Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math-bio.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Производная функции

Пример 6.5.11.

Пусть f(x) = arctg sin x. Тогда

f 0(x) =

cos x

Теорема 6.5.12.

1 + sin2 x

Производная функции y = arcctg x

находится по формуле y 0

= −

1 + x2

Доказательство.

Функции arctg x è arcctg x связаны соотношением

arctg x + arcctg x =

, ïî-

этому

(arcctg x) 0

− arctg x 0

−

1 + x2

Теорема доказана.

Пример 6.5.12.

Пусть f(x) = arcctg cos x. Тогда

6.6. Сводка формул

f 0(x) =	sin x
		.
	1 + cos2 x

Для удобства читателей приведем сводку формул для производных, которые были получены в этой главе.

f(x)

f 0(x)

Определение производной

f 0(x) = lim

lim

f(x + 4x) − f(x)

4x→0

Производная постоянной

(const) 0 = 0

Производная суммы

(u + v) 0

= u 0 + v 0

Производная разности

(u − v) 0

= u 0 − v 0

Производная произведения

(uv) 0

= u 0v + uv 0

Производная отношения

= u 0v − uv 0

Производная сложной функции

y x0

= y z0 z x0

Производная обратной функции

x y0

Производная функции

Функцияf(x)

Производнаяf 0(x)

Функцияf(x)

Производнаяf 0(x)

axa−1

ax ln a

ln x

loga x

x ln a

sin x

cos x

arcsin x

√

1 − x2

cos x

− sin x

arccos x

−√

1 − x2

tg x

arctg x

cos2 x

1 + x2

ctg x

−

arcctg x

−

sin2 x

1 + x2

6.7. Примеры на вычисление производной

Во всех приведенных ниже примерах требуется найти производную заданной функции. Рассмотрим сначала совсем простые примеры.

Пример 6.7.1.

Пусть f(x) = x3 + sin x. По правилу дифференцирования суммы получаем

f 0(x) = (x3) 0 + (sin x) 0 = 3x2 + cos x.

Пример 6.7.2.

Пусть f(x) = x4 arcsin x. По правилу дифференцирования произведения получа-
åì		x4
f 0(x) = (x4) 0 arcsin x + x4(arcsin x) 0 = 4x3 arcsin x +	√			.

		1 − x	2

Производная функции

Пример 6.7.3.

Пусть

f(x) =

cos x

. По правилу дифференцирования отношения получаем

f 0(x) =

(cos x) 0x2 − cos x(x2) 0

−x2 sin x − 2x cos x

= −

x sin x + 2 cos x

Пример 6.7.4.

Пусть

f(x) =

cos x

. Тогда

1 + 2 sin x

f 0(x) =

− sin x(1 + 2 sin x) − cos x(2 cos x)

−

2 + sin x

(1 + 2 sin x)2

Пример 6.7.5.

Пусть f(x) = (x2 − 4x + 7) tg x. Тогда

f 0(x) = (2x − 4) · tg x + x2 − 4x + 7. cos2 x

Пример 6.7.6.

4x2 − 2x + 10

Пусть f(x) = √ . Здесь удобно сначала преобразовать функцию, а за-

тем находить производную.

f(x) = 4x3/2 − 2x1/2 + 10x−1/2,

f 0(x) = 4

x1/2

−

x−1/2

+ 10

(

−

1/2)x−3/2

6x2 − x − 5

x√x

Пример 6.7.7.

Пусть f(x) =	arcsin x			. Тогда

	1 − x2
	1			2
		√			(1 − x	) − (−2x) arcsin x
f 0(x) =			1−x2

					(1 − x2)2

	√		+ 2x arcsin x	.
=		1 − x2

		(1 − x2)2

Производная функции

Пример 6.7.8.

Пусть f(x) = x(cos x − 4 sin x). Тогда

f 0(x) = (cos x − 4 sin x) + x(− sin x − 4 cos x) = (1 − 4x) cos x − (4 + x) sin x.

Пример 6.7.9.

Пусть f(x) = √3		. Требуется найти					f	0( 8).
Пусть f(x) = √3	x2	. Требуется найти					f	0( 8).
								−
		f 0(x) =	2			1		; f 0(−8) = −	1
				·	√3					.
			3						3
			3				x		3

Пример 6.7.10.


Пусть f(x) = x2 −			1		. Требуется вычислить f 0(2)						− f 0(−2).
		2x2
f 0(x) = 2x +		1			f 0(2) =	33		f 0(−2) = −	33		f 0(2) − f 0(−2) =	33
				;			;			;			.
	x3					8			8			4

Рассмотрим теперь несколько более сложные примеры. В них приходится применять формулу для нахождения производной сложной функции.

Пример 6.7.11.

Пусть f(x) = ln sin x. Тогда f 0(x) = sin1 x(sin x) 0 = cossin xx = ctg x.

Пример 6.7.12.

Пусть f(x) = ex2 . Тогда f 0(x) = ex2 (x2) 0 = 2xex2 .

Пример 6.7.13.

Пусть f(x) = arctg x1 . Тогда

f 0(x) =

−

= −

1 +

1 + x2

Производная функции

Пример 6.7.14.

Пусть f(x) = tg 12x. Здесь правило дифференцирования сложной функции приходится применять дважды.


		1		1		0		1		1			1		0				1
f 0(x) =			tg		x	=								x	=						.
				2							cos2	21 x	2							cos2 1 x
	2	tg 1 x		2			2		tg 1 x		cos2	21 x	2			4	q	tg 1 x		cos2 1 x
	q	2						q		2							q	2	2

Пример 6.7.15.

√

Пусть f(x) = 4 1 + cos2 x. Тогда


		f 0(x) =			1	· (1 + cos2 x)−3/4 · (1 + cos2 x) 0 =

					4
		=	1	· (1 + cos2 x)−3/4 · 2 cos x · (cos x) 0 =

			4
	1	· (1 + cos2 x)−3/4 · 2 cos x(− sin x) = −					sin 2x
=								.
=	4						4(1 + cos2 x)3/4	.

Пример 6.7.16.

Пусть f(x) = sin2 x. Тогда

cos x

f 0(x) = (sin2 x) 0 cos x − sin2 x(cos x) 0 = cos2 x

= 2 sin x cos x cos x − sin2 x(− sin x) = cos2 x

= 2 sin x cos2 x + sin3 x = 2 sin x + sin x tg2 x. cos2 x

Пример 6.7.17.

Пусть f(x) = log03.5 x2. Тогда f 0(x) = 3 log02,5 x2 ·	1	· 2x =	6 log02,5 x2
				.
	x2 ln 0, 5		x ln 0, 5

Пример 6.7.18.

√

Пусть f(x) = ln(x + x2 + c). Тогда

	1			√
f 0					2	+ c) 0 =
	(x) =	x + √		(x + x
			x2 + c

1						x	1
=	x + √		·	1 +	√		=	√		.
		x2 + c				x2 + c			x2 + c

Производная функции

Мы уже сталкивались со случаем, когда перед нахождением производной удобно сна- чала преобразовать функцию. При этом, разумеется, выполняемые преобразования должны быть корректны. Приведем пример типичной грубой ошибки, которую нередко делают студенты, пытаясь упростить функцию перед дифференцированием.

Пример 6.7.19.

Пусть f(x) = ln r

− 2x. Тогда

+ 2x

1 + 2x

f(x) =

ln(1 + 2x) −

ln(1

− 2x);

1 − 2x

f 0(x) =

−2

· 1 + 2x

− 2

− 4x2

· 1 − 2x 1 + 2x 1

− 2x 1

Вынесение показателя степени за знак логарифма является здесь вполне корректной операцией. А вот представление логарифма дроби в виде разности логарифмов является ошибкой, поскольку в результате этой операции сужается область

допустимых значений независимой переменной: функции ln(1 + 2x) è ln(1 − 2x)

определены, когда 1 + 2x > 0 è 1 − 2x > 0, а исходная функция определена

также, когда одновременно выполняются неравенства 1 + 2x < 0 è 1 − 2x < 0.

Мы предоставляем читателям возможность самостоятельно исправить эту грубую ошибку и получить корректное решение данного примера. Заметим только, что, вопреки сделанной в ходе решения примера ошибке, окончательный ответ получился правильным.

Пример 6.7.20.

√

Пусть

1 +

x2 + 1

Здесь выполненное нами

+ 1) − ln x.

f(x) = ln

= ln(1 +

преобразование функции корректно, поскольку оно не сужает область допусти-

мых значений независимой переменной.

x2 − (√

+ x2 + 1)

f 0(x) =

x2 + 1

1 +

√x2 + 1 · √x2 + 1 − x

x(1 + √x2 + 1)√x2 + 1

−x√x2 + 1

Пример 6.7.21.

Пусть f(x) = arcsin

x −

. Требуется найти

f 0(5).

f 0(x) =

x − (x − 1)

; f 0(5) =

q1 − (

x−x 1

)2 ·

x2q1 − (

x−x 1

Производная функции

Пример 6.7.22.

f(x) = p

. Тогда

Пусть

tg3 2x + 2

3 tg2 2x ·

· 2

3 tg2 2x

f 0(x) =

cos2 2x

· cos2 2x

tg3 2x + 2

Пример 6.7.23.

Пусть

f(x) = ln3 arctg2 r

! . Тогда

f 0

(x) = 3 ln2 arctg2 r

· 2 arctg r

−

x−5/2

1 +

arctg2

qx3

9 ln

arctg2 q1

√

3 .

−

arctg q

1 + x

Пример 6.7.24.

Пусть

f(x) = arctg

1 + √

. Тогда

1 − x2

1 + √

+ x ·

√

1 − x2

1 x2

f 0(x) =

√

−

1 +

(1+√

(1 +

1 − x

)

1−x2

√

+ 1 − x2 + x2

1 − x2

√

)

√

Пример 6.7.25.

[(1 + 1 − x

+ x

] 1 − x

1 − x

ln(1 + x2) −

(arctg x)2. Тогда

Пусть

f(x) = x arctg x −

f 0(x) = arctg x +

−

· 2 · arctg x ·

1 + x2

= arctg x · 1 −

x2 arctg x

1 + x2

Пример 6.7.26.

Пусть

f(x) = cos2(sin x2 − cos x2) + sin2(sin x2 − cos x2). Применяя основное три-

гонометрическое тождество, убеждаемся, что

f(x)

≡

а поэтому f 0(x)

≡

Производная функции

Пример 6.7.27.

Пусть f(x) = x arcsin r

1 + x

+ arctg √x − √x. Тогда

1+x ·

(1 + x)2

1 + x

f 0(x) = arcsin

+ x

1 + x − x

−

+1 + x

· 2√x −

2√x

= arcsin r

1 + x

Пример 6.7.28.

Пусть f(x) = q

x + p

x +

√

x. Тогда

2 x + √x · 1 +

f 0(x) = 2 x + x + √x · "1 +

2√x

1 + 2√

+ 4√

x + √

8√

x + √

qx + p

x + √

Пример 6.7.29.

Пусть f(x) = arcctg

. Тогда

rctg x2

f 0(x) =

−1

−2

−

3/2

2 1

1 +

ctg

sin

ctg

sin2

ctg

+ 1 ctg

Пример 6.7.30.

Пусть f(x) = ln ln2 ln3 x . Тогда

f 0(x) =		1		· 2 ln ln3 x ·	1		· 3 ln2 x ·	1	=

	ln2	ln3 x			ln3 x			x
			6
		=				.
		=	x ln ln3 x · ln x			.

Производная функции

Пример 6.7.31.

Пусть

f(x) = r3

1 − x3 . Тогда

1 + x3

1 1 + x3

−2/3

3x2(1

x3) + (1 + x3)3x2

f 0(x) =

−

1 − x3

(1 − x3)2

1 − x3

2/3

2x2

1 − x3

2/3

2x2(1 + x3)

1 + x3

(1 − x3)2

1 + x3

· (1 − x3)(1 − x6)

= 1 − x6

· r3

1 − x3 .

2x2

1 + x3

Пример 6.7.32.

cos2 x

Пусть

f(x) =

. Требуется показать, что

− 3f

= 3.

1 + sin2 x

f 0(x) =

2 cos x(− sin x)(1 + sin2 x) − cos2 x(2 sin x cos x)

(1 + sin2 x)2

− sin 2x(1 + sin2 x) − cos2 x sin 2x

−2 sin 2x

;

(1 + sin2 x)2

; f

= −

; f

−

3f 0(

) = 3.

Пример 6.7.33.

Пусть

y =

x − e−x2

Требуется показать, что данная функция удовлетворяет

2x2

уравнению

xy 0 + 2y = e−x2 +

. Чтобы сделать это, сначала нужно найти про-

изводную данной функции.

y 0 = −2x2 − −x3 e−x

−

2x2 e−x

= −2x2

+ x3 e−x

+ xe−x

После этого следует подставить y и y 0 в уравнение и убедиться, что его левая часть равна правой.

xy 0 + 2y = −21x + x12 e−x2 + e−x2 + x1 − x12 e−x2 = e−x2 + 21x.

Следующие примеры можно отнести к категории примеров повышенной сложности.

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.2016981.11 Кб9matem2015-04-22proba2varianta_copy.pdf
#
04.08.2019249.14 Кб1Matematika.docx
#
12.03.2016167.18 Кб671MATEMATIKA_11_kl_Fevral_2016_copy.pdf
#
13.02.20151.2 Mб26Matematika_v5.pdf
#
19.09.2019382.46 Кб9material (4).doc
#
03.05.20151.13 Mб34math-bio.pdf
#
13.02.2015616.49 Кб413matlog2011.pdf
#
13.02.20152.14 Mб274Matmetodyvbiologii2012 (1).doc
#
13.02.20151.29 Mб21may07015.pdf
#
13.02.2015150.53 Кб7mdr.doc
#
31.08.201997.28 Кб3med.doc