TIPOVOJ_RASChET_5_APREL
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
(sin2 2n )arctg(8n + 6) |
|
∞ |
|
|
|
n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n =3 |
|
|
(2 −n) |
|
|
|
|
|
n =1 n |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−6n + 2 3n2 −6n +1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
en |
|
∞ |
|
|
|
ln−1(arctg(2 + 3n)) |
|
|||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
(1 +(2 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
2 |
|
−6n − 3 |
1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
3n) )arctg(2 + 3n) |
|
|||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n 9 n8 sin |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
2 |
+ 2n −1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( |
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
3 n +11 |
. |
6. ∑ |
(−1) |
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
4n +15 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
4 n9 +n − 4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 00001 : |
|
∑ |
(−1) |
|
. Укажите наи- |
||||||||||||||||||||||
|
n !(2n)! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
n + 2) |
|
6x + 3 |
n −2 |
∑( n + 5 − |
|
2x + 3 |
. |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
x ln(1 + x 3 ) − arctg(x 4 ) |
. |
|
|
+ sin x) − 2x 3 |
||
x →0 x2(arcsin x |
|
10. Вычислите одиннадцатую производную в нуле от функции
|
2 |
|
− x |
2 |
|
sin(x ) |
|
|
|||
|
|
, x ≠ 0, |
|||
|
|
|
|||
y = |
|
3 |
|
|
|
|
x0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = e2x2 +8x в ряд Тейлора в точке x0 = −2.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,5 |
1 −e2x |
2 |
|
мых ∫ |
|
dx . |
|
x |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т 22 |
|
|
|
|||||
∞ |
Исследуйте на сходимость ряды: |
∞ |
|
|
|
|
|
|||||
(n +(−1)n )arctg(5n + |
n ) |
|
5n (n +1)! |
|
1 |
|
||||||
1. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
2. ∑ |
|
|
sin |
|
. |
3n |
2 |
+1 |
|
|
(2n)! |
n |
||||||
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
8n +1 |
|
2n −n2 −9n +6 |
|||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2n −1 |
2n − |
|
|
||||||||
|
n =1 |
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|||
|
∞ (−1)n 7 n3 arctg |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
9 n2 |
+1 |
|
||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
6n |
2 |
+13 |
|
|
|||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
7. Вычислите сумму ряда с точностью
∞
4. n∑=1 (1 + ln2(4n + 5))(4n + 5) .
|
n cos(n3 + 4) |
|
|||
∞ |
(−1) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
6. ∑ |
|
|
. |
||
3 n7 |
+ 3 n − 2 |
||||
n =1 |
|
∑∞ cos(nπ)
α = 0, 001 : n =1 3n (n +1) . Укажите наи-
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
4n +1) |
|
2x −1 |
n +1 |
∑( 4n + 5 − |
|
5x −1 |
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
cos 2x +e2x2 − 2 − |
8x 4 |
|
|
lim |
|
3 |
. |
|
arcsin(x 2 ) − arctg(x 2 ) |
||||
x →0 |
|
10. Вычислите девятую производную в нуле от функции
ln(1 − 3x) y =
+3x , x ≠ 0,
x= 0.
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = x 2 + 2x + 5 в ряд Тейлора в точке x0 = −1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,5 sin2 x
мых ∫ x2 dx .
0
В а р и а н т 23
Исследуйте на сходимость ряды:
|
∞ |
|
arctg |
3 |
n |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
1. |
∑ |
|
+ n |
|
|
. |
|
|
|
2. ∑ |
|
|
|
3 |
|
|
arc sin |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
|
n |
n |
|
||||||||||||||||||||
|
n =2 |
|
n ln n + |
|
ln n |
|
|
|
n =1 |
+ 2)! 4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n −4n2 |
+2 |
∞ |
|
ln |
−1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4n |
+ |
5 |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
4 |
|
|
|
. |
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7 |
2n −5 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
4n |
6 |
|
|
|
n =1 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arctg n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n + |
|
|
|||||||||||
|
∞ |
(−1)n 3 n5 |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n +1 |
sin |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
9 |
+15 |
. |
6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
6n |
2 |
+13 |
|
|
|
|
|
3 n8 + 44 n − 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 001 : |
∑ |
(−1) |
|
. Укажите наи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
4 (2n +1) |
|
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
3n − 5) |
4x + 5 |
n +4 |
|
∑( 3n +1 − |
|
− 2x |
|
|
n =2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
ln(1 + 2x) − 2x cos x + 2x 2 − |
11 x 3 |
|
lim |
|
3 |
. |
|
|
||
x →0 |
x(3 1 + 3x +(1 + x)−1 − 2) |
10. Вычислите восьмую производную в нуле от функции
|
1 + 2x |
2 −1 |
|
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
2 |
|
|||
y = |
|
|
|
|
|
x1, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = cos(x2 −12x + 32) в ряд Тейлора в точке x0 = 6 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычисли те приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,125 |
arctg 4x |
|
|
мых ∫ |
dx . |
||
|
|||
0 |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
arctg(n |
2 |
+ n + 3) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(2n +1)! |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
∑ |
|
. |
|
|
|
|
2. ∑ |
tg |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =2 |
|
|
n2 −n + cosn |
|
|
|
|
n =1 |
5 (n !) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
2n +5 |
7n − 8 −n2 −8n +4 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7 |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
(2n −1)ln(2n −1)ln ln(2n −1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
7n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
n =2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n n5 |
|
arcsin |
|
|
|
|
∞ |
|
|
n −1 |
|
|
|
4 |
+n |
2 |
+ n) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n |
+15 |
. |
6. ∑ |
(−1) |
cos(n |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4n |
2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
7 n9 + 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin |
+ πn |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 01 : ∑ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. Укажите наи- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
2n + 3) |
|
2x − 3 |
n +2 |
∑( 2n + 5 − |
|
1 − 5x |
. |
|
n =1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
sin(x 2 ) + |
|
1 |
cos(2x) − |
1 |
x |
4 |
− |
1 |
|
|
lim |
2 |
3 |
|
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
ex2 |
+ ln(1 − x2 ) − |
|
|
|
|
||||||
x →0 |
1 |
|
|
|
|
|
10. Вычислите девятую производную в нуле от функции
|
|
3 |
|
x ≠ 0, |
|
|
, |
||
arctg(x ) |
||||
y = |
2 |
|
|
|
x0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = sin(x2 − 4x + 3) в ряд Тейлора в точке x0 = 2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычисли те приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,25 |
1 − cos 2x |
|
|
мых ∫ |
|
|
dx . |
x |
2 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
arctg(3n |
3 |
+ 2) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
2. ∑ |
3 (n !) |
|
arctg |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
+ sin |
πn |
|
|
|
|
n =1 |
(2n −1)! |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =1 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
42n −1 n −n2 −7n +3 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
3n2 + 4n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 2n |
2 |
|
|
|
|
2 |
(n |
3 |
+ |
2n |
2 |
+ n)) |
||||||||||||||
|
n =6 |
9 |
|
n − 5 |
|
|
|
|
|
|
n =1 (n |
|
|
|
+ n)(1 + ln |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
5πn |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(−1) |
n |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1) |
sin |
6 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n + 9 |
. |
6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n =13 |
|
|
−n |
+12 |
|
|
|
|
n =1 |
|
7 n10 + 2 n − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 001 : ∑ |
(−1)n |
|
|
|
|
. Укажите |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
(n +1) |
|
|
|
|
|
наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x + 3 |
n −1 |
∑( 5n + 2 − |
5n ) |
x − 5 |
. |
n =1 |
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
|
|
arctg x − x 3 1 − x2 |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
x →0 |
e |
2x |
− cos 2x − 2x − 4x |
2 |
− |
x |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислите девятую производную в нуле от функции
|
|
2 |
+ x 2 |
|
|
e−x |
−1 |
|
|||
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
|
3 |
|
|||
y = |
|
|
|
||
|
x0, |
|
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = 3 x 2 − 2x + 9 в ряд Тейлора в точке x0 = 1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,8 dx
мых ∫0 ex 3 .