадает с сигналом у_n(t) в этом смысле погрешность будет отсут­ствовать. Для сложного сигнала с диапазоном частот 0—w_m, лежащим в пределах линейной фазовой характеристики φ(w)=t₃w и, возникает аналогичная картина, поскольку каждая гармо-

Рис. 4-21- Аппроксимация фазово-частотной характеристики линейной зависимостью

ническая составляющая смещается во времени на постоянную величину t₃ В этом случае считают, что динами­ческая погрешность равна нулю. Если фазовая характеристика нелинейна, то гармонические составляющие смещаются на различное время задержки t₃i = φ(w_i)/w_i, что приводит к искажению формы вы­ходного сигнала, а следовательно, смещение в этом случае не исключает погрешности. Определить эту погрешность в общем 'случае достаточно сложно. Приближенно ее можно оценить, про­водя некоторую линейную ФЧХ, аппроксимирующую реальную ФЧХ (рис. 4-21) с максимальными погрешностями ∆φ₁=∆φ₂=∆φ. Такая ФЧХ будет соответствовать сдвигу сигнала на неко­торое время, определяемое ее наклоном. Оценить погрешность, вызванную нелинейностью ФЧХ измерительного звена, можно по формуле (4-76), подставляя в нее ∆φ вместо max {φ_i}.

В общем случае на динамическую погрешность влияет как АЧХ, так и ФЧХ измерительного звена. Точное определение сум­марной погрешности является относительно сложной задачей. В качестве оценки сверху для общей динамической погрешности может быть принята сумма этих двух составляющих. Однако следует иметь в виду, что данная оценка является достаточно «грубой», поскольку во многих случаях общая погрешность прин­ципиально меньше суммы рассматриваемых составляющих. Так, при моногармоническом сигнале максимальные значения этих составляющих всегда разнесены во времени и, следователь­но, общая погрешность будет меньше суммы их максимальных значений.

Передаточные функции. Используя преобразование Лапласа, эапишем уравнение (4-39) в операторной форме

(A_npⁿ+A_n-1p^n-1 + ...+A_lp+1) У(р)=k_номX(p), (4-77)

рде X (p),Y (р) — изображения по Лапласу x(t), у(t). Отноше­ние изображений выходного и входного сигналов

K(p)=Y(p)/X (р) =k_ном/(A_npⁿ+A_n-1p^n-1+…+A₁p+1) (4-78)

называют передаточной функцией. Передаточная функция явля­ется полной математической моделью средства измерений. При известном входном сигнале х (t) и его изображениях X(р) изображение выходного сигнала определяется из соотношения У(р)=К(р)Х[р). (4-79)

Передаточную функцию (4-78) можно представить в виде произведения

K(p) =. где pi —корни знаменателя выражения (4-78). Такая форма записи имеет известную физическую интерпретацию: сложное средство измерений с передаточной функцией типа (4-78) может быть представлено последовательным соединением простейших звеньев. Такие звенья имеют следующие передаточные функции: идеальное звено

К (p)=k_ном; (4-80)

звено первого порядка K(p)=k_ном/(TiP+1); (4-81)

звено второго порядка К (Р) =k_ном/(р²/w²+2 (4-82)

Динамические свойства таких звеньев, как было показано выше, хорошо изучены. При известных сведениях о входных сигналах — диапазоне изменения сигнала, частотном диапазо­не, форме сигнала (например, прямоугольные импульсы) и дру­гих — для таких звеньев могут быть оценены динамические погрешности. Следует подчеркнуть, что при анализе динамиче­ского режима средств измерений чаще всего определяют неко­торые оценки динамической погрешности при ограничениях на входные сигналы. Это объясняется тем, что точное решение в общем виде основной измерительной задачи — нахождение х(t) по наблюдаемому сигналу у(t) — наталкивается на серь­езные математические трудности. Так, формальная запись урав­нения (4-79) в виде x{p)=Y (р)/К (р) приводит к необходи­мости решения так называемых некорректно поставленных об­ратных задач. Дело в том, что передаточная функция К*(р) = 1/К(р) описывает принципиально неустойчивое динамиче­ское звено. Вследствие этого небольшим погрешностям исходных данных, а у (t) всегда определяется с некоторой погрешностью, могут соответствовать настолько большие по­грешности решения, что последние оказываются лишенными физического смысла. В настоящее время используют специальные методы решения таких задач — методы регуляризации. Эф­фективность этих методов существенно зависит от характера и объема априорной информации об исходном решении.

Подводя итоги рассмотрению динамического режима средств измерений, отметим следующее. При измерении переменных во времени величин х(t) в реальных средствах измерений возникает динамическая погрешность. Эта погрешность определяется дина­мическими свойствами средств измерений и характером измене­ния внешних воздействий (см. § 2-1).

Динамические свойства средств измерений могут быть описа­ны полными динамическими характеристиками: дифференциаль­ными уравнениями, переходными характеристиками, частотными характеристиками, передаточными функциями, а также част­ными динамическими характеристиками: временем установления t_y (временем реакции), постоянной времени T₁, частотой соб­ственных колебаний w₀, коэффициентом демпфирования (зату­хания) β и некоторыми другими.