29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

Решение. Для ответа на поставленный вопрос во всех случаях необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо при Л = 8 тыс. руб., и = 6.

а) Полагая г = 36%, по формуле (121) находим:

PV°st = 8 • /ГЛ/4(36%,6) =* 8 • 23388 = 18,710 тыс. руб.

б) В этом случае, используя формулу (123) при m = 12, р = 1,

Обратим внимание и на другой способ решения. Можно вначале найти эффективную годовую процентную ставку для г 0 2 ) * 036 по формуле (63):

А затем применяем формулу (121) при г = 0,4256:

PV°S, - 8 • FA/4(42,58%,6) = 8 • — — = 16,552 тыс. руб.

0,425о

С точностью до второго знака после запятой получили такой же ответ.

в) Полагая в формуле (132) 6 = 036, р = 1, находим: 1 — 0"W6-6 п КЯЛ7

Пример 3.1.6. Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 30% годовых, чтобы в течение 8 лет иметь возможность ежегодно получать 12 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 3 месяца, и в конце восьмого года исчерпать счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) непрерывно?

Решение. При нахождении искомой суммы во всех случаях необходимо определить приведенную стоимость р-срочного аннуитета постнумерандо при р =4, А = 12/4 = 3 тыс. руб., и = 8.

271

а) Полагая г = 30%, т = 1, по формуле (123) находим:

FA/4(30%,8) = 3-2,9247 = 38,823 тыс. руб. /•Д/3(30%Л) 0,2260

б) В этом случае т = 2 и, следовательно, тп = 2-8 = 16,

Естественно, получили меньшее значение, чем в предыдущем случае, поскольку начисление сложных процентов происходит чаще.

в) Так как начисление процентов происходит непрерывно, то полагаем 8 = 03 и пользуемся формулой (132):

Пример 3.1.7. Банк предлагает ренту постнумерандо на 1S лет с полугодовой выплатой 10 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 3 года; в) через 4,5 года, а сложная процентная ставка равна 4, 10 и 24% годовых?

Решение. Для ответа на вопрос примера определим приведенную стоимость ренты во всех случаях, при этом будем считать, что число периодов и = 15-2 = 30. Тогда ставка за период будет соответственно 2, 5 и 12%. Обозначим через Л число периодов, через которое начинает поступать первый из потока платежей. Для наглядности условие задачи изобразим схематично (для всех трех ситуаций) на оси времени, когда одно деление равно полугодию (т.е. равно периоду начисления процентов), помещая над осью платежи (в тыс. руб.):

272

Из таблицы видно, что с ростом процентной ставки и срока, после которого начнутся выплаты, приведенная стоимость уменьшается. В частности, если выплаты начнутся через 4,5 года (т.е. через 9 полугодий) и процентная ставка составит 24% годовых, то ренту можно приобрести за 29,047 тыс. руб. (или, конечно, дешевле).

В заключение отметим, что в формуле (125) Л не обязательно должно быть целым числом. А вот если оно целое, как в условии примера, то формулу (125) можно привести к виду:

РУрл - Л • FM4(r,n + h)-A • FM4(rfh),

т.е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов с платежами, начиная с первого периода. Например, для А = 9, г = 12% имеем:

PVpst =10FA/4(12%39) -10- FM 4(12%,9) = = 82330 - 53,282 = 29,048 тыс. руб.

Отличие на 1 руб. от значения, полученного по формуле (125) и равного 29,047 тыс. руб., объясняется погрешностью вычислений.

Очевидно, кстати, что при Л = 0 из формулы (125) следует формула (121).

Пример 3.1.8. Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 60 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежемесячно.

Решение, а) Поскольку имеем дело с аннуитетом постнумерандо, то при ответе на вопрос примера можно поступить двоя-

274

было сразу внести сумму 350 FA/2(28%,4) = 130,385 тыс. руб., которая обеспечила бы через 4 года создание фонда необходимого размера. Однако одновременное изъятие из хозяйственного оборота 130,385 тыс. руб. менее целесообразно, чем ежегодные отчисления по 58,183 тыс. руб.

б) Найдем искомый срок, подставляя в формулу (122) значения всех известных параметров и учитывая, что в этом случае р = 1, m = 2. Получим равенство:

350 = «А

(.•¥)г -1

On

Естественно, с увеличением числа начислений процентов искомый срок уменьшается.

Пример 3.1.9. Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 65 лет) фирма обязуется перечислять в конце каждого года в течение 25 лет на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода ва пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 8000 руб. в течение 18 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 20%?

Решение. Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с членом А - 8000 руб. и длительностью л = 18 лет. Полагая г = 20%, по

276

формуле (121) найдем приведенную стоимость этого аннуитета на момент выхода работника на пенсию:

= 8000 • /ГЛ/4(20%Д8) = 8000 • 4,8122 = 38497,6 руб.

Полученная величина представляет собой необходимую будущую стоимость ежегодных вкладов фирмы на счет работника. Поэтому размер каждого вклада можно найти из формулы (120),

Таким образом, каждый год фирме вполне достаточно перечислять на счет работника 81 руб. 57 коп.

Пример 3.1.10, Предприниматель получил на 5 лет ссуду в размере 400 тыс. руб., причем ежегодно он должен выплачивать кредитору проценты по ставке 20%. Одновременно с получением ссуды предприниматель (для ее погашения) создает страховой фонд, в который в конце каждого года будет делать одинаковые взносы, чтобы к моменту возврата долга накопить 400 тыс. руб. Определите суммарные ежегодные затраты предпринимателя, если на деньги, находящиеся в фонде, начисляются сложныепроценты по ставке 24% годовых.

Решение. Обозначим через А ежегодный взнос в страховой фонд, через R - ежегодные суммарные затраты предпринимателя. Так как уплачиваемые на долг проценты составляют 400 0,2 = 80 тыс. руб., то Л = Л + 80. Величину А можно найти

на 4 года при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 50 тыс. руб.). По истечении четырех лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 80 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 18% годовых (сложных)?

277

Решение. Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу четырехлетнего периода на счете будет сумма:

F4=P FA/1(18%,4) = 200 1,9388 = 387,76 тыс. руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 50 тыс. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в

г= 18% и единовременное получение сумм в 50 и 80 тыс. руб.

Впервом случае на основании формулы (120) имеем:

S = 50 • FA/3(18%,4) + 80 = 50 - 5,2154 + 80 - 340,77 тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы (126) имеем:

S - 50 FA/3(18%3) • 1Д 8 +130 = 50 • 3,5724. Ц 8 +130 = «340,77 тыс. руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (210,77 тыс. руб.), возврата доли от участия в проекте за последний год (50 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (80 тыс. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 340,77 тыс. руб. Предложение экономически нецелесообразно.

Пример 3.1.12. Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 8 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 37 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 20% годовых?

278

р = ж = 1, находим, что истинная стоимость акции составляет

Q

— = 40 тыс. руб. Следовательно, акции можно приобретать.

0,2

Пример 3.1.13. Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 12 тыс. руб., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 28%; б) ежеквартально сложные проценты по ставке 28%; в) непрерывные проценты с силой роста 28%.

Решение. Денежный поток во всех случаях является бессрочным аннуитетом постнумерандо, причем Л = 12 тыс. руб. Необходимо найти приведенную стоимость этого аннуитета.

а) Так как г = 0Д8, то по формуле (124) при р = т = 1 получим:

= 42,857 тыс. руб.

б) Полагая в формуле (124) г - 0,28, т = 4, р-\у находим:

¥VU - — ш — ж 3 8 ' 6 1 1 ру6-

4 '

в) Поскольку в этом случае р = \, 5 = 0,28> то из формулы (133) следует:

rvpsP = ^ I j =3 7 J 3 7 т ы с 'р у 6 -

Пример 3.1.14. Вы имеете возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными выплатами в размере 20 тыс. руб. Второй проект в течение двух лет принесет соответственно 40 тыс. руб. и 100 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 25% годовых? Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ изменится на противоположный?

279

Решение. Для сравнения проектов определим приведенные стоимости потоков доходов, доставляемых проектами.

Полагая в формуле (124) г = 0,25 при р = т = 1, получим:

20

PV$pstt = — = 80 тыс. руб. 0,25

Для оценки второго проекта пользуемся формулой (117) при л — 2, С, =40 тыс. руб., С2 = 100 тыс. руб. и г = 25%:

PVpst = 40 • /ГА/2(25%Д) + 100 • FM2(25%2) = = 40-0,8 + 100 0,64 = 96тыс. руб.

Следовательно, второй проект предпочтительнее.

Теперь выясним, существует ли такая годовая процентная ставка г, при которой первый проект предпочтительнее. Для этого надо решить неравенство:

20 40 100

г(1 + 0 (1 + г)2"

Совершая равносильные преобразования неравенства, получим г2 + 5г -1 < 0, откуда находим, что -5Д926 < г < 0Д926. Таким образом, процентная ставка должна быть меньше 19,26% годовых. С целью проверки полученного результата вычислим приведенные стоимости доходов, например, при ставке 17%. По формулам (124) и (117) соответственно получим:

PVpSt - 40• FM2(\1%X) +100• FA/2(17%,2) = = 40 • 0,8547 +100 • 0,7305 = 107,238 тыс. руб.

Следовательно, при использовании ставки 17% первый проект предпочтительнее.

Пример 3.1.15. В банке получена ссуда на шесть лет в сумме 800 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа и составить план погашения долга.

280