29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 8 лет ежегодно начисляются сложные проценты по процентной ставке 1 = ^[(1 + 0Д8)3 (1 + 0,29X1+0305)4 -1 = 0,2937, т.е. /=29,37% годовых. С целью проверки найдем наращенную сумму:

40(1 + 0Д937)8 =313,855 тыс. руб.,

т.е. с точностью до единиц рублей получили величину Fg. Если взять более точное значение Г, например /=293697%, то ре-

зультат проверки составит 313,850 тыс. руб.

Пример 2.1.4. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Возможны ли другие методы начисления процентов?

Решение. При использовании схемы сложных процентов воспользуемся формулой (55). Так как период начисления равен одному году, то л = 3,25 (как правило, при измерении срока в

месяцах считают, что месяц равен Хг года, т.е. 3 месяца составляют 0,25 года). Далее Р = 50 тыс. руб., г = 0,27, следовательно:

= 50(1 + О^)3-25 = 108,726 тыс. руб.

Если использовать смешанную схему, то при w = 3, / = 0,25 по формуле (57) получим:

h*5 =50(1 + 0Д7)3(1 + 0^5 0Д7) = 109332 тыс.руб.

т.е. итоговая сумма больше, чем при начислении только сложными процентами.

В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы (формулы (55) и (57)) возможны и другие методы начисления процентов.

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет, взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть "на 100" из простых процентов за лишнее время, до-

151

бавленное для достижения целого числа лет. Таким образом, если п = w+f (0</<1), то добавляем время 1 - / и получаем целое число лет w + 1. Наращенная сумма находится по формуле:

ди-гГ*1 i + 0 - Л '

Если же сумму Р(1 + г)н'^1 учесть простыми процентами "со 100" за лишнее время, то наращенная сумма определяется формулой:

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет и затем полученную сумму нарастить простыми процентами "во 100" за дробную часть года, т.е. применить формулу:

р» P(\ + r)w

Fn=-T-fT'

Если обозначить наращенные суммы, найденные по схеме сложных процентов и по смешанной схеме соответственно через

F ^ и F ^ , то справедлива следующая цепочка неравенств:

Fn> Fn^ > № >К> К

Поскольку согласно условию примера w+l = 3 + 1 =4, 1 - / = 1 - 0,25 = 0,75, то, применяя последовательно три последние формулы, получим:

F{2S = 50(1 + 0Д7)4(1 - 0,75.0,27) = 103,733 тыс. руб.;

Очевидно, полученные значения наращенных сумм удовлетворяют приведенным выше неравенствам.

152

Пример 2.1*5. Клиент помещает в банк 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодовое; б) квартальное.

Решение, а) В случае полугодового начисления процентов продолжительность общего действия контракта не равна целому числу периодов начисления (т.е. не равна целому числу полугодий, поскольку 33 месяца (2,75 года) не делятся нацело на 6). Поэтому нужно воспользоваться формулами (58) и (59), когда параметры формул имеют следующие значения: Р = 40, п = 2,75, m = 2, »v =5 (количество целых полугодий в 33 месяцах), / = 0,5 (поскольку 3 месяца от 6 месяцев составляют полови-

•При реализации схемы сложных процентов:

•При реализации смешанной схемы:

Отметим, что в математике целую часть числа а принято обозначать через [а]. Используя это обозначение, величину w определяем таким образом: w = [m • п] = [2 • 2,75] = [5JS] = 5.

б) В случае квартального начисления процентов т = 4, г<4> = 0,26, w = [4• 2,75] = (11] = 11, / = 0, т.е. срок помещения капитала равен целому числу кварталов. Поэтому формулы (58) и (59) дают один и тот же результат:

Естественно, в этом случае мы фактически пользуемся формулой (55), в которой и = 11, г * 0,26/4 = 0,065. В связи с этим заме-

153

тим, что, используя обозначение множителя наращения в формуле (55): FM\(r,n) = (1 + г)п , формулу (58) можно записать в виде:

Лт) Fn =PFMl(-—,тл).

т

Следовательно, в ряде случаев значения множителяГ1 + —

т

можно наши по таблице значений множителя FM\(ryn), полагая

в качестве run соответственно и тп (конечно, если таблица

т

достаточно подробна и позволяет сделал» это).

Пример 2.1.6. Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 110% годовых или 22% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления процентов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада составляет: а) 9 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 110% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начисление по 22%? Финансовый год принять равным 360 дней (месяц - 30 дней).

Решение, а) Обозначим величину вклада через Р. Вначале рассмотрим вариант 110% годовых. Так как срок хранения (9 месяцев) меньше периода начисления (1 год), то согласно смешанной схеме начисляются простые проценты и можно воспользоваться, например, формулой (9), где г = 1Д, п •= % - 0,75:

= Р(1 + 0,75 • 1Д) = 1,825Р.

Если начисляются проценты из расчета 22% за квартал, то, поскольку 9 месяцев равны трем периодам начисления, используем формулу (55), где г = 0,22, п = 3 :

F2 =Р(1 + 0Д2)3 =1,816Р.

Так как Fx> F2, то первый вариант выгоднее.

б) Когда срок хранения вклада равен одному году, рассуждая, как и в предыдущем случае, получим соответственно по первому (110%) и второму (22%) вариантам:

/1=Р(1 + 1,1) = 2ДР,

154

т.е. выгоднее второй вариант.

Выясним, начиная с какого момента выгоднее начисление 22% за квартал. Из только что изложенного решения следует, что этот "пограничный" срок хранения больше 9 месяцев, но меньше года, т.е. искомый срок равен п = 0,75+/ года, где

0 < / < 0,25. - Для первого варианта по формуле (9) получим:

F = P( 1 + (0,75+/) • 1Д) = 1,825/* + 1Д/Р.

Для второго варианта можно применить формулу (57), где г = 0,22, w = 3, и , используя уже введенное обозначение / из искомого срока хранения, в качестве / из формулы (57) надо взять 4/ (так как квартал в 4 раза меньше года). В результате получим:

F = Р(1 + 022)3(1 + 4/ • 0,22) = 1.816Р + Ц598fP .

Приравнивая найденные наращенные суммы и сокращая обе части равенства на Р, получим уравнение с одним неизвестным / :

1,825+ 1Д/ = 1,816+1,598/,

решая которое находим / = 0,018 года, или 6,48 дня, т.е. при-

близительно 7 дней.

Прибавляя к 9 месяцам (270 дней) 7 дней, получим величину искомого срока - 277 дней.

Таким образом, в условиях примера до 277 дней выгоднее иметь 110% годовых, а после становится выгоднее начисление по 22% за квартал.

Пример 2Л.7. Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза; б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение, а) Если начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (60), где F„=4P, m = 1, , ( « ) = r ( i ) = 0 i 3 :

155

При начислении простых процентов найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в к раз (кстати, формула (60) получается аналогично). Так как множитель наращения равен к> то для простых процентов из равен-

0,3 Таким образом, для увеличения первоначальной суммы в 4

раза при начислении сложных процентов требуется времени гораздо меньше (почти в 1,9 раза), чем при начислении простых

процентов.

б) Для случая простых процентов находим:

1 1

" = - = — = ЗДЗЗ года, г 0,3

т.е. необходимый срок удвоения первоначальной суммы при начислении простых процентов равен обратной величине процентной ставки, используемой при наращении.

Для случая сложных процентов формула (60) согласно усло-

1п(14- 0,3)

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как "правило 72-х". Это правило заключается в следующем: если г - процентная ставка, выраженная в процентах, то п-12!г представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений г. Так, если годовая ставка г = 12%, то применение "правила 72-х" дает значение п = 6 годам (а по формуле (60) получим п = 6Д16 года). Если же годовая ставка г = 30% (как в примере), то по правилу п = 2,4

156

года (а по формуле (60) получили п = 2,642 года). Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма "правила 72-х" ставка взята в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рассчитывают срок удвоения первоначального капитала для конкретной ставки. В литературе можно встретить "правило 70":

70 п = — и аналогичное "правило 71". Отметим также "правило 69":

г

п - — + 035, в соответствии с которым для ставки г = 30% полу-

т

чим п = — + 035 = 2,65 года, т.е. достаточно близкое к полученно-

му по точной формуле значению п - 2,642 года.

Пример 2.1.8. Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов: а) каждые полгода; б) каждый месяц?

Решение, а) Так как п = 7, Fq = ЗР, ж = 2 , то по формуле (61):

I

№ = 2(32 7 -1) = ОД633,

т.е. номинальная процентная ставка должна быть не менее 16,33% годовых.

б) В этом случае т = 12 и поэтому:

I

г(12) =12(3127 -1) = 0Д580.

Естественно, эта ставка меньше, чем г*2*, поскольку при одной и той же исходной сумме сложные проценты начисляются в 6 раз чаще. Аналогичное неравенство справедливо и в общем случае, а именно: пусть г и № - эквивалентные номинальные годовые процентные ставки и ж > /, тогда г ^ < № .

Пример 2.1.9. Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежемесячного начисления сложных процентов из расчета 32% годовых; б) на условиях ежеквартального начисле-

157

ния сложных процентов из расчета 34% годовых. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?

Решение. Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета по формуле (63) эффективной годовой процентной ставки - чем она выше, тем выше уровень расходов.

Таким образом, первый вариант является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель - эффективная ставка, а она, как следует из формулы (63), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.

Пример 2.1.10. Определите номинальную процентную ставку, если эффективная годовая процентная ставка равна 40% и сложные проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежемесячно; в) ежедневно.

Решение. Полагаем ref = 0,4 и пользуемся формулой (62). а) Так как т = 2, то

г( 2 ) - 2((1 + 0,4)2 -1] - 0,3664. или 36,64% . б) Поскольку в этом случае m = 12, то

r ( I 2 ) =12[(1 + 0,4)^ -1] = 0Д412, или 34,12% 'о.

в) Считая в году 360 дней, при т = 360 получим:

,(360) = 3 6 0 ( ( 1 + 0 4 ) 3 60 _ ]] = 03366, или 33,66%.

158

Если взять в году 365 дней, то, оставляя после запятой 4 знака, получим тот же результат: г( 3 6 5 ) = 33,66%, так как при ежедневном начислении различие между номинальными ставками можно обнаружить при высокой точности вычислений (в данном случае г ( 3 6 0 ) = 03366295, г( 3 6 5 ) =0,3366273).

Заметим, что найденные номинальные ставки / 1 и

г<360> эквивалентны, так как они найдены с помощью одной и той же эффективной ставки. Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 40% годовых дает тот же результат, что и начисление сложных процентов каждые полгода по ставке 36,64%, или ежемесячно по ставке 34,12%, или

т.е. величина номинальной процентной ставки убывает, когда количество начислений сложных процентов в году увеличивается.

Пример 2.1.11. В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. Найдите эффективную ставку в этой финансовой сделке.

Решение. Выражая 28 месяцев в годах, получим 7/3 года. Подставляя в формулу (64) Р = 50 тыс. руб., Fn = 85 тыс. руб.,

7

Проверим полученный ответ. Пусть в банк помещен вклад в размере 50 тыс. руб. на 7/3 года под процентную ставку 25,53% годовых и начисляются сложные проценты. Тогда наращенная сумма будет равна:

7

Fin =50(1 +0,2553)3 «84,9926 «85 тыс. руб.

Пример 2.1.12. Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по процентной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?

159